ft'.T -h2 p' y -h r" — r' — ex

'* j fi'«

9. ol'^.t -+- 2 P*' y + r^« — /•« - a'î p

'fi i A*« I w w^ \t >

-Hp'*— (^r— r^)

ou, en ajoutant l'unité à chacun des termes,

ce qui exprime qu'elle passe par l'intersection des droites

a'x-i-p'y-h {r' — r) r=-Oy a" a: -h p" y -h (r* — r)r~ o.

La première de ces droites est ( n® 1 1 3 ) , dans le cercle S , la corde de contact des tangentes communes aux cercles S et S' ; autrement dit (n® 114), c'est la polaire par rapport à S du centre de similitude de S et S' ; de même, la seconde droite est la polaire par rapport à S du centre de similitude de S et S'^. L'intersedtion de ces droites est donc le pôle de Taxe de similitude des trois cercles, par rapport au cercle S.

De là résulte la construction suivante :

Tracer {/ig* 45) un des quatre axes de similitude SS' des trois cercles C, C, C" ; déterminer le pôle de cet axe successivement par rapport aux trois cercles, et joindre les points

ainsi trouvés P, P' et P' au centre radical R. Les droites RP, RP'^RP" rencontrent les cercles aux points o^ b;a\ b'; (f, V\

Fig. 45.

h'Uz -^

le cercle conduit par les points <z, a', a" sera l'un des cercles tangents cherchés, et le cercle mené par les points è, 6', b" en sera un autre.

En appliquant la même construction aux trois autres axes de similitude, on déterminera les six autres cercles tangents.

121. Il n'est pas sans intérêt de montrer comment on peut arriver au même résultat sans avoir recours au calcul algébrique.

i" Les lignes aè, a'6', aV passent toutes par le centre de similitude des cercles a a' a", bb'b^ {n^ iil ^ Corollaire) \

2** Les droites a'a^, W se coupent en S centre de similitude de C et de C" (nM 17) ;

3** Par suite (n® il6), les lignes transversales a' 6', a" If se coupent sur l'axe radical de C et de C. De même, ci' b^ et ab se coupent sur Taxe radical de Cet de C. Le point R, centre de similitude des cercles ad d\ bVb^ est donc en même temps le centre radical des trois cercles C, G' et C;

4° Puisque olh\ a^b^ passent par le centre de similitude de add ^ bb'V^ les droites a'd'^ b'b" se rencontrent en S sur l'axe radical de ces deux cercles (n** ii6). Les points S' et S'' se trouvent ainsi sur ce même axe radical. Donc, Vaxe de similitude S S' S" des cercles C, C, C est en même temps l'axe radical des cercles aa! ci' ^ b V 6" ;

5® La droite a^' 6^' passant par le centre de similitude de aa!c! et de bb'b^^ les tangentes menées à ces cercles (n** 116), aux points où ils sont rencontrés par cfb^^ se coupent sur l'axe radical S S' S" en un point qui est évidemment le pôle de cfb^ par rapport au cercle C; le pôle de d' b" se trouvant sur S S' S", le pôle de S S' S" par rapport à C" sera (n« 98) sur cflF. On pourra donc construire a^6" en joignant le centre radical R au pôle P de S'S^ par rapport au cercle C" ;

6^ Le centre de similitude de deux cercles appartenant à la ligne des centres, et l'axe radical étant perpendiculaire à cette ligne, la droite qui joint les centres des cercles aa'a^^ bb'U' est perpendiculaire à S S' S"', et passe par le point R (n® 118).

121 (a). Lorsque quatre cercles sont tangents à un cinquième cercle, les longueurs de leurs tangentes communes satisfont à la relation

dans laquelle (12) représente la longueur de la tangente commune au premier et au deuxième cercle^ etc.

Ce théorème se démontre facilement à l'aide des propriétés du quadrilatère inscrit; il suffit d'exprimer la longueur de la tangente commune à deux cercles en fonction de la distance comprise entre les points où ces deux cercles touchent le cinquième cercle.

Soient R le rayon du cinquième cercle ; O son centre [fig, 46; ; r et r'ies rayons des cercles i et 2; A et B leurs

igo CHAPITRE YIII.

centres ; aetb leurs points de contact avec le cinquième. Le

Fig. 46.

triangle aOb étant isoscèle donne, pour la distance de ces points de contact,

aô =z 2 R sio - aO 6 ;

on a d'ailleurs, dans le triangle AOB, qui a pour côtés R — r, R — /et D=AB,

sm' - a O 6 :r^ Tvô -—s ,- ;

et comme

il vient

ab

R.(ia)

Dans le quadrilatère inscrit formé par les quatre points de contact a, é, c et rf des quatre premiers cercles avec le cinquième, les côtés et les diagonales satisfont à la condition

ab, cd -+- ad, bc = ac. bd ;

remplaçant, dans cette équation, chacune des cordes ab.. . . par

DES SYSTàllES DE CERCLES. I9T

sa valeur, trouvée précédemment, en fonction de la longueur ( 12), ... de la tangente commune correspondante, et supprimant le facteur commun

on obtient la relation qu'il fallait démontrer.

121 (6). On peut déduire de ce théorème une solution du problème posé au n® 119. Lorsque le quatrième cercle se réduit à un point, ce point appartient au cercle tangent aux trois premiers, et les expressions (4i)î (4^) et (43) représentent les longueurs des tangentes menées par ce point à ces trois cercles. D'ailleurs, en désignant par S, S' et S" les valeurs particulières que prennent les équations des trois premiers cercles lorsqu'on y remplace les coordonnées courantes par celles de ce point, on aura, d'après le n® 90,

Les coordonnées d'un point quelconque du cercle cherché satisfont donc à la relation

qui se transforme en une équation du quatrième degré lorsqu'on fait disparaître les radicaux. Dans le cas où (23), (3i ) et ( 12) sont les tangentes communes directes, elle se décompose en deux équations du second degré, qui représentent respectivement les cercles tangents intérieurement et extérieurement ( Jig. 45) aux trois cercles donnés.

Cette solution et le théorème d'où on la déduit sont dus à M. Casey.

121 (e). Ce théorème peut aussi se démontrer sans avoir recours aux propriétés du quadrilatère inscrit. En prenant, comme au n® 104 (Ex. 4)^ sur chaque rayon vecteur OP {fig. 4i )} mené par un point O à une courbe, une longueur

OQ Inversement proportionnelle à OP, on obtient une nouvelle courbe qu'on appelle inverse de la courbe donnée. La figure inverse du cercle

par rapport à l'origine O, est définie par Téquation

cyx^ h- 7') -h 'igx -h ayy -1- I - : o,

qui représente un cercle, excepté dans le cas où c--^o. Lorsque c est nul, le cercle passe par Porigine O, et son inverse est une ligne droite. Réciproquement, la figure inverse d'une ligne droite est une circonférence passant par l'origine.

A un couple de cercles correspond, comme figure inverse, un autre couple de cercles, et le rapport du carré de la tangente commune au produit des rayons est le même pour l'un et l'autre couple ( • ). En remplaçant, en effet, ^, / etr

par -)*- j - dans l'équation r^^=:g^-rf^ — c, qui donm^ c c c

(n® 80) le rayon r d'un cercle, on obtient - pour le rayon

du cercle inverse. En effectuant la même substitution dans l'expression c -!- c' — ^gg' — '^//^ qui représente la quantité D»— r^—z-'a (nMi2, Ex. i), on trouve

Ji

ce'

Le rapport de D^ — r'^ — a^^ , au produit rr' des rayons , et, par suite, le rapport de D^— r db r')* à n^ est donc le même pour chacun des couples.

(■) Cette proposition, qui a été indiquée par M, Casey, revient à dire (n* 112, Ex. 8), que l'angle sous lequel se coupent deux cercles quelconques est le même que celui sous lequel se coupent leurs inverses : théorème facile à établir géométriquement.

DBS 8Y8TBMB8 DE CBRGLB8. IqS

Considérons maintenant quatre cercles tangents à une même droite en quatre points. Les segments compris entre ces quatre points, segments qui ne sont autre chose que les longueurs des tangentes communes, satisfont à la relation

comme il est facile de s'en assurer en partant de l'identité

dans laquelle a, 6, c, d représentent les distances de ces quatre points à un point quelconque de la droite pris pour origine.

L'inverse du système, par rapporta un point quelconque, se composera de quatre cercles tangents à un cinquième ; et la relation précédente subsistera encore, puisque le rapport (le chacun de ses termes à la racine carrée du produit des rayons des quatre premiers cercles ne change point quand on passe du premier système à son inverse .

La relation entre les tangentes communes étant ainsi établie directement, on peut en déduire, comme cas particulier, les propriétés relatives aux côtés et aux diagonales du quadrilatère inscrit. Il suffit, pour cela, de supposer que les quatre premiers cercles se réduisent à quatre points.

Cette démonstration fait voir, en outre, que par tangente commune à deux cercles il faut entendre, dans la relation donnée ci-dessus, la tangente commune directe lorsque les deux cercles touchent tous deux intérieurement, ou tous deux extérieurement le cinquième cercle, et la tangente commune inverse, quand les deux cercles sont situés, l'un à Finteneur, l'autre à l'extérieur de ce cinquième cercle. Ainsi l'équation des quatre couples de cercles tangents à trois cercles donnés

(23)v/S±(3i)^±(i2)v/S^ = o représente :

I® Les cercles tangents laissant du même côté, intérieur ou S. — Géom. à deux dim. i3

IQÎ CHAPITRE VIII.

extérieur, les trois cercles donnés lorsque (12), (aS) et (3i ) désignent les tangentes communes directes; 2* les cercles touchant intérieurement le premier cercle et extérieurement les deux autres (ou inversement), lorsque, (23) étant une tangente directe, (3i ) et (12) représentent des tangentes inverses; 3** ebfinles deux autres couples de cercles, quand on considère successivement Tune des tangentes ( 3 1 ) et (12) comme directe, et la troisième tangente comme inverse.

■PW -

DU CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. IQS

APPLICATION DE LA MÉTHODE DES NOTATIONS ABRÉGÉES A L'ÉQUATION DU CERCLE.

122. Pour reconnaître si une équation du deuxième degré, exprimée à l'aide des notations abrégées exposées au Chapitre IV, représente un cercle, il suffît de la ramener à une équation en :c et j>^, en y remplaçant chacune des abréviations a par l'expression équivalente j?cosa-j-^sina — />, et de voir, dans cette équation transformée, si le terme en xy disparaît, et si les termes en x'^ et en y^ ont même coefficient in* 80). Les exemples suivants serviront d'éclaircissements.

Le produit des distances d'un point quelconque d^une courbe à deux côtés opposés d'un quadrilatère est dans un rapport constant k avec le produit des distances de ce même point aux deux autres côtés; trouver la condition pour que cette courbe soit un cercle.

Soient a, ^, y, 8 les quatre côtés du quadrilatère ; l'équation générale de la courbe est évidemment de la forme

et comme elle est vérifiée par l'une ou l'autre des quatre suppositions

a = o, p=io; ar-o, 8 = o,

przro, r = o; Y — o, 8 = o,

elle représente une courbe du second degré qui passe par les sommets du quadrilatère.

En substituant aux abréviations a, 3, y, 8 les expressions équivalentes en x et y^ on trouve pour l'équation transformée du lieu

(j?cosa -h/sina — /?)(j7C0sy -Hj'sinY — p")

1= A:(a?cosp -h/sinp — />')(a:co9 8 4- jsinB — />**);

et en écrivant que, dans cette équation, les coefBcients dex^ et de y^ sont égaux, et que le coefficient de xy est nul, on obtient les relations

cos ( a -h Y ) nz X: cos ( p 4- 8 ), sin(tt-HY)=:X: sin(p 4-8),

qui expriment que le lieu est un cercle.

Si l'on ajoute ces équations, après les avoir élevées au carré, il vient

quand cette condition est remplie, on a

a-hY = P-i-8, ou aH-Y = i8o*-hp4-8, et, par suite,

tt— p=:8 — Y, ou a— p^riSo*»-!- 8 — Y-

L'angle a — g étant (n** 61) le supplément de celui des deux angles formés par les droites a et g qui comprend l'origine, cette condition est remplie locsque le quadrilatère a,P,Yï5€s^ inscriptible. Quand l'origine est à l'intérieur du quadrilatère, il faut faire A: = — i , l'angle compris entre a et ^ est alors supplémentaire de l'angle formé par '^ elh\ lorsque l'origine est en dehors du quadrilatère, il faut faire, au contraire, /r= I, et dans ce cas les angles opposés sont égaux.

123. Le carré de la distance d'un point quelconque d'une courbe à la base d'un triangle est dans un rapport

DU GBaCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. 197

constant k avec le produit des distances de ce même point aux deux autres côtés ; trouver la condition pour que cette courbe soit un cercle.

Soient a, % y les côtés du triangle ; l'équation générale de la courbe peut évidemment s'écrire

Ed y faisant a = o, pour déterminer les points d'intersection Jalieu et de la droite a, on obtient l'équation y^ = o, dont le premier membre est un carré parfait ; la droite a rencontre donc le lieu en deux points qui coïncident, et par suite (n^83) se confond avec la tangente au point (a, y)- ^^ même, ^ est la tangente au point (^, y). La droite y est donc la corde dé contact des deux tangentes a et p.

En remplaçant, comme au numéro précédent, les abréviations par leurs valeurs développées, et en écrivant que les conditions indiquées au n^ 80 sont remplies, on trouve

cos(a -hf) = A:cos2Y, sin(a-i- p) = Arsinay,

et, par suite,

k = i, a — Y=zY — p.

Pour que le lieu soit un cercle, il faut donc que le triangle soit isoscèle, résultat qui peut s'énoncer ainsi :

Le produit des distances d'un point quelconque d'une circonférence à deux tangentes est égal au carré de la distance de ce point à la corde de contact des deux tangentes.

Exercice.

Trouver la condition pour qu'un cercle soit le Heu des points tels, que la somme c> des carrés de leurs distances au\ trois côtés d'un triaDgle oc^y ^^^^ constante.

icfi CHAPITRE IX.

L'équation du lieu, qui est de la forme a* -i- p* -4- y* = c*, représente un cercle lorsqu'on a

cosaa-f- cos^p -i- cosaY = o, sinaa-j- sina^-f- sinay = o,

et, par suite,

cos2a= — 2cos(pH-Y)cos(p — y), sinaa= — 2sin(pH- y)cosO— ;;.

En ajoutant ces équations, après les avoir élevées au carré, il vient

i = 4cos*(P — y)» ^^ P — Y = ^"•

On verrait de même que chacun des autres angles doit être égal à 6o<>. Il faut donc que le triangle soit équilatéral.

124. Trouver Véquation du cercle circonscrit au triangle formé par les droites a = o, P = o, y = o-

Uéquation

/pY "^ 'WY^ "*" '^^P == ^

représente une courbe du second degré circonscrite à ce triangle, puisqu'elle est vérifiée par chacune des suppositions

ar=0, pirro; pzizO, Y = Oî Y^^^J*^^^'

En suivant la marche indiquée au n® 122, on trouve, pour exprimer que cette courbe devient un cercle, les condilions

/cos(p-H y) + /wcos(Y-Ha) 4- /icos(a -h p) r:=o, /sin(p4- y) H-''* sin(Y4-a) -h n sin(a 4- p) =o.

Mais lorsqu'on a deux équations de la forme

/a' -H mp' -f- nf' ■=! o, Za^'-h wp''-H/iY"=o,

les quantités /, meln sont respectivement proportionnelles

à (p'Z - pY)» (ï'a'' - /«)>(«'?" - «'P') (ï^" 65). Danslecas actuel, l^met n sont proportionnels à sin(fi — y), sin(Y — a),

UU GERCLK. NOTATIONS ABRÉGÉES. I99

sin (a — 3), ou à sinA, sinB, sinC (n" 61), et Ton a, pour Téqualion du cercle circonscrit,

Py sin A 4- ya sin B -i- aS sin G 3= o.

123. L'interprétation géométrique de cette équation n'esl pas sans importance. Les perpendiculaires OQ, OP {fig. i'j )

abaissées d'un point O sur les deux côtés a et 3 du triangle ABC ont précisément pour longueur a et p (n** 34) ; d'ailleurs l'angle QOP qu'elles comprennent est le supplément du l'angle G du triangle : le produit aJsinG mesure donc le double de l'aire du triangle OPQ. De même va sin B, PysinA représentent respectivement le double de Taire des triangles OPR, OQR, OR étant perpendiculaire à v. La quantité

Py sin A H- ya sin B -h ap sin G

est donc le double de l'aire du triangle PQR, et l'équation du numéro précédent exprime que, si le point O appartient au cercle circonscrit au triangle, Taire PQR est nulle, c'est-à-diic (n®36, Corollaire II) que les trois points P, Q, R sont en ligne droite.

Le lieu du point O, déterminant par ses projections sur les trois côtés du triangle ABG, un triangle PQR dont l'aire est constante, a pour équation

Py sin A 4- Y* sin B -t- a^ sin G =::: const.

Gette équation ne difTère que par une constante de celle du

cercle circonscrit; elle représente donc (n® 81 ) un cercle concentrique au cercle circonscrit ( • ).

126. Reprenons l'équation l^y -\- m-^a -h na^ = o, et mettons la sous la forme

Y(/p-i-/na) -+- nap=:=o;

la droite y rencontre la courbe sur les droites a et 0 (n® 124), puisque l'équation ci-dessus se réduit à ag = o, lorsqu'on v fait Y = o. Pour la même raison, la droite l^-\- ma. rencontre la courbe en deux points situés sur les droites a et p ; mais ces deux points coïncident, puisque /p + ma passe par l'intersection de a et p : la droite l^~\- ma. rencontre donc la courbe c^n deux points qui coïncident, c'est-à-dire lui est tangente aupoint (a, P)(n^83).

Cette conséquence de l'équation l^y -i- mya 4- /lag == o, ainsi que quelques autres dont l'exposé va suivre, ne supposent point aux coefficients /, m, n les valeurs particulières

(') L'équation du cercle circonscrit à un quadrilatère, défini par ses côtés a, 9, Y, d et l'une de ses diagonales e, peut se mettre sous Tune ou l'autre des formes

sinA sinB sinE sinC sinD sinE

où A représente l'angle inscrit dans le segment sous-tendu par a, et où Ton a donné à e des signes différents pour indiquer que les triangles a^e et yoe ne se trouvaient pas du même côté de la diagonale e. Tous les points (lu cercle vérifient donc l'équation

sinA sinB sinC sinD a p Y °

qui est du troisième degré, comme il est facile de le voir en chassant les dénominateurs.

Celte équation représente à la fois le cercle circonscrit, et la droite menée par les points d'intersection de a avec Yi et de p avec $. M. Casey a, du reste^ démontré, en suivant la même marche, que tous les points du cercle circonscrit à un polygone d'un nombre quelconque de côtés devaient satisfaire à une relation analogue.

DU CERGLB. NOTATIONS ABREGEES. 20I

sinA, sinB, sinC; elles s'appliquent donc non seulement à un cercle, mais à une courbe quelconque du deuxième degré circonscrite à un triangle.

Dans le cas du cercle, la tangente a pour équation

a sinB -h p sin A =^ o,

et , comme a sin A -f- ^ sinB --= o représente la parallèle , menée par le sommet (a, P) au côté y (n** 64), il en résulte que la tangente fait avec Tun des côtés a du triangle un angle égal à celui que la base y fait avec Tautre côté ^ (n** 53).

En mettant les équations des tangentes menées par les trois sommets du triangle, sous la forme

.- = 0, -^-Hy=0, y4--=0,

m n ni l m

on voit immédiatement que les trois points où ces tangentes

coupent respectivement les côtés opposés du triangle sont

situés sur la droite

yH h- = o;

En retranchant l'une de l'autre les équations des tangentes, on trouve, pour les droites qui joignent les sommets du triangle formé par les tangentes aux sommets correspondants du triangle primitif,

m n ni l m

ces droites se coupent donc en un même point (n® 40) ( * ).

127. La droite, menée par deux points quelconques, a', p', y'î ^t P"î ^ d'une courbe du deuxième degré circon-

(') Les théorèmes de ce numéro sont dus à Bobillier {Annales de Mathémaliquesj t. XVIII, p. 3ao). La première équation du n9 127 est de M. Hermès.

scrite au triangle a ^ y> ^ pour équation

/a m S /ly

^.-TTT/ -o;

<'elle équation se vérifie, en efifet, lorsqu'on y remplace les coordonnées courantes a, 0, y P^^r «S P'? Y» Puisque a", P'^, y' satisfont à Péquatiôn de la courbe 'n^ 124) qui peut se mettre sous la forme

On verrait de même qu'elle est vérifiée par a', ^\ y* ^' on résulte que l'équation de la tangente en un point quelconque (a, p'î y) peut s'écrire

/tt /Tip «Y

et, réciproquement, que si Xa -}- |;«P + vy = o est l'équation d'une tangente, les coordonnées a', p', y' di* point de contact sont données par les relations

En portant les valeurs qu'on en tire pour a', P', y' ^^"-^ l'équation de la courbe, qui doit être vérifiée par les coordonnées du point de contact, on trouve

yZ/X -h v/wji. -h ^nyf ^= o.

C'est la condition pour que la droite Xa -|- jjig + vy ^^'^ tangente à la courbe /gy -\- ^^ol-\- na,^^ et on peut l'appeler (n® 10)V équation tangentielle de la courbe. On obtient auss cette équation tangentielle en éliminant y <^ntre l'équation de la droite et celle de la courbe, et en exprimant que l'équation

résultante en -- a ses racines égales .

DU CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. 2o3

128. Trousser la condition pour que V équation générale du deuxième degré en ol, g, y

représente un cercle ( * ).

Cette condition se déduit facilement des résultats obtenus au n^ 124. En coordonnées cartésiennes, les équations de deux cercles quelconques comportent les mêmes termes du deuxième degré, x^ -hy^j et ne diffèrent que par une quantité linéaire; on pourra donc toujours, S :^ o représentant un cercle, mettre l'équation d^un cercle quelconque sous la forme

S -T- /^ -h my H- n = G ;

il en sera évidemment de même en coordonnées trilinéaires, et pour trouver, dans ce système de coordonnées, l'équation d'un cercle quelconque, il suffira d'ajouter à l'équation d'un cercle connu la fonction linéaire /a+ /wp -;- /ly, après l'avoir toutefois multipliée par la constante

or sinA 4- p sinB -h Y sinG

pour conserver l'homogénéité.

En partant de l'équation trouvée au n^ 124, on obtient ainsi pour l'équation d'un cercle quelconque

(/a-i-mp-h /iY)(asinA -h psinB -+- ysinC)