pYsinA4- yasinB 4-apsinC) = o
et si l'on compare les termes en a^, P^, y^ de cette équation aux termes correspondants de l'équation générale, on voit que celle-ci ne représente un cercle que lorsqu'il est possible
^') Dublin, Exam, Papers, î^mYier iSS'j,
2o4 CHAPITRE IX.
de la ramener à la forme
p-h -w>y) (asinA-f-psinB-h ysinC)
sinA sinB
=:A:(PYsinA4-yasinB -HapsinC).
On déduit de là, pour les autres coefficients,
ay sinB sinC =: csin'B H- 6sin'C-h ArsinAsinB sînC, 2^sinC sinA = asin'C -h c sin'A -\- ArsinA sinB sînC, 2 h sinA sinB -r- ôsin'AH- asin'B -h A* sinA sinB sinC;
ot en éliminant Ar, on trouve, pour les conditions cherchées,
h sin*C 4- c sin*B — a/sinB sinC
=1 c sin*A -f- a sin'C — a^sinC^sinA 1= a sin* B -+- ^ sin^ A — a A sinA sinB.
Les deux cercles, qui ont pour équations
(/a -f- mp + /ly) (a sinA -h p sinB -Hy sinC)
-h A: ( Py sin A -h Y* sinB H- apsinC^ =o, (/'a-H/n'p-f- /i'Y)(xsinA-hpsinB-|- ysinC)
-f- k (PysinA -h y^^î^^^ "+" *P sinC) := o,
ont évidemment pour axe radical la droite
/a-H/np 4- /ly — (/'a -t-m'p -H /l'y) = o,
et l'équation /a -r- /wp -f- /ly = o représente l'axe radical du premier de ces cercles et du cercle circonscrit au triangle.
Exercices.
1 , Vérifier quea^ — y' représente un cercle lorsque A = B (n® 123). Cette équation peut en effet se mettre sous la forme
a^sinC -f- py sinA -+- yasinB — y (a sinA -f- p sinB H- y sinG) = o.
2. Dans quel cas l'équation aat* -f- 6p* -i- cy* = o représenirt-elle un cercle ?
DU CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. ao5
3. Les milieux des côtés d'un triangle et les pieds des hauteurs sont situés sur un même cercle.
L'équation
a^sînAcosÀH- P'sinBcosB-h Y*siiiGcosC
— (PYsinA-h'yasinBH- «psinC) = o
représente une courbe du deuxième degré passant par les points en question ; en y faisant ^ = o, on trouve en effet l'expression
a«sinAcosA-+- p*sinBcosB — aP(sinAcosB + sinBcosA) = o,
qui se décompose en deux facteurs
asinA — PsinB et otcosA — pcosB.
Cette courbe est un cercle, puisque son équation peut s'écrire
(acosA H- pcosB-f- YCosG)(asinA -*- psinB-+- y sinC)
— 2(Py sinA -4- Y«sinB-f- apsinC) = o.
L'axe radical de ce cercle et du cercle circonscrit a pour équation
a cos A H- p cosB -h y cosG = o,
qui est aussi celle de l'axe d'homologie du triangle donné et du triangle formé en joignant les pieds des hauteurs.
129. Trouver l'équation du cercle inscrit dans le triangle formé par les droites a = o, p = o, y == o.
L'équation générale d'une courbe du deuxième degré tangente aux trois côtés du triangle est de la forme
/*a' H- /n' p* -4- /i* Y* — 2 mn py — a nlyoL — 2 /m ap = o ( * ) ;
( * ) A la rigueur, les doubles rectangles ap, ^Y/ • * • pourraient ayoir le double signe sans que la démonstration cessât de s'appliquer. Si Ton donne le signe •+- & tous ces rectangles ou à l'un d'eux seulement [ les deux autres ayant le signe — ), l'équation ne représente plus une courbe du deuxième degré, mais bien le carré de l'une ou l'autre des lignes la:^m^ztny. La forme adoptée ici renferme le cas où un seul des rectangles est négatif, pourvu que l'on suppose que /, m et n emportent leurs signes avec eux.
lUO CHAPITRE IX.
en y faisant y == o, pour déterminer les points où la droite f rencontre la courbe, on obtient, en effet, le carré parfait
/' a' -!- m' p' — 2 /m ap =: o,
qui exprime que ces points coïncident. Le côté y est donc tangent à la courbe, et il en est de même des autres côtés. Cette équation peut aussi se mettre sous la forme
^TÔl -î- ^mp •+- \/nY = o,
comme il est facile de s'en assurer en faisant disparaître les radicaux.
Avant de déterminer les valeurs de /, met n^ qui caractérisent un cercle, nous déduirons de ces équations quelques propriétés communes à toutes les courbes du second degré inscrites dans des triangles.
En écrivant la première équation sous la forme
ny{ny — a /a — 2mp) H- (/a — 7wp)*=o,
on voit que la droite (^a — 'wp)? qui passe par le point (a, g}, passe aussi par le point où y rencontre la courbe. Les trois lignes qui joignent les points de contact des côtés aux sommets opposés du triangle circonscrit ont donc pour équations
la — mp = Oy mp — 71^ = 0, ny — /a := o,
et, par suite, se coupent en un même point.
La droite ny — 2 /a — 2 m^=z o est tangente à la courbe, puisque, en combinant son équation avec celle de la courbe pour déterminer leurs points d'intersection, on trouvé le carré parfait (/a — /wp)- = o; ce qui montre à la fois que ces points coïncident, et que la droite la — m^ passe par le point de contact. Les tangentes menées à la courbe aux points où elle est rencontrée, pour la deuxième fois, par les droites qui joignent les sommets du triangle aux points de
UL CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. 207
contact des côtés opposés, sont donc définies par les équations
2 /a 4- a mp — ny=o,
2mp -\-2 ny — /a. = o, 2 ny -\-2 l OL — mp=ro;
elles rencontrent d'ailleurs les côtés qui leur sont opposés en trois points situés sur la droite
/a H-mp -f- /iY = 0,
puisque cette droite passe par les intersections de la première tangente avec Yj de la deuxième avec a, et de la troisième
avec p.
130. L'équation de la corde menée par les deux points l^t'î P'j ï')^ (a"j 3"î /) de la courbe peut s'écrire (D' Hart)
en remplaçant en effet, dans cette équation, a, g, y par a', 3', y', le premier membre devient
-y/^W (v/^o?-Hv/^'4-v/^'),
et se réduit à zéro, puisque les deux points sont sur la courbe.
En égalant respectivement a'', g'', y"' à a', P', y' dans Téqualion de la corde, on obtient Féquation de la tangente, qui se ramène à la forme
lorsqu'on la divise par 2 s/d'p'y'.
Réciproquement, lorsque la droite Xa + [xg -H vy est tan-
gente à la courbe, les coordonnées a', P', y du point c^e contact satisfont aux relations
\i'='^' vf='*' V?"''
et, en portant les valeurs de od^^'^^j qu'on en tire, dans l'équation de la courbe, on trouve
A {JL V
pour exprimer la condition que la droite Xa -r- [jl^ + vy est tangente à la courbe : c'est Véquation tangentielle de la courbe.
Pour mieux faire ressortir la réciprocité qui existe entre l'équation ordinaire et l'équation tangentielle de la courbe, nous résoudrons le problème inverse : trouver l'équation de la courbe dont les tangentes satisfont à la condition
Reprenons la marcbe indiquée au n^ 127, et rappelonsnous (n** 70) que toute équation de la forme A X -h B|jL -r- Cv = 0, exprimant que la droite
Xa -r- [iP 4- vy =:: O
passe par un certain point, est l'équation tangentielle de ce point. Lorsque les coefficients X', ijl', v' ; X", [jl'', v" des équations de deux droites satisfont à la condition indiquée ci-dessus, les droites X'a -{- [jl'P -î- v' y i ^^"a + 1*''^ -h v"y sont tangentes à la courbe dont nous cherchons l'équation, et la relation
l\ ma /i V
qui est vérifiée par les coordonnées tangentieUes des deux
DU CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. 209
droites, est l'équation tangentielle de leur point d'intersec-
tion.
En égalant respectivement X', jjl',v' à X",^JL",v'^ on obtient Féquation de l'intersection de deux tangentes consécutives, autrement dit l'équation du point de contact d'une tangente. Cette équation peut s'écrire
/X mu. nv
et Ton a pour les coordonnées trilinéaires du point de
contact
En portant les valeurs de X',|jl',v' qui leur correspondent dans la relation à laquelle ces valeurs doivent satisfaire par hypothèse, on obtient pour l'équation de la courbe cherchée
y/7â -f- ^mp -h ^7rf = o.
131. Pour que l'équation du n° 129 représente un cercle, il faut (n®128) que ses coefficients vérifient les relations
m* sin* C -r w' sin' B 4- a mn sin B sin G
z= /i* sin* A -h /* sin* G -h 2 ni sin G sin A •=2 P sin*B -f- m* sin* A -h 2lm sin A sinB,
ou, ce qui revient au même,
msinC -h 71 sin B = zli(/isinA -h ZsinG)
= ±: ( Z sin B -f- /?i sin A ) .
En changeant les signes, on peut écrire ces équations de quatre manières différentes; il existe donc quatre cercles tangents aux trois côtés d'un triangle. Lorsqu'on prend à la fois tous les membres avec le signe + , on a les équations
ZsinC — m sin G 4- /i(sinA — sinB) = o, ZsinB -hm(sinA — sinG) — /isinB=io, S. — Géom. à deux dim. i4
d'où l'on tire (n« 124)
/ = sin A ( sin B -H sin G — sînA), m ;= sin B ( sin G -h sin A — sin B ) , n r^ sin G ( sin A -h sin B — sin G).
Les angles d'un triangle étant assujettis à la relation
sinB -4- sinG — sinA =: 4cos|A sin|6 sinjG,
ces valeurs de /, m et n sont respectivement proportionnelles à cos^^A, cos^ jB, cos^^C; et on a pour Téquation du cercle correspondant, cercle qui est inscrit dans le triangle,
cosiAya -f-cos^B y^p -i-cos|Gy/Y=r'o ('), ou bien
a» cos^A 4- p* cos4B -h y* cos^C — 2ap cos'^A cos«|B
— 2Pycos*|Bcos*|G — ayacos'^Gcos'j A — 0.
( ' ) Le D*" Hart déduit, de la manière suivante, cette équation de celle du cercle circonscrit. Soient a', f^', y' les côtés du triangle formé en joi- ;;nant les points de contact ; A', B', C les angles de ce triangle. L'équation cherchée peut s'écrire (n* 124)
P'y' sin A' -+- y'a' sinB' -h a'p' smC = o;
et en observant que A' — go* — \ A, et que pour chaque point du cercle, on a (n* 123) a" = Py» P" — T»» T" ~ «P> ^^ retombe sur l'équation
cos \K ^oL-h cos| B /p -h cos J C y/y — o.
En opérant de la même manière sur l'équation du cercle circonscrit an quadrilatère (n* 125, Note), on trouve que tous les points du cercle inscrit dans le quadrilatère apyS satisfont à la relation
cos Je 13) cosifaS) cos -^(34) rosîf/^i^ v/âp \/pY V^YÔ VàoL
où (la) représente l'angle compris entre a et p. On obtiendrait une relation analogue pour le cercle inscrit dans un polygone d'un nombre quelconque de côtés.
DU CERCLE. NOTATIONS ABREGEES. ail
Il est, da reste, facile de s'assurer que cette équation représente un cercle, en la mettant sous la forme
/' cos^A .cos*^B cos*|C\, . . « . « . ^.
