X . \ -h& . p -h Y— 7-^ (xsinA-i-ôsmB-f-YsmC
\ sinA ^ smB * smC /^ '^ • ^
4cos'|Acos'-;Bcos*{C , . . . -. ,, . i-,v
— r . ' ^ ' n (PY SI"* a -h va smB -h aô smC) =: o.
sinAsmBsmC ^* ' r /
On trouverait de môme pour Téquation d'un des cercles exinscrits
ol'cos^A -4- Ô«sin*|B -{-Y'sin^C — apYsin^B sin^C
-h 2 Yasin'|Gcos*jA-t- 2xpsin*^Bcos'j A=r o, ou bien
cos^Ay/ — a -h sin|B^ -h sin|Cv/Y = o.
Le signe — de a tient à ce que ce cercle n'est pas du même côté de a que le cercle inscrit.
Exercice.
Trouver Taxe radical du cercle inscrit et du cercle passant par les milieux des côtés du triangle.
En employant la méthode du nol28, on trouve pour l'équation de
cet axe
acos*-Àcos*-B cos*-C(acosAH- pcosB-h ycosG)
cos*-A cos*-B cos*-G
sinA •^ smB • sinC
divisant par 2 cos- A cos- B cos- G, le coefficient de a devient
cos
ou
- A ( a cos'- A sin-Bsin-G — cos A cos- B cos- G ) :
cos-Asin-(A — B)sin- (A — G);
2ia CHAPITRE IX*
par suite, Téquation peut s'écrire
ctcos-A ficos-B vcos-C
sini(B — C) sin-(C — A) sini(A — B)
La droite qu'elle représente est tangente (n^i 30) au cercle inscrit, et les coordonnées du point de contact sont sin> - ( B — G ), sin* - ( G — A )
etsin'-(A — B). Il résulte de ces valeurs (n<^ 66), que le point de
contact se trouve sur la ligne joignant les deux centres qui ont pour coordonnées : i, i,i et cos(B — G), cos(G — A), cos(A — B).
On démontrerait de la même manière que le cercle passant par les milieux des côtés est tangent à tous les cercles qui touchent les c6tés. Ge théorème a été indiqué par Feuerbach ( ^ ).
132. Lorsque l'équation d'un cercle en coordonnées trilinéaires correspond à une équation en coordonnées rectangulaires dans laquelle m est le coefficient de x^ -\-y^^ '^
(*) M. Gasey a donné, du théorème de Feuerbach, une démonstration qui peut s'appliquer au théorème beaucoup plus général du D** Hart : Ltf cercles tangents à trois cercles donnes sont quatre par quatre tangents à un cinquième cercle. Désignons par i, 2 et 3 les cercles exinscrits, par 4 le cercle inscrit, par (la) et (12)' les longueurs respectives des tangentes directes et inverses communes aux cercles z et a, et soient a, b, c les cdtés du triangle rangés par ordre de grandeur. La droite a laissant d'un côté le cercle i, et de l'autre les cercles a, 3 et 4; on aura (n* 121 c)
(.3)'(a4) = (ia)'(34)-+-(i4)'(a3); et de même
(ia)'{34)-h(24)'('3) = (a3)'(i4), (a3)'(i4) = (i3)'(a4)-h(34y(xa);
ajoutant membre à membre, il vient
(a4)'(i3) = (i4y(a3)-f-(34)'(ia).
Le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits à un triangle quelconque sont donc tangents à un cinquième cercle qui laisse le cercle inscrit <fun côte et les trois cercles exinscrits de l'autre côte.
DU CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. ai3
1 ésultat obtenu, en y remplaçant les coordonnées courantes par les coordonnées d^un point, représente m fois le carré de la tangente menée au cercle par ce point. Pour déterminer cette constante m, il suffit donc de connaître la longueur de la tangente menée au cercle par un point convenablement choisi, ce à quoi on arrive généralement par de simples considérations géométriques. Cette constante étant une fois déterminée, on pourra s^en servir pour calculer la longueur de la tangente menée au cercle par un point quelconque.
L'équation obtenue^ en formant la différence des équations de deux cercles, préalablement divisées par leurs constantes respectives m et m', représente l'axe radical des deux cercles ; cette équation est donc toujours divisible par
a sin A -h p sinB -h y sinC.
Exercices.
A. Trouver la valeur de la constante m du cercle
a'sinAcosA-h p* sin B cos B -h y' sinCcosC
— Py sin a — Y* si°^ — ap sinC = o
qui passe par les milieux des côtés du triangle de référence
(no 128, Ex. 3).
Ce cercle coupe le côté y ^^ deux points dont les distances au sommet A sont -celb cos A; le carré de la tangente issue du point A
est donc égal à ~ 6c cos A. En remplaçant, dans Téquation du cercle les coordonnées courantes par les coordonnées du point A
0L = b sine = c sinB, p = o, Y = o,
on trouve d'autre part pour le carré de cette même tangente
&c sin A sin B sin G cos A, ce qui donne
m = asin A sinB sînG.
ai4 CHAPITRE IX.
