Déterminer la constante m pour le cercle circonscrit

PY sin a -+- ya sinB -f- a^ sinC = o.

Lorsqu'on retranche de Téquation de l'Exemple précédent les termes linéaires

(acosA-f- pcosB-f- y cosG)(asinA-f- p sinB -i- y sinC),

le coefficient de x^ -^y* ne change pas. La constante cherchée esL

donc

m = — sin A sinB sinC.

Il en résulte que la constante d'un cercle, dont Téquatioa est donnée sous la forme indiquée à la fin du n» 128, est égale à

— k sin A sinB sin G.

3. Trouver la distance D du centre du cercle inscrit au centre du cercle circonscrit.

Soient r et R les rayons de ces cercles : le carré de la tangente menée par le centre du cercle inscrit au cercle circonscrit est égal à D' — R' ; et comme il s'obtient également en substituant les coordonnées a = p = Y = /' du centre du cercle inscrit dans l'équation (Ex. 2) du cercle circonscrit, on a

p. R. = r«(sin A + SinB + sinC ) ^ ^r

Sin A sinB sm C et, par suite,

D« = R« — îiRr.

4. Trouver la distance D du centre du cercle inscrit au centre du cercle passant par les milieux des côtés.

Soit p le rayon de ce dernier cercle ; en employant la formule

sin A cosA -h sinBcosB+ sinG cosG = asinAsiaBsinC, on a

D* — p« = r* — Rr;

et comme R = 2p, on en déduit D = r — p ; autrement dit, les cercles sont tangents.