Trouver la constante m pour le cercle inscrit (n»13i
Réponse, m = 4 cos'- A cos'-B cos*-C.
DU CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. 2l5
6. Former V équation tangentielle du cercle ayant {a! ^^' ,^' ) pour centre et r pour rayon.
En procédant comme au n» 86 ( Ex.. 4 ), et en se reportant à la for-> mule du n» 61, on trouve pour Téquation cherchée
— r*(X*-T- jjL* -+- V* — 2|jLv cosA — avX cosB — iiX(jicosC). L'équation correspondante en a, p, y ^^^ ^^ suivante : r*(asinA -h P sinB-f- y sinC)-
— 2( ya' — y'°^.'^ *P' — *' P ) cos A
— 2tap' --a'p)(pY' — P't)cosB -2(Pf-P'ï)(ïa'-Y'«)cosC,
comme on peut s*en assurer en employant la méthode indiquée au no 285.
Cette équation donne aussi une expression pour la distance de deux points.
7. Les projections sur les côtés du triangle de référence des points {ol' y P', T')^' ( Z/'ftî' ~7 ) (tï^hb) sont sur un même cercle.
En se reportant au n^61 (Ex. 6), on voit que ce cercle a pour équation
(pysinA -i- YasînB-f- ap sinG)(of'sinA-i- p' sin B -h y' sin C ) X ( P'y' sin a -4- y' a' sinB -+- a'p' sinC) = sinAsinBsinG(ocsinA+ psinB-f- YsinC)
afl[7p'-4-Y'cosA)(Y'-^-P'cosA) PP'Cy'-^ «' cosB)iV-^ fcosB)
sin A sin B
Yf («' -^ y cosC)(y -H a' cosC) siu G
8. Lorsque Téquation d'un cercle est donnée sous la forme (n^ 128 (/an- /npn- n'>(){(ismA -f- ... )-t- A:(PYsinA-î- ...)
2l6 CHAPITRE IX.
on a, pour les coordonnées du centre,
-r(A:'cosA-f- / -mcosG — ncosB), t-(A:cosB — /cosG-+-m — ncosA)
T7(A:cosG — /cosB — mcosX •+• /i),
et pour le rayon p
/:«p« ~ Ri[X:2-f- ^k{lcosX-h /ncosB-4- ncosG)
-r- /2 -4- /n* -H n^ — amncosA — 2/1/cosB — a/mcosG],
R représentant le rayon du cercle circonscrit.
L'angle 0, sous lequel se coupent les deux cercles du n» 128| est donné par la relation
pp' cos6 / cos A ~h m ros B -4- n cos C t cos A h- m' cos B -h /i' cosC
Il ~ I -4- — — h .
ir -t- m.m' -+- nn' — [mn' -+- m' n) cos A — (n/' -f- n' l) cos B — ilm! -\-t nC) cos C
Ges expressions ont été indiquées par M. Gathcart, qui les a obtenues en s'appuyant sur les principes suivants: le centre d'un cercle est le pôle de la droite à l'infini atsinA-h PsinB h- y sinC; lorsque les termes en a?' et en^' de l'équation d'un cercle ont l'unité pour coeffîcient, le carré du rayon s'obtient en changeant le signe du résultat auquel on arrive en substituant, dans cette équation, les coordonnées du centre aux coordonnées courantes.
132 {(i), La notation des déterminants (') est actuellement d'un usage assez fréquent, pour que nous puissions y avoir recours sans inconvénient dans les Chapitres les moins élémentaires de ce Traité.
Le double de Taire du triangle formé par les trois points (^oXO' (^îî^^a)? (^SîJKs) (n**36) est donné par le déter-
(*) La théorie des déterminants a été exposée par M. Salmon dans ses Leçons d'Algèbre supérieure.
DU CERCLE. NOTATIONS ABREGEES
ai7
minant
L^équation (n®29) de la droite joignant les deux, points {x\y) (x'^^y), et la condition (n*38) pour que trois droites se coupent en un même point peuvent se mettre sous la forme
af y»
Exerc:
A'' Ices.
1. Trouver l'aire du triangle formé par les droites /«-+- mp -f- ny, ^«-f- m'P -h n'y, /'a-h m'p h- n y.
En représentant par a, b, c les côtés et par A l'aire du triangle de référence, l'aire cherchée a pour expression.
^.abc
2. Former V équation de la perpendiculaire abaissée du point {%', ?',/) ^^'^ ^^ droite la-\- m^-h n^ :
Réponse.
» a' l — m ces G — n cos B P P' m— ncosA — l cosC f y' '^ — ^ cos B — m cos A
132 (6). Les équations du cercle passant par trois points (n® 94), et du cercle en coupant orthogonalement trois autres
2l8 CHAPITRE IX.
( Q® 112, Êx. 2), sont respectivement
^yt
On peut aussi obtenir l'équation de ce dernier cercle en se basant sur le théorème du n** 116 (Ex. 6), et en le considérant comme le lieu du point dont les polaires, par rapport aux trois cercles donnés, passent par un même point; on trouve ainsi
nous discuterons plus loin l'équation à laquelle on arrive dans le cas de trois courbes du second degré.
132 (c). Lorsque le rayon d'un cercle devient nul, son équation prend la forme
(a?-a)« + (/-p)» = o, et la polaire
d'un point quelconque {x^^y') passe évidemment par le point (a, P). n est d'ailleurs facile de voir que cette polaire est perpendiculaire à la droite qui joint (^', J^)? («i P)- Quand le cercle
X^ -f- j' -T- 3^0? -\- if y -+- c z=: o
se réduit à un point, les coordonnées de ce point, qui sont données par les mêmes équations, ^ + ^ = o, j^ 4-/=0t que les coordonnées du centre, satisfont en outre à l'équation de la polaire de l'origine
DU CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES. ^ig
Pour que /S' H- m S'' +/iS''' représente un point, S', S'' et S'^'^ étant trois cercles donnés, il faut donc que Ton puisse trouver un point dont les coordonnées satisfassent aux relations
l(x-i- g') -hm{a: -\- g")-h n{x-\- g^) zz:o i{y-^f)-^rn{y-^f)--n{y^f) = o
^(^^ -J-/7 -H c') -\-m{g'x -h fy -h c' )
-H n {g^x -h fy -h c") =r o,
ou, ce qui revient au même, à l'équation obtenue en éliminant Ij m et n entre ces relations. Cette dernière équation est identique à la troisième équation du numéro précédent; le cercle qui coupe orthogonalement trois cercles donnés est donc le lieu de tous les points qui peuvent être représentés par l'équation /S' -r /wS" 4- nS''' = o. En se reportant à l'expression donnée au n** 112 (Ex. 8)
2 rr' cosô = 2gg^ -+- 2/f' — c — c'
pour Tangle 6 sous lequel se coupent deux cercles, et en calculant, comme il a été dit au n® 80, le rayon du cercle /S' -h m S" H- nS"\ on obtient l'équation
2mnrV^cos6'-i-2n/r*r'cos6''-h2/mr'r*cosô"',
où 6', ^ et ô'^' sont les angles sous lesquels se coupent respectivement les cercles S", S"' et S'.
Les coordonnées du centre du cercle ZS'-H /nS^'-h /iS"', qui sont
Ig' 4- mg^ -h ng^ If -h mf -f- nf'
représentent donc un point du cercle coupant orthogonalement les trois cercles donnés, toutes les fois que /, m et n vérifient la relation
/»r'*-t-/w*r'^*-hn«r*'*-h ... =0;
aao
et cette relation se réduit à ses trois premiers termes, lorsque les cercles donnés se coupent respectivement à angle droit ( ' ).
132 (d), La condition, pour que quatre cercles puissent être coupés orthogonalement par un cinquième cercle, s'obtient en éliminant G, F, G entre les quatre équations
al
G^ + aFy-C-
Grff'-i-iFf—C — c'—O
ce qui donne
Cette condition peut s'interpréter géométriquement, en observant que, dans l'équation du premier cercle, c représente le carré de la tangente issue de l'origine, et que cette origine est en définitive un point quelconque. On voit ainsi (n** 94) que les tangentes, menées par un point quelconque, à quatre cercles ayant même cercle orthogonal, satisfont à la relation
OA .BCD + OG .ABDi=OB .ACD-i-OD .ABC (»). 132 (e). Lorsqu'un cercle
rencontre trois cercles donnés sous le même angle 6, on a trois équations de la forme
c' + aRr' cosô — 2G^' — 2F/' + C = o,
(*) Gasst, Phil. Trans,; 1871, p. 586.
( ' ; Ce théorème, indiqué par M. R.-J. Harvey, a été publié par M. Casey {Trans. Royal îrish Acad.^ XXIV^ 458).
DU CERCLE. NOTATIONS ABREGEES
et en éliminant G^ F et C entre ces équations et la précédente, on obtient la relation
c' H- aRr' cosô
c' H-aRr'cosÔ
c'-haRr'cose
qai devient, en faisant 2R côsO X,
L'équation obtenue, en égalant à zéro le premier déterminant, est, ainsi qu'on Fa vu au n® 432 (6), l'équation du cercle orthogonal ; celle qui est obtenue, en égalant à zéro le deuxième déterminant, représente l'axe de similitude des trois cercles donnés (n® 1 17 ) . De là résulte le théorème suivant, déjà indiqué dans la note du n® H8 : Tous les cercles, qui coupent sous un même angle trois cercles donnés, ont pour axe radical commun Vaxe de similitude de ces trois cercles. En changeant, dans le dernier déterminant, le signe de l'une ou l'autre des quantités /, r" ou r" ^ on obtient les équations des trois autres axes de similitude.
Nous avons vu au n® H 8 que l'on peut prendre pour angle de deux cercles l'un ou l'autre des angles supplémentaires que forment ces deux cercles; nous voyons maintenant qu'en remplaçant, dans l'une des lignes quelconques du premier
(*) Cette équation ne diffère de celle du cercle orthogonal que par la substitution de c' + Xr'... à c'. ..; on peut donc, ainsi que le fait remarquer M. Cathcart, l'obtenir immédiatement sous une autre forme, en effectuant la même substitution dans le déterminant par lequel se termine le n* 132(0).
déterminant, l'angle 0 par son supplément, on obtient le même résultat qu'en changeant le signe du rayon r qui figure dans cette ligne. Les cercles, qui coupent sous un même angle trois cercles donnés, peuvent donc se répartir en quatre groupes, ayant chacun pour axe radical, l'un des axes de similitude des trois cercles.
En calculant, d'après les formules ordinaires, le rayon R du cercle dont nous avons donné plus haut l'équation, on arrive à une relation entre R et X, qui se transforme facilement en une relation entre X et 9, puisqu'on a 2 R cos 6 = X ; cette dernière relation est du deuxième degré en X.
Exercices.
i. Former la condition pour que les équations
ax-h by-\- c — cC X -h Vy -f- c' = a'ar -4- h' y -h c' = a'x 4- h" y -h c*
soient compatibles.
Soit X la valeur commune de chacune de ces quantités. En éliminant X, y et X entre les quatre équations ax -h 6y-h c = X,..., on trouve, pour la condition cherchée,
ou bien
A, B, G| D désignant les quatre déterminants mineurs obtenus en supprimant la première ligne, et successivement chacune des colonnes dans le déterminant qui précède.
La condition pour que quatre droites forment un quadrilatère circonscrit peut s'obtenir en exprimant que les équations a = p = y = 5 sont compatibles. Dans ce cas, les déterminants mineurs A, B, G, D représentent respectivement le produit d'un côté du quadrilatère par les «inus des deux angles adjacents.
DU CERCLE. NOTATIONS ABREGEES
2. L'expression, donnée au n» 132 (Ex. Gj), pour la [distance de deux points peut se mettre sous la forme.
/•-(xsinA-f-psinB-f-YsinC)* =
o o ae' p' Y
a Cl! I — cos C - - cos B
p p' — cosG I — cosA
Y y — cosB — cos A 1 I
et le déterminant qu'elle renferme est égal au produit des deux déterminants
»JC
g— IC
dans lesquels on a fait, suivant Timage, i = y^^i .
3. Trouver une relation entre les distances deux à deux de quatre points pris sur un cercle.
En effectuant, d'après la règle connue, le produit des deux déterminants
