IX

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qui expriment tous deux la condition indiquée au n^ 94, on trouve l^our la relation cherchée

dans laquelle (12)* représente le carré de la distance des deux points I et 2. Le développement du déterminant conduit à l'équation

(12)(34) ±: (i3)(42) ± (i4)(ii3) = o.

2'j4 chapitre IX.

4. Trouver une relation entre les distances deux à deux de quatre points sur un plan.

Ajoutons une unité et des zéros aux deux déterminants dont nous avons fait le produit dans rExercice précédent, il vient

Nous avons maintenant cinq lignes horizontales et quatre colonnes seulement; le produit doit donc être nul. Mais ce produit n'est autre que le déterminant

qui donne te développement

04)Hïi3)»[(i4)2 (23)»(34)« (42)2

En remplaçant dans cette équation (23), (3i), (12) par a, b, c\ (i4)? (24), (34) par R-f- r, R-h r', R -+- r*, on obtient une équation du second degré en R, dont les racines représentent les rayons des cercles touchant à la fois extérieurement, ou intérieurement, les •trois cercles'ayant r, r', /^ pour rayons, et dont les centres forment un triangle ayant a, 6 et c pour côtés.

Les solutions des Exercices 2 et 3 sont dues à M. Gayley. ( Voir les Leçons d'Algèbre supérieure^ traduction française, p. 27.)

5. On peut obtenir une relation entre les longueurs des tangentes communes à cinq cercles, en suivant la même marche que dans l'Exercice précédent.

DU CERCLE. NOTATIONS ABRÉGÉES

Écrivons les deux séries d'éléments

aaS

- îsa;' — ^y — ar' r

contenant chacune cinq lignes horizontales et six colonnes; leur produit doit être nul. On a donc, en suivant les règles indiquées pour la multiplication des déterminants, la relation

0 (la)- (i3)' (i4)'

(iiy 0 (33)2 (a4)2

my- (a4)' (34)' o

Ci5)» (25)^ (35 j« (45)2 o

dans laquelle (12) représente la longueur de la tangente commune aux deux premiers cercles. Si le cinquième cercle est tangent aux quatre premiers, les quantités (i5), (25), (35), (45) s'annulent, et l'on retrouve ainsi, comme cas particulier de la relation précédente, le théorème de M. Casey (n» 121 ) qu'on peut alors exprimer sous la forme suivante :

6. Relation entre les angles sous lesquels quatre cercles se coupent. Soient r, r', 1^ et r" les rayons de ces cercles. Les centres i, 2, 3 et 4 de ces quatre cercles vérifient évidemment la relation de l'Exercice 4, et comme on a

(12)2 — r' -^ r'* — 2r/-' cos(i2), b. — Geom, à deux dini. i5

il vient pour la relation cherchée

I o r'^-hr* —ir'r cos(ai) r'^-hr* —^r^r cos(3i) r''*'\-r* — 2r*rcos{4i^

I r*-i' r^* —2rr' co8( 12) o r'^-hr'* —2 r" r^ cos(32) r"*-hr'* — 2rVcos( Ja)

I /•*-!- r'^—arr'cos (i3) r'*-f-r"'—2r'r'cos (28) o r^'-i-r'*— 2rVcos(4:i)

i r»-rr*-— 2rr*cos(i4) r'*-Hr**—2r'r* 005(24) r'*-hr'*— 2rV"'co8(34) o

En retranchant des quatre dernières colonnes la première colonne multipliée successivement par r*, r'*, t'*, r'*, et des quatre dernières lignes la première ligne multipliée successivement par les mêmes facteurs, ce déterminant prend la forme

cos('ia)

cos(i3) cos(23)

cos(2i) cos(3i) cos(4i)

I cos(32) cos(42^

I cos(43) cos(i4) cos(24) cos(34) I

oii, pour éviter les fractions, on a remplacé -par p, —, par p'. ...

En y faisant cos(2i) — cos(3i) = cos(4i) = cosô, on obtient Té-

quation du deuxième degré en X, dont nous avons parlé à la fin du

nM32(e).

CLASSIFIGATION ET PROPRIÉTÉS œMMUNES DES œURBES