REPRÉSENTÉES PAR L'ÉQUATION GÉNÉRALE DU DEUXIÈME DEGRÉ

133. L'équation générale du deuxième degré entre deux variables x ely est de la forme

ax^ 4- a hxy -f- by* -+- 'Xgx -h 2/j -1-0 = 0;

elle renferme six constantes a^b^c^f^g^h] mais il suffit do cinq relations entre ces constantes pour déterminer une courbe du deuxième degré ( ' ).

La nature d'une courbe ne dépend pas, en effet, de la grandeur absolue des coefficients de son équation; elle dépend uniquement de leurs rapports mutuels, puisque, en multipliant ou en divisant tous les termes d'une équation par une quantité constante, on ne change pas la courbe qu'elle représente. On peut donc diviser par c tous les termes de Téquation du deuxième degré, de manière à ramener à l'unité le terme absolu ; il ne reste plus alors que cinq constantes à déterminer.

( ' ) Nous démontrerons plus loin que la section faite par un plan dans un cône à base circulaire est une courbe du deuxième degré, et que, réciproquement, toute courbe du deuxième degré peut être placée sur un pareil c6ne, et par suite être considérée comme une section conique. C'est du reste à ce point de Yue que les courbes du deuxième degré furent étudiées d'abord par les géomètres. Aussi dirons-nous fréquemment, pour abréger : section conique et même conique j au lieu de courbe du deuxième degré.

Ainsi une conique est déterminée par cinq points, puî«qu'en substituant aux coordonnées courantes, dans Téquation générale, les coordonnées x\ j^', . . . des points par où doit passer la courbe, on obtient entre les coefficients cinq équations qui suffisent pour déterminer les cinq quantihs

434. Nous aurons souvent à employer dans le cours de ce Chapitre la transformation des coordonnées , il convient donc de chercher ce que devient Féquation générale du second degré lorsqu'on transporte les axes parallèlement à euxmêmes à une nouvelle origine, (a;', ^').

En remplaçant , dans cette équation ^ x et y par x -\-3^ ct^ H-jk' (n® 8), on obtient l'équation transformée

-+- ig{x -{- x') -{- 2/(7-1-7') -l-c = o,

et il est facile de voir, en développant et en ordonnant cette expression, que les coefficients a, 2 A et b de x^^ xy elyn'ont pas changé, et que les coefficients ^,/, c ont pris les valeurs g^, y, d indiquées ci-après :

g' — aa^-^hy^-^g, b'=.hx^-r-by'-^f, c' =a j?"" -h 2 hx'y -h 67'* -I- '^gx' -^ 2/7' -f- c.

Donc, si Von rapporte à de nouveaux axes l'équation d'une courbe de deuxième degré, et si ces axes sont parallèles aux anciens j les coefficients des termes du degré le plus élevé ne changent pas, et le nouveau terme absolu est égal au résultat de la substitution, dans V équation primitive.

des coordonnées de la nouvelle origine aux coordonnées

courantes {^).

135. Une droite quelconque rencontre toujours une courbe du deuxième degré en deux points réels, coïncidents ou imaginaires.

Ce théorème résulte (n"82) de ce que, pour déterminer les points d'intersection d'une droite j^ = mx -f- n avec une conique, on obtient toujours une équation du deuxième degré. C'est ainsi que les points où la conique rencontre les axes sont donnés par les équations (n® 84) du deuxième degré

ax^ ->r 'i gx -h c = o, 6/* -.- ^Jy -h c =1 o.

L'équation qui donne les points d'intersection s'abaisse au premier degré, lorsque l'équation de laconique ne contient pas de terme en x^ ou enjK^- C'est ce qui arrive, par exemple, • quand on cherche l'intersection de la courbe

xy -i- 2 j^* -\- X -h ^y -f- 3 = G

avecl'axe des j:; ce cas semble faire exception au cas général, mais l'exception n'est qu'apparente, comme on va le voir. Considérons, en effet, l'équation du deuxième degré

A^' -r- 2Bx -h C-- o;

quand le coefficient C s'annule, on ne dit pas que cette équation se réduit au premier degré, on la regarde comme une équation du deuxième degré, avant pour racines x' = o,

2B ^*= ^» En mettant l'équation du deuxième degré sous

(') Ce théorème est également vrai, et se démontre de la même manière pour les équations d'un degré quelconque.

2l3o GHAPITRB X.

la forme

K^y^^Ki)-^-^^^'

et en répétant le même raisonnement, on volt que si A devient nul, cette équation doit encore être considérée comme

une équation du deuxième degré ayant pour racines -7 °'

— j. = 7T-J on X =^(Xi .x" ^= ïT • On arrive d'ailleurs à

la même conclusion en partant de la valeur générale de x, qui

s'exprime par Tune ou l'autre des fractions

— B±:v/B* — AG ^ ^

Xz=i \ ? ^

— B =i= v/1^2 — AG

suivant qu'on la déduit de l'équation en x ou de celle en -•

La valeur du radical tend vers zh B à mesure que A diminue; et l'examen de la dernière fraction montre qu'il y a une des valeurs de x qui devient d'autant plus grande que A est plus petit ; on doit donc considérer une des racines comme infinie lorsque A est égal à zéro.

Si donc on trouve, pour déterminer les points où une droite rencontre la courbe, une équation du premier degré, on peut regarder cette équation comme le cas limite