a7*-|-2Bd7-}-G3=rO
auquel correspond une racine infinie, et dire qu'un des points d'intersection de la courbe avec la droite est situé à l'infini.
Ainsi, l'équation citée plus haut pour exemple, pouvant s'écrire
représente deux droites : l'une coupe l'axe des x à une dis-
DBS COURBES DU DBUXIBMB DBGRB. l3l
tance finie de l'origine; l'autre rencontre cet axe à Pinfini, puisqu'elle lui est parallèle.
Si, dans l'équation Ax^ -f- aB^ -f- G = o, B et G s'évanouissent à la fois, les deux racines, sont égales à o ; si B et A s'évanouissent, les deux racines deviennent infinies.
On voit donc qu'en tenant compte des points situés à Finfini, ainsi que des points imaginaires, on peut dire qu'une droite rencontre toujours en deux points une courbe du deuxième degré.
136. L'équation générale du deuxième degré, transformée en coordonnées polaires, est de la forme (')
(acos'O -h 2Acos6sin6 -r- 6sin*6)p'
2(^cosô -h/sinO) p -hC=:0,
et ses racines expriment les longueurs des rayons vecteurs qui correspondent à une valeur déterminée de l'angle 6. La condition pour qu'un de ces rayons vecteurs soit infini, c'està-dire pour qu'il rencontre la courbe à l'infini, s'obtiendra en écrivant que le coefficient de p^ devient nul. On a ainsi, pour déterminer les valeurs de 0 qui correspondent à ces rayons vecteurs, l'équation du deuxième degré
a -h 2AtangO -h 6tang*6 = o.
On peut donc toujours mener par l'origine deux droites réelles^ coïncidentes ou imaginaires, qui rencontrent la courbe à V infini.
(') Nous avons supposé l'équation générale rapportée à des cordonnées rectangulaires; mais on procéderait encore de la même manière si les coordonnées étaient obliques ; tout se réduirait à rem1>lacer xety par
sinO sin((i)— 0) .^%
sino) ^ smw
ce qui modifierait les expressions sans rien changer aux résultats énoncés.
Si, après avoir multiplié par p^ Téquatioa
acos*Ô 4- aAcosO sinO -i- 6sin'ô r=zo,
on y remplace pcosO, p sinO par leurs valeurs x et^, on a, pour l'équation de ces deux droites,
ax- -\-2 hxy -j- hy^ -~ o,
et Ton voit que chacune d'elles rencontre la courbe en un deuxième point, situé à une distance finie et donnée par r équation
2 (^ cos ô-r-/sin6)p-i-c = o.
L'origine étant arbitraire, il s'ensuit que, par un point quelconque, on peut toujours mener deux droites rencontrant la courbe à l'infini. Dans les équations qu'on obtient en prenant successivement différents points pour origine, le^ constantes a, è, h ne changent pas (n® 134) : les directions des droites qui rencontrent la courbe à l'infini sont donc toujours données par la même équation
acos*ô -H aAcosOsinO -h 6sin*ô i=o.
Donc, si deux droites réelles issues d'un même point rencontrent la courbe à V infini, les parallèles menées a ces droites par un point quelconque rencontrent aussi la courbe à l' infini { ' ).
137 Une des questions les plus importantes qu'on puisse se poser relativement à la forme d'une courbe représentée par une équation est celle de savoir si cette courbe est limitée dans tous les sens, ou si elle s'éteud à l'infini dans une certaine direction. Nous avons déjà vu qu'une équation du
(') Ce théorème est évident géométriquemeDt, puisque deux parallèles peuvent être considérées comme passant par un même point situé à Tinfîni.
deuxième degré peut représenter une courbe limitée en tous sens, comme le cercle, ou bien un lieu s'étendant à Finfini, comme dans le cas où elle représente deux droites. II est donc nécessaire de trouver un critérium qui permette de distinguer facilement à laquelle de ces classes appartient le lieu représenté par une équation donnée du deuxième degré. Ce critérium peut se déduire facilement de ce que nous r.vons dit au numéro précédent; quand la courbe est limitée dans tous les sens, on ne peut, en effet, mener par Toriginc aucun rayon vecteur réel ayant une valeur infinie ; autrement dit on ne peut satisfaire à l'équation
a-\-2h tangO -H b tang' 6 :^ o
par aucune valeur réelle de G.
i" Quand on suppose h- — ab <i o, les racines de cette équation sont imaginaires, et il n'existe aucune droite réelle rencontrant la courbe à l'infini. La courbe, qui est alors limitée dans tous les sens, a reçu le nom d'ellipse; on verra, dans le Chapitre suivant, que sa forme est celle qui est indiquée par la ^g, 48.
Fig. 43.
2* Lorsque h^ — aè >> o, les racines de l'équation
a-haAtangO -h 6tang*6 =:z o
sont réelles ; par conséquent il y a deux valeurs de 0 pour lesquelles le rayon vecteur mené de l'origine à la courbe
devient infini. On peut donc, dans ce cas, mener par l'origine les deux droites réelles
ax^ -f- a hxy -+- by^ = o,
rencontrant la courbe à Tinfini. Une pareille courbe s'appelle hyperbole, et sa forme, ainsi qu'on le montrera plus loin, esl celle que reproduit la fig, 49»
3® Enfin, quand h^ — aé = o, les racines de l'équation
a 4- 2/1 tango -\- 6 tang*ô =0
sont égales, et les deux directions, suivant lesquelles on peut mener des droites rencontrant la courbe à l'infini, coïncident. La courbe, qui porte alors le nom de parabole, a la forme indiquée par la fig, 5o ; les trois premiers termes de
son équation forment un carré parfait, et cette propriété peut servir à la définir.
DES COURBES DU DEUXIÈME DEGRÉ. Ik35
138. Bien qu'il soit plus commode de n'étudier complètement la forme de la courbe représentée par une équation du deuxième degré qu'après avoir simplifié cette équation, nous montrerons cependant ici comment, en partant du procédé exposé au n" 16, on peut vérifier les indications du numéro précédent.
En résolvant par rapport à y l'équation générale, on a
et la quantité située sous le radical peut s'écrire
puisque, d'après la théorie des équations du deuxième degré, toute expression de la forme x^ -^ px H- q peut toujours se remplacer par le produit {^x — a)(-P — ?) de deux facteurs réels ou imaginaires.
Quand h^ — ah est négatif, cette quantité est négative, et par suite ^ est imaginaire, tant que les facteurs x — a,^ — fi sont à la fois positifs ou à la fois négatifs. On ne peut trouver des valeurs réelles pour y qu'en donnant à ^ des valeurs comprises entre a et P; la courbe est donc située tout entière dans l'espace limité par les droites a: = a , ^ = p (n'»16,Ex.3).
Lorsque A- — ah est positif, c'est l'inverse qui a lieu. On ne peut trouver des valeurs réelles pour y qu'en prenant pour X des valeurs telles, que les facteurs x — ol^x — p soient à la fois positifs ou à la fois négatifs. La courbe se compose alors de deux branches qui s'étendent à l'infini, l'une dans là région positive, l'autre dans la région négative, et qui sont séparées par l'intervalle compris entre les droites a: = a, ;r = g, intervalle dans lequel ne se trouve aucun point de la courbe.
Si h^ — ab est nul, la quantité située sous le radical est de
l'une ou l'autre des formes x — a, a — x\ dans le premier cas, la valeur de jk est réelle quand x est plus grand que a; dans le deuxième, lorsque x est plus petit que a. La courbe se compose donc d'une seule branche s'é tendant à Tinfini à droite ou à gauche de la ligne :î; = a, suivant la forme de la quantité qui se trouve sous le radical.
Lorsque les racines aet^ deviennent imaginaires, la quantité sous le radical peut se mettre sous la forme
et elle est constamment positive ou négative, suivant que h'^ — ab est positif ou négatif. Quand A^ — ab est positif, toutes les parallèles à l'axe des y rencontrent la courbe, comme dans l'hyperbole de \2ifig. 49 î mais un certain nombre de parallèles à l'axe des x ne la rencontrent pas. Lorsque h^ — ab est négatif, l'équation ne représente aucune ligne réelle.
Exercices.
1. Construire, d'après le rV* 16, les courbes suivantes et en déterminer V espèce :
3a:* -f- ^xy -^.y^ — ^x — iy -t- ii = o; 5a7* -\- ^xy -h y* — 5x — ^y — 19 = o ; 4a:* -r- ^xy -hy^ — 5x — ^y — 10 = o.
Réponse, Hyperbole, ellipse, parabole.
2. Le cercle est un cas particulier de l'ellipse. L'équation générale représente un cercle lorsque a — h, h = a cos a)(n»81 ); mais alors
A* — ab = — a* sin* tu ; donc
3. Quelle est la courbe représentée par l'équation générale lorsque h =0?
Une ellipse lorsque a et b sont de môme signe, et une hyperbole lorsqu'ils sont de signes contraires.
4. Quelle est la courbe représentée par l'équation générale quand a = o, ow quand b = 0?
Une parabole lorsqu'on a en même temps A — o, une hyperbole dans les autres cas. La courbe rencontre à l'infini l'axe des x lorsque a = o, et Taxe des^ lorsque b == o.
