Il y a cependant un cas où il est possible de mener par

un point plus d'une corde ayant ce point pour milieu. Si, dans l'équation générale, on a à la fois ^=;: o, /— o, la quantité ^cos6 -f-/sin6 est nulle, quelle que soit la valeur de 6, et toutes les cordes menées par l'origine ont pour milieu cette origine, qui porte alors le nom de centre de la courbe.

On peut, en général, rendre nuls les coefficients g ei h par une transformation de coordonnées. En égalant àr zéro les valeurs de g et h (n^lSi) relatives à la nouvelle origine (x'^y)^ on trouve, pour les conditions auxquelles doivent alors satisfaire les coordonnées de cette origine,

ax' -H hy -h ^ 1= o, hx' H- hy -f-/= o.

Ces deux équations suffisent pour déterminer les valeurs de x' et de ^', et, comme elles sont linéaires, elles ne peuvent être satisfaites que par une seule valeur de x et de^.

Donc, les sections coniques ont en général un centre^ et n'enontqu^un.

Les coordonnées du centre, déduites de ces équations, ont pour expression

, b^ — hf , at — hs^

Dans l'ellipse et l'hyperbole, A* — ab a. une valeur finie (n** 137), tandis que, dans la parabole, A^ — ab = o, ce qui rend infinies les coordonnées du centre. Aussi l'ellipse et l'hyperbole sont-elles souvent désignées sous le nom de courbes à centre, tandis que la parabole est dite dépourvue de centre. A la rigueur, on doit considérer toutes les courbes du second degré comme ayant un centre ; dans le cas de la parabole, ce centre est à l'infini.

141. Trouver le lieu des milieux des cordes menées dans une courbe du deuxième degré parallèlement à une droite donnée.

Nous avons vu (n®139) qu'une corde est divisée en deux parties égales par Torigine lorsqu'on a

^cosô H-/sin6 1= G.

Transportons l'origine en un point quelconque {x'^y'). Pour qu'une corde, parallèle à la précédente, soit divisée en deux parties égales par la nouvelle origine , il faut que l'on

ait

^ cos6 -hy sinô = o,

ou, en se reportant au n® 134,

{aœ' ->r hf -+-^)cosO-|- {hœ' -h by' -H/)sin6 = o.

Cette relation exprime la condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées de la nouvelle origine pour que cette origine coïncide avec le milieu de la corde faisant un angle 6 avec l'axe des x. Les milieux des cordes parallèles sont donc situés sur la droite

{ax -f- Aj^-T-^)cos6 4- (Aj?-f- by -+-/)sinônio

qui est, par suite, le lieu cherché.

La droite qui passe par les milieux d'un système de cordes parallèles s'appelle le diamètre de ces cordes; les cordes sont les ordonnées de ce diamètre.

La forme de l'équation du diamètre montre (n®40) que tous les diamètres passent par l'intersection des deux droites

ax-k-hy-\- g=^Oy Aj?-+- 6j -h/z^o,

et comme ces droites sont celles dont l'intersection détermine le centre de la courbe (n® 140), tous les diamètres passent par le centre de la courbe.

En faisant alternativement 6 = o et 6 = 90® dans l'équation du diamètre, on trouve

ax '\- hy -^ g=:o

24o CHAPITRE X.

pour l'équation du diamètre des cordes parallèles à Taxe

des x^ et

hx-\- by-\-f-=zo

pour l'équation du diamètre des cordes parallèles à Taxe

des^r ('),

Dans la parabole, on a

h^ = ab. ou ~ =: - ;

par suite, les droites ax + hy -\- g = o et hx -{- by -f-/= o sont parallèles ; donc tous les diamètres d'une parabole sont parallèles. Cela est du reste évident, puisque tous les diamètres d'une section conique passent par le centre ; dans la parabole, ce centre est à l'infini, et des parallèles peuvent ctre considérées comme se rencontrant à l'infini.

Ce qui précède permet, étant donné un arc de section conique, de déterminer son centre et son espèce. En menant, en effet, deux cordes parallèles et en joignant leurs milieux, on obtient un diamètre MM'(yî^. 5i, 62 et 53); on en

Fig. 5i.

Fig. 5a.

détermine de même un second NN'. Si ces diamètres sont

(*) L'équation du n* 138, qu'on peut écrire by = — {kx -h f) dz R, se construit facilement en traçant d'abord la droite kx -h by -^ ffCt en prenant ensuite, de part et d'autre de cette ligne, et sur chacune de ses ordonnées MP, des longueurs PQ, PQ' égales à R. On voit ainsi que chaque ordonnée est divisée en deux parties égales par la droite hx-\- by -\- f.

parallèles (y?^. 5 1), la courbe est une parabole; s'ils se coupent, leur point d'intersection est le centre de la courbe. Lorsque ce centre est du côté concave de l'arc ijig> 52), la courbe est une ellipse ;

quand il est dans la partie convexe {Jig' 53), c^est une hyperbole.

Les propositions étudiées dans la théorie du cercle (Chap. VI) suiBsent pour donner une première idée sur la nature des diamètres dans les courbes du deuxième degré ; mais il faut bien observer qu'en général les diamètres ne sont pas perpendiculaires à leurs ordonnées. Ainsi, dans la parabole, où la direction du diamètre est constante^ et où celle des ordonnées est variable, l'angle compris entre un diamètre et ses ordonnées peut prendre toutes les valeurs possibles,

142. La direction des diamètres d'une parabole est la même que celle de la droite passant par l^ origine et rencontrant la courbe à V infini.

Les droites menées par l'origine et rencontrant à l'infini la courbe du deuxième degré ont pour équation (n** 136)

a J7* -\- 2 hxy -4- 6/' = o ;

dans le cas de la parabole, cette équation devient, en y rem- S. — Géom, à deux dim. x6

24a CHAPITRE X,

plaçant h par sa valeur yjab ,

mais les diamètres (n° 14i ) sont parallèles à la droite

ax -I- hy^=Of dont Péquation se réduit à

lorsqu'on y fait h = ^/ab. Les diamètres sont donc parallèles à la droite qui coupe la courbe à l'infini, et, par suite, ne peuvent rencontrer la parabole qu'en un seul point situé à une distance finie.

143. Etant donnés deux diamètres d'une section conique y si l^un d^eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre, réciproquement cet autre divise en deux parties égales les cordes parallèles au premier.

Le diamètre des cordes, qui font un angle 6 avec l'axe des a:, a pour équation (n® 141 )

{ax -r hy -+- g) -h {hx-\- by -\-f) tangômo^

et, par suite (n**21), fait avec ce même axe un angle 0', tel que

tang ô' =: - , . ^ ,

^ A -h 6 tango

ce qui donne

b tango tango' -h A(tang6 -f- tango') -i- a=: o;

la symétrie de cette équation montre que le diamètre des cordes, qui font un angle ô' avec l'axe des x^ fait un angle 0 avec ce même axe.

Les diamètres, qui sont tels que l'un d'eux divise en deux

DES COURBES DU OBUXiâME DEGRÉ. ^43

parties égales les cordes parallèles à l'autre, s^appellent diamètres conjugués ( ' ).

Quand le coefficient h de Téquation générale est égal à zéro, les axes sont parallèles à un système de diamètres conjugués. Dans ce cas, en effet, l'équation du diamètre des cordes parallèles à l'axe des x se réduit à ax -^ g = Oj et celle du diamètre des cordes parallèles aux y à by-{-f=o- ces diamètres sont donc respectivement parallèles à l'axe des ^ et à l'axe des x,

144. Lorsque, dans l'équation générale, c = o, Poriginc est un point de la courbe (n'^Sl), et l'une des racines de l'équation du second degré

(acos*ô -+- aAcosO sinô -h 6sin*ô)p' -f- 2(^cos6 4-/sinô)p = o

est égale à zéro. Lorsqu'on a en même temps

^cos6 -f-/sinôzno,

la deuxième racine devient nulle, et le rayon vecteur rencontre la courbe en deux points qui coïncident. La tangente à l'origine a donc pour équation

L'équation de la tangente en un autre point quelconque de la courbe peut s'en déduire par une simple transformation de coordonnées ; il suffit, après avoir rapporté la courbe à ce point pris pour origine, d'écrire l'équation de la tangente

V) l\ est évident que, seules, les courbes à centre ont des diamètres conjugués, puisque dans la parabole tous les diamètres ont même direction.

(*) On prouverait de la même manière que, lorsqu'une équation de degré quelconque ne renferme pas- de terme constant, l'origine est un point de U courbe qu'elle définit, et que les termes du premier degré représentent la tangente à l'origine.

comme il vient d'être dit, et de la transformer pour revenir aux axes primitifs.

En appliquant cette méthode à l'équation générale, on obtient pour la tangente au point (a?',jK')

équation que nous avons déjà trouvée par une autre méthode (n«86).

Exercice.

Le point (i, i) étant sur la courbe

3a7* — ixy -\- 2 y* -h 7a:— 5 y — 3 = o,

trouver, par une transformation de coordonnées, la tangente en ce point.

L'équation de cette tangente, par rapport aux nouveaux axes, est

^x — Sy = o,

et, par rapport aux axes primitifs,

14S. Les points de contact des tangentes menées à une courbe du deuxième degré, par un point {x'^y) pris en dehors de la courbe, se trouvent sur une droite dont l'équation a même forme que l'équation de la tangente (n** 89). Celte droite s'appelle Ib. polaire du point (x'jJk'), et comme une droite rencontre toujours une conique en deux points, il s'ensuit que, par un point (^,^''), on peut toujours mener, à une courbe du deuxième degré, deux tangentes réelles^ coïncidentes ou imaginaires ( * ).

( ' ) Une courbe est dite de la ni*m« classe lorsqu'on peut lui mener par ud point n tangentes. Une section conique est donc à la fois du deuxième degré et de ta deuxième classe; mais, en général, dans les courbes de degré pins élevé, les indices du degré et de la classe ne sont pas les mêmes. .

La polaire de l'orîgino (n® 89 )

gx -^fy -f^ c = o

est évidemment parallèle à la corde gx -f-yj- = o, dont le milieu se trouve à l'origine (n® 139); et, comme cette corde est une ordonnée du diamètre qui passe par Torigine, il en résulte que la polaire d'un point quelconque est parallèle aux ordonnées du diamètre qui passe par ce point. Ce théorème renferme, comme cas particulier, le suivant : Les tangentes menées aux extrémités d'un diamètre sont parallèles aux ordonnées de ce diamètre, théorème qui, dans le cas des courbes à centre, où les ordonnées d^un diamètre sont parallèles au diamètre conjugué, devient : la polaire d'un point, par rapport à une conique à centre, est parallèle au diamètre conjugué de celui qui pa^se par ce point.

146. Les principales propriétés des pôles des polaires ont déjà été démontrées dans les Chapitres précédents. Le théorème du n** 98 : lorsqu'un point A se trouve sur la polaire dp point B, réciproquement le point B se trouve sur la polaire du point A, peut encore s'énoncer de la manière suivante :

Lorsqu'un point (A) glisse le long d'une droite fixe (la polaire du point B), sa polaire pivote autour d'un point fixe (B); et, inversement, lorsqu'une droite (la polaire du ^omi K) pivote autour d'un point fixe (B), son pôle (A) décrit une droite fixe (la polaire de B).

Ou, en observant que les polaires de deux points quelconques, pris sur la polaire de A, se coupent en A :

L'intersection de deux droites est le pôle de la ligne qui joint les pôles de ces droites; et, inversement : La droite qui

joint deux points est la polaire de V intersection des polaires de ces points.

Nous avons vu (n®100) que les droites gui joignent deux à deux les points où deux sécantes issues d'un point O rencontrent une conique, se coupent sur la polaire du point O. Dans le cas particulier où les deux sécantes coïncident, deux des droites de jonction deviennent tangenles à la courbe, et on a le théorème suivant : Les tangentes PR', PR'' (^g, 54) menées à une conique, aux points H' et

Fig. 54.

R" où elle est rencontrée par une sécante OR issue d'un point O, se coupent sur la polaire PR du point O.

Ce théorème peut, du reste, se démontrer directement à l'aide du principe rappelé au commencement de ce numéro, en observant que la polaire R' R*^ du point P passe par le point 0, et par suite que le point P se trouve sur la polaire du point O.

Nous avons vu aussi (n*103, Ex. 3) que si l'on prenait sur un rayon vecteur OR, mené par l'origine, la moyenne harmonique OR entre OR' et OR", le lieu des points R était la polaire de l'origine ; donc, toute droite menée par un point est dii^isée harmonique ment par le point, la courbe et la polaire de ce point. Ce théorème a été aussi démontré aun^'Ol.

Il en résulte que si l'on mène par le point O une droite quelconque OR, et si Ton joint le pôle P de cette droite au point O, les lignes OP, OR forment un faisceau harmonique avec les tangentes OT, OT' issues du point O ; en effet, OR étant la polaire de P, PTRT' est divisé harmoniquement, et les droites OP, OT, OR, OT' forment un faisceau harmonique.

Exercices.

i. Lorsqu'un quadrilatère A6GD {fig^ 55) est inscrit dans une

Fig. 55.

conique, un quelconque des points E, F, O est le pôle de la droite qui joint les deux, autres.

Les lignes CD et AB, qui joignent les points d'intersection des droites EG et BD avec la conique, se coupent sur la polaire du point Ë, puisque EG et BD passent par le point E ; il en est de même de AD et GB ; donc la droite OF est la polaire du point E. On démontrerait de même que EO et EF sont respectivement les polaires des points F et O.

2. Par un point E pris en dehors d'une conique, lui mener une tangente au moyen de la règle seulement.

Mener par le point E deux droites quelconques EA, EB i^fig. 55), compléter le quadrilatère comme sur la figure ; la droite OF coupera la conique en deux points, qui seront les pointç de contact cherchés.

3. Dans tout quadrilatère ABGD {fig* 55) circonscrit à une conique, une diagonale est la polaire de l'intersection des deux autres.

Ge théorème peut se d 'montrer, comme celui de l'Exercice i, au moyen des propriétés harmoniques du quadrilatère. On sait

(no 60, Ex. 1) que les droites EA, EO, EB, EF forment un faisceau harmonique; mais EA, EB étant, par hypothèse, tangentes à la conique, et EF passant par leur point d'intersection, EO (n»146) passe par le pôle de EF ; on verrait de même que FO passe par le pôle de EF : ce pôle est donc le point O.

147. L'équation des tangentes menées à une conique par un point (x^y') peut s'écrire (n® 92)

{ax^^ -f- 2 hx' y --H by^ -r- '^gx* -î- 2//' 4- c) X {ax"*- -4- 'ihxy -h by'^ -4- 'igx -\- ijy -^c)

■=.\a x' X -\- h{x^ y -\- y x^ -h by y

et il suffit d'y faire x' =^y'.=^o pour en déduire l'équation des tangentes menées par l'origine; mais on peut auss obtenir cette équation en suivant la marche indiquée au n^ 83 (Ex. 4). Pour qu'un rayon vecteur mené par l'origine soit tangent à la conique, il faut que les deux valeurs de p données par l'équation

( a ces* 0 -h 2 // cos 6 sin 6 -f- 6 sin* 6 ) p*

-;- 2(^cosô -i-/sinô)p4- c^=iO

soient égales, ce qui implique la condition

(acos*ô 4- 2^0056 sin6 -f- b sin'6)c := (^cos6 -4-/sinO)*.

Multipliant par p^, il vient, pour l'équation des tangentes menées par l'origine,

{ac — g^)x^ -i-2(ch — gf)xy -h {bc —f^)y^ ~ o.

Les tangentes coïncident lorsque les racines de cette équation sont égales, c'est-à-dire lorsqu'on a

^ac-g^){bc^P)^{ch-gjy, ou

c{abc -H 2/gk — ap — bg'^ — ch?- ) = o.

Cette dernière condition est remplie lorsque c = o, c'està-dire lorsque Torigine est un point de la courbe ; donc, tout point de la courbe peut être considéré comme V intersection de deux tangentes qui coïncident, de même que toute tangente peut être regardée comme une droite joignant deux points qui coïncident.

Cette condition est également remplie lorsque la relation

abc -h '^Jgh — ap — bg- —- ch^ =z o,

qui exprime ( n' 76) que l'équation du second degré représente deux droites, est vérifiée. Pour expliquer comment il se fait que Ton retombe ici sur cette relation, il suflit de remarquer que, par tangente, on entend eu général une droite rencontrant la courbe en deux points qui coïncident. Lorsque la courbe se réduit à deux droites, la seule ligne qu'on puisse mener (le manière à la rencontrer en deux points qui coïncident est celle qui passe par leur point d'intersection, et puisqu'on peut toujours mener deux tangentes à une courbe du deuxième degré, les deux tangentes doivent dans ce cas coïncider avec la droite passant par (x'^y) et par ce point d'inlersection.

148. Si par un point O on mène deux cordes rencontrant une conique aux points R', R", S', S", le rapport des rectangles OR'.ÔR" et OS'.OS'^ est constant, quelle que soit la position du point O, pourvu que les directions des cordes OR, OS soient constantes.

De l'équation donnée pour déterminer les valeurs de p (a" 136) on déduit facilement

OR'.OR' =z ^- r ^^ . ^ ' ■ ,^>

a cos*ô -r- in cos6 sinO -h 6sin*6

6 étant l'angle que la corde OR' forme avec l'axe des x ; on

a5o CHAPITRE X.

a de même, en désignant par 0' l'angle sous lequel la corde OS' rencontre cet axe,

a ces* ô' 4- 2 A CCS 6' sin Ô -h 6 sm* Ô' et par suite

OW . OR"^ a cos^e^ -h 2 A ces 6^ sin B' -^ b sin- 6^ US'.OS"~ acos*0 -h 2Acose sine 4-fesin*Ô *

Ce rapport est constant^ puisque a, 6 et A ne changent pas lorsqu'on déplace Torigine (n** 134), et que les angles 0 et 6', qui définissent la direction des cordes, sont constants par hypothèse.

On peut encore présenter ce théorème sous la forme suivante :

Si, par deux points fixes O et O', on mène deux cordes parallèles OK^ O'^ coupant respectii^ement la conique awr points R', R'', p', p", le rapport des rectangles OR'. OR'' et O'p'.O'p" est constant, et indépendant de la direction des cordes.

En représentant par d la valeur que prend le terme absolu de Téquation de la courbe lorsqu'on transporte l'origine au point O', ces rectangles ont en effet pour expressions :

a ces* 6 -h 2 AcosO sin 6 -y- ôsin*ô'

a ces* 0 -h 2 A ces j sin ô -h ^ sin* 0

et leur rapport, qui est égal à -; ) est indépendant de 0.

149. Le théorème du numéro précédent comporte quelques cas particuliers qu'il est utile d'énoncer.

DES COURBES DU DEUXléMB DEGRE. 25l

I* Si le point O' est le centre de la courbe, on a O'p' = O'p'', et le rectangle O'p'.O'p"^ n'est autre chose que le carré du demi-diamètre parallèle à OR'. Donc, les rectangles construits sur les segments de deux cordes qui se coupent sont entre eux dans le même rapport que les carrés des diamètres parallèles à ces cordes,

2* Lorsque OR est tangent à la courbe, on a OR' = OR"; le rectangle OR' . OR"' se transforme en un. carré qui a pour côté la longueur de la tangente, et, comme on peut mener par le point O deux tahgenles à la conique, il en résulte que les longueurs des tangentes issues d'un même point sont proportionnelles aux diamètres parallèles à ces tangentes.

3® Supposons enfin que la ligne 00' soit un diamètre et que les cordes OR, O'p soient parallèles aux ordonnées de ce diamètre; on a alors OR' = OR', O'p' = O'p", et, en désignant par A et B les points où le diamètre OO' rencontre la courbe,