AU . OB ~ AC . O'B

Donc, les carrés des ordonnées d' un diamètre sont proportionnels aux rectangles des segments que ces ordonnées déterminent sur le diamètre.

ISO. Il y a un cas dans lequel le théorème du n® 148 n'est

plus applicable, c'est lorsque la ligne OS est parallèle à l'une

des droites qui rencontrent la courbe à l'infini ; le segment

OS" devient alors infini, et la corde OS ne rencontre plus la

conique, à une distance finie, qu'en un seul point. Cher-

OS' • chons à quelle condition le rapport r^t>/ r^^,/ peut être

constant.

Prenons, pour simplifier, OS et OR pour axes des x et des y, l'axe des x étant parallèle à Tune des lignes qui ren-

25a CHAPITRE X.

contrent la courbe & Finfini, le coefficient a devient nul (n'^lSS, Ex. 4), et réquation de la courbe prend la forme

3 hxY -h hy* -f- igx -h if y -h c =r o.

En y faisant successivement j^ = o, ^r = o, on trouve, pour

le segment déterminé sur l'axe des x^ OS' -.=. > et pour

le rectangle des segments faits sur Taxe des^, OR'. OR" = y

ce qui donne «

OS^ h

OR'.OR^ ~ ig

Si Ton déplace les axes parallèlement à eux-mêmes, en prenant pour origine un point quelconque ( x'^y'), b ne change pas, g prend la valeur hy' -\- g (n** 134), et Ton trouve pour l'expression générale du rapport précédent

'^Khy' ^g)

Quand la courbe est une parabole, on a A = o, et ce rapport est constant; il en résulte que, dans une parabole, le produit des segments formés par un diamètre quelconque (n®142) sur une corde de direction donnée est dans un rapport constant avec le segment que cette corde détermine sur le diamètre.

Lorsque la courbe est une hyperbole, le rapport ne peut être constant qu'à la condition que y soit constant ; donc, dans une hyperbole, les segments déterminés par deux cordes parallèles, sur une droite rencontrant la courbe à V infini, sont proportionnels aux rectangles construits sur les segments des cordes.

*151. Trouver la condition pour que la droite

soit tangente à la conique représentée par V équation énérale.

En portant, dans l'équation générale, la valeur de ^ tirée de \x 4- jjLjK -f- V = G, on a, pour déterminer les abscisses des points d'intersection de la droite avec la courbe,

(«[X- — 2AX[A-+- b\')x^ H-2(^jx* — /t[xv— /jaXh- h\s)x

-h {C\t} — 2/{XV -h 6v*) nr G,

et la droite sera tangente à la conique lorsque les racines de cette dernière équation seront égales, c'est-à-dire lorsqu'on aura

(ajx- — aAXjjL -|-6X=)(C(JL* — 2/fxv-4-6 v-)=:(^|jl'— AfiLv — /(/.X -h ^Xv)*,

ou, en développant et divisant par jjl^,

(6c— /^)X» -h (ca — ^•)}jL» H- (a6 — A*)v« -+- a(^^ — a/)|xv

-+- 2 ( /^/ — 6^ ) VX H- 2 (/^ — C A ) X |X = o .

Nous indiquerons plus loin d'autres méthodes pour obtenir celte relation, qu'on peut appeler Y équation tangentielle de la courbe, et à laquelle on donne souvent la forme

AX' -h B(iL« H- Cv« 4- 2Fp.v -h 2GvX -+- aHXii. — o,

en posant, pour abréger, A=z bc — y^, B = ca — g^,. . . . Les coeillicients A, B, G, 2 F, 2 G, 2 H ne sont autre chose que les dérivées de la fonction

abc -h ^Jgh — «y — bg^ — ch},

prises en y considérant successivement a, è, c,/, g^ A comme variables. Gette fonction, qui devient nulle lorsque la conique se transforme en deux droites, s'appelle le discriminant de l'équation générale du deuxième degré; on la désigne ordinairement par la caractéristique A.

a54 GIIAPITRB X.

Exercices.

i. Former l'équation de la conique qui détermine des segments X, X', jA, \k sur les axes.

L'équation de cette coniqpie doit se réduire à l'une ou l'autre des équations

X^ — {\-h X'j^-f- XX' = O, ^* — (fX^- \L')jr-h [K[tf = O,

suivant qu'on y fait^ = o ou a: = o; elle est donc de la forme

jji,fjL'a7*-+-2Aa7'-4-XX'^*— [x[x'(X-4-X')a?— XX'(jx-h jx')^-f-XX'|xfx' = o,

et le coefficient h reste indéterminé, tant qu'on ne se donne une nouvelle condition. Quand la conique est une parabole

A = =h \/XX'|xjjl'; on peut donc mener deux paraboles par les quatre points donnés.

2. Les polaires d'un point fixe, par rapport à un système de coniques passant par quatre points donnés, passent par un point fixe.

. Prenons pour axes deux côtés opposés du quadrilatère formé par les quatre points; l'équation de l'Exercice 1 représentera Tune des coniques du système, et l'équation de la polaire du point {sf^y) par rapport à cette conique .renfermera l'indéterminée h au premier degré (nol45); cette polaire passe donc par un point fixe.

3. Trouver le lieu des centres des coniques passant par quatre points fixes.

Le centre de la conique de l'Exercice 1 est donné par les équations

a|xfjL'a7H- ihy — fJLfJL'(X -hX') = o, aXX'j-t-aAa? — XX'(jn- ji') = o, et en éliminant h on trouve, pour l'équation du lieu,

2(jL{x'j:* — aXXV — ia|a'(X H-X')ar-f-XX'([jL-4- [x')jk = o.

C'est une conique sur laquelle se trouvent les intersections des trois couples de droites passant par les quatre points donnés et par les milieux de ces droites.

Le lieu est une hyperbole lorsque X, X', ainsi que [x et p.', sont à la

fois de même signe, ou à la fois de signes différents; dans le cas contraire, c'est une ellipse. Ainsi le lieu est une ellipse lorsque, les lieux points situés sur un axe se trouvant d'un même côté de l'origine, les deux autres points qui appartiennent au deuxième a^e sont l'un d'un côté, l'autre de l'autre côté de l'origine; autrement dit lorsque le quadrilatère formé par les quatre points a un angle rentrant. Ceci est du reste évident géométriquement : à un pareil quadrilatère, on ne peut pas circonscrire une conique de la forme d'une ellipse ou d'une parabole; on ne peut circonscrire qu'une hyperbole, et comme le centre d'une hyperbole n'est jamais à l'infini, le lieu de ce centre doit être une ellipse. Dans l'autre cas, il y a deux positions du centre à l'infini : ce sont celles qui correspondent aux deux paraboles que l'on peut faire passer par les quatre points donnés.