DE L'ELLIPSE ET DE L'HYPERBOLE
g L — Réduction de l'éouation gênéralb du deuxième degré.
i52. Les équations qui servent de point de départ à Pétudc des propriétés de l'ellipse et de l'hyperbole se simplifient notablement lorsqu'on prend le centre de la courbe pour origine des coordonnées. Dans cette hypothèse, les termes en X et en y disparaissent (n® 140) de l'équation générale du deuxième degré (n® 133), qui se réduit alors à
ax* H- 2 hxf -+- 6j* H- c' m G.
Pour exprimer c' en fonction des coefficients de l'équation primitive, il suffît de remplacer dans l'expression générale de c' donnée au n® 132
c' =1 ax'* 4- 2kx'y H- by* -+- 2gx' -h 2fy -+- c, ou dans l'expression équivalente
&^ {ax' -^ hy -h g)x' -i- {hx' -h by -\-/)y -^ gx' -h/y -\-c,
les coordonnées x' et y par les coordonnées du centre. Lorsqu'on effectue cette substitution, les "deux premiers termes de la dernière expression s'annulent (n®140) et la
DE l'ellipse et DE l'HTPERBOLE. hSj
valeur de c' se réduit à
abc -h 2fgh — af' — bg^ — ch
ab — /r
i53. Quand le numérateur de cette dernière fraction devient nul, Inéquation transformée prend la forme
ax^ -h 2 Hxy -{- by^ = o,
et représente (n®73) deux droites qui sont réelles ou imaginaires, suivant que ab — A^ est négatif ou positif. On retrouve ainsi la condition du n^ 76
abc 4- '^fgh — ap — bg^ — c/i' i= o,
pour que l'équation du deuxième degré représente deux droites; cette condition doit, en effet, être remplie pour qu'en transportant l'origine au point d'intersection des droites le terme absolu devienne égal à zéro.
(* ) Lorsque felg s'annulent, le discri minant ( n* 151 ) se réduit à c{ab — A*), et il est facile de voir, d'après ce qui vient d'être dit, que la valeur dn discriminant ne change pas lorsqu'on déplace les axes parallèlement à euxmêmes. Ce théorème n'est, du reste, qu'un cas particulier d'un théorème beaucoup plus général dont il sera question plus loin (n*371).
On peut voir de même que le résultat obtenu en substituant les coordonnées du centre {oc', y') aux coordonnées courantes dans l'équation de la polaire d'un point [x'^y^ résultat qui a pour expression
[ax' -^ hy' -h g) a;^ -^ {haf -\-by' k-f) y' -\- gaf -\-fy ^ c
est identique à celui auquel on arriverait en faisant x •= afy y — y dans l'équation de la courbe; les deux premiers termes s'annulent en effet dans les deux cas.
S. — Géom, à deux dim. 17
258 GHAPITEE XI.
Exercices.
1 . Rapporter la conique 3a?* -+- ^xy H-^* — 5a? — ^y — 3 = ofl son centre ( - > — 4 ) •
Béponse. 12a?* -h i^xy -f- 4 J'* -+- i — o,
2. Rapporter la courbe a?* -j- 2a?j^ — /» -h 8 a? h- 4^ — 8 =1 0 à son centre ( — 3, — i).
Réponse. a?' ■+■ ^xy — y* = 2a.
154. Nous avons vu (n® 136) que, lorsque 6 satisfait à la relation
a ces* 6 -f- 2 A CCS 0 sin 6 -f- 6 sin* 6 =: o,
le rayon vecteur correspondant rencontre la courbe à l'inflni, et en un point situé à la distance finie de Torigine
^cosô -t-/sinô
Cette distance devient à son tour infinie, quand l'origine est au centre de la courbe, puisqu'on a alors ^ = 0,/= o. On peut donc mener par le centre deux droites qui rencontrent la courbe en deux points coïncidents situés à l'infini , et qui, par suite, peuvent être considérées comme des tangentes ayant leurs points de contact à l'infini. Ces droites sont les asymptotes de la courbe : elles sont imaginaires dans l'ellipse et réelles dans l'hyperbole. On verra plus loin que les asymptotes, tout en ne rencontrant la courbe qu'à l'infini, vont en se rapprochant de la courbe à mesure qu'on s'éloigne de l'origine.
Les points de contact des tangentes réelles ou imaginaires menées par le centre étant situés à l'infini, la droite qui les joint est aussi tout entière à l'infini; donc, d'après la défi-
DE L*BLLIP8B ET Dl L*HTPBRBOLB. ^59
nîtion du pôle et de la polaire {n? 89), le centre peut être considéré comme le pôle d'une droite située à l'infini. On arrive à la même conclusion en remarquant que l'équation de la polaire de l'origine gx -\-fy -h c == o se réduit à c = o lorsque le centre est pris pour origine, et représente alors (a** 67) une droite située à l'infini.
155. Lorsqu'on prend le centre pour origine, les coefficients g et /de l'équation générale s'évanouissent. Si, de plus, les axes forment un système de diamètres conjugués, le coefficient h s'annule également (n® 143)} et l'équation prend la forme plus simple
ax^ -h by^ -f- c = o,
qui montre que toute corde parallèle à l'un des axes est divisée, par l'autre, en deux parties égales, puisqu'à une valeur quelconque de a: ou de ^ correspondent pour y^ ou pour x^ deux valeurs égales et de signes contraires.
L'angle compris entre deux diamètres conjugués n'est généralement pas un angle droit, mais il existe toujours un s)'stème de diamètres conjugués rectangulaires. Pour le démontrer, rappelons-nous (n® 143) que les angles 6 et 6', que font avec l'axe des x deux diamètres conjugués, sont assujettis à la relation
6 tango tango' -HA(tang6 -h tango') -ha = o; quand les diamètres sont perpendiculaires, tangO' = — r
(n**2S), et l'on a, pour déterminer l'angle 8, l'équation du deuxième degré
Atang'O -H (a — 6) tangO — A — o.
En multipliant par p^ et en remplaçant pcosQ, psinO par X et /, on obtient l'équation
hx'^ — (a — b) xy — A j* 1= o,
26o CHAPITRE XI.
qui représente deux droites réelles perpendiculaires l'une sur l'autre (n®74). Les courbes à centre ont donc deux diamètres conjugués à angle droit, et n'en ont que deux : ces diamètres s'appellent les axes de la courbe, et on donne le nom de sommets aux points où ils rencontrent la courbe.
Les axes, ainsi que le montre (n®75) leur équation, sont dirigés suivant les bissectrices, intérieure et extérieure, de l'angle compris entre les droites réelles ou imaginaires
ax^ -H- 2 hxy -h by^ = o,
autrement dit suivant les bissectrices des angles formés par les asymptotes ; et ils sont toujours réels (n® 75, Note), que les asymptotes soient réelles ou imaginaires, c'est-à-dire que la courbe soit une hyperbole ou une ellipse.
156. On peut arriver au théorème du numéro précédent par une transformation de coordonnées, en montrant qu'il est toujours possible de trouver un système d'axes rectangulaires tel, que l'équation de la courbe par rapport à ce système d'axes n'ait pas de terme en xy. Supposons les axes primitifs rectangulaires, et faisons-les tourner d'un angle 8 autour de l'origine ; en remplaçant, dans l'équation primitive, x ely par :z;cosÔ — j'sinô, eta;sinô -h/cos6(n® 9), on obtient, l'équation transformée
a(â?cosô — ^sinô)^-l- 3A(^cosô — j^sinô)(j?sin6 4-^cos6)
-H 6(d?sin6 -f- rcosÔ)--hc = o,
dans laquelle les coefficients a\ b\ hf des termes en x^, en j* et en xy ont pour valeur
a' = acos'ô-h 2AcosO sinô -h ôsin'ô,
h' ^= 6sin6cosô H- h{ cos*ô — sin*6) — asinôcosO,
b' ^=z asin'Ô — 2Acosô sinô -h 6cos*ô.
Et si l'on fait h' = o pour déterminer l'angle ô que les axes
DE l'eLLIPSB et DE L^HTPERBOLB. a6l
de la courbe forment avec les axes de coordonnées, on retombe sur l'équation du n® 155, qui donne
taDg26=: r-
157. Le théorème suivant permet de simplifier les calculs numériques à exécuter pour ramener une équation du deuxième degré à la forme
ax^ -H by^ 4- c := o. "^
LorsqvHon transforme une équation du deuxième degré^ pour passer d^un système d^cuices rectangulaires à un autre système d'axes rectangulaires, les quantités a-\- b et ab — h^ ne changent pas.
En ajoutant les valeurs de a' et V obtenues au n^ 156, on trouve immédiatement
a' -f- 6' r= a 4- ft,
ce qui démontre la première partie du théorème.
Pour démontrer la seconde, observons qu'on peut écrire
2a'r"a4- b -+- 2 Asin2d -\-{a — ^)cos2G, 26'^r=a4-6 — 2/isin2 9 — (a — ô)cos2 6;
ce qui donne
^a' b' ■=! {a -\- b)- — [2 Asîn26 -h (a — 6)cos26]'; et comme on a, d'autre part,
4A'* = [2/iCOS26 — {a — b) sin20]*,
11 en résulte que
l\{a'b' — A'*) = (a-h by — 4/i* — (a — b)^— ^ab — /i«).
Dans le cas particulier où il s'agit d'écrire l'équation rap-
26a CHAPITRE XI.
portée aux axes de la courbe, on a à la fois
A' = o, a'-^-b' = a-^b, a'b'^ab — h*;
ces relations font connaître la somme et le produit des coefficients inconnus a! et 6', et fournissent, par suite, toutes les données nécessaires pour le calcul de ces coefficients.
Exereioei.
1. Trouver les cuces de V ellipse i\x^ — ^xy — i ly- = 6o, et rapporter la courbe à ces axes.
L'équation des axes est(n<>155)
ix* -+- 6xy — 4y« = o,
ou
(237 — ^)(a?-+- ay) =s o.
On a d'ailleurs i)*où
l'équation transformée est donc
aa?*-4-3^*t= 12.
2. Rapporter V hyperbole iix'^'^%^xy — 24^* = i56 ^ ses cuces. On a
ce qui donne pour l'équation transformée
3. Rapporter la courbe ax'^'\- ihxy -v- by^ ~ cà ses axes. Réponse.
*1S8. Lorsqu'on passe d^un système d'axes rectangulaires à an autre système d'axes rectangulaires, les quantités a~ fr.
DE L*ELLIPSB ET DE l'BTPERBOLE. 263
ab — h^ ne changent pas. Cherchons ce qu^elles deviennent lorsque le second système d'axes est oblique. Conservons le même axe des x^ et désignons par co l'angle compris entre cet axe et le nouvel axe des^ ; l'équation transformée s'obtient en remplaçant dans l'équation primiitive (n® 9) x ^l y par ^ +y cosw et^ sino), ce qui donne
a'^=:a, A' = acos(i) -h Asino),
b' ^=za cos'o) -I- 2 A cosûD sino) -i- b sin'o),
et, par suite,
a'-f-^>' — aA'cosM ^ a'b'—h'^ ^ ,,
r-r = a -h 6, r-- = aO — /l*.
sin-ot) sm^b)
Donc, 51 ToTi transforme une équation du deuxième degré, pour passer d'un système d'axes à un autre, les quantités
a-\-b — 2Acosu> ab — h* sin^Q> siu-o)
ne changent pa^.
Ce dernier théorème permet de rapporter facilement à ses axes une conique dont l'équation est donnée en coordonnées obliques, puisqu'il fait connaître la somme et le produit des nouveaux coefficients a et 6 en fonction des anciens.
Biaroices.
i. Rapporter à $e$ axes la courbe loa?» -h 6xy -+- 5^' = lo, en supposant coso) = â*
On a successivement
et, par suite,
i6x*'^iiy* = 3a.
2. Rapporter à ses axes la conique a?* — 3 a?^ -h /* -M = o, «n supposant to = eo*».
Réponse. a?* -- i5x' = 3.
