Rapporter à ses axes la conique ax^ -^ ihxy -\- by^ — c

Réponse.

a-hb— 2ACOSC0 — R)x^ -4-(a-T- 6 - - aAcosto -f- R)x' ~ 2csin*(o, R' — [îA— (a -f- 6)cos(i)]2 }-(«— 6)2 sin^w.

*159. Les théorèmes des deux derniers numéros ont été démontrés, comme îl suit, par M. Boole ( ' ).

Supposons que nous ayons à passer d'un système d'axes faisant entre eux un angle (o à un autre système faisant un angle Q, et qu'en effectuant les substitutions indiquées au n® 9, la quantité ax^ ~]~ ^hxy 4- by^ devienne

. a'X«H-2A'XY-rô'Y«,

x ely étant les anciennes coordonnées, X et Y les nouvelles. En effectuant la même substitution dans cc^ -^ ixy cosco -1-/^, il viendra

X«-f-2XYcosû-4-Y«,

puisque Tune et l'autre de ces deux dernières expressions représentent le carré de la distance d'un même point à rorigine. Nous aurons donc, X étant une quantité quelconque,

ax^ H- 3 hxy -h by^ -+• X ( j?' 4- 2 xy cosoi -}- y- )

=za'X* -h a A'XY -h ^'Y^ + X(X« -f aXYcoso) -\- Y=),

et si nous déterminons X par la condition que le premier membre de cette équation soit un carré parfait, le second membre devra être aussi un carré parfait. Pour que le premier membre soit un carré parfait, il faut que l'on ait

(a-HX)ift-}-X)=: {h -i-Xcos(i))-;

i* ) Cambridge Math. Journ.j III, p. 106; et nouvelle série, VI, p. 87.

DK l'ellipse et DE l'hyperbole. ^65

autrement dit, il faut que X soit une des racines de l'équation du second degré

X' sin'o) -\- i a-7- b — 9. h coso) )X -^ ab — h- =z p.

• On trouverait une équation de même forme pour déterminer la valeur de X qui rend le second membre un carré parfait, et, puisque les deux membres deviennent des carrés parfaits pour la même valeur de X, cette dernière équation doit être identique à la première. En égalant les coefficients des termes correspondants de ces deux équations, on retombe sur les conditions obtenues précédemment :

a -T- 6 — 2 A coscD a' ~h b' — a h' cosû ab — h- a' b' — h'sin'(o sin^û sio^co sin-û

Exercices.

i. La somme des carrés des inverses des demi-diamètres qui se coupent à angle droit est constante.

Soient a et ^ les longueurs de ces demi-diamètres ; en faisant alternativement a? = o, ^ — o dans l'équation de la courbe, on a «a* =: c, ôp* = c; on voit ainsi que le théorème qui vient d'être énoncé n'est que l'interprétation géométrique de la constance de la somme a -+- 6.

2. Vaire du triangle formé enjoignant les extrémités de deux demi-diamètres conjugués est constante.

L'équation de la courbe rapportée à deux diamètres conjugués est

2' et P' étant les longueurs de ces demi-diamètres, et puisque . ^ — est constant, a! ^' sinct) est constant.

3. La somme des carrés de deux demi-diamètres conjugués est constante.

r. . a -h b — îAcosw ., 1*1

Puisque :— ; est constant, il en est de même de

^ siQ'^a)

sin«a)Va'* P'V a* p'» sin^co' d'ailleurs, a'p''5in(i> est constant; donc a'< + p'> est constant.

160. Nous avons vu que l'équation d'une conique rapportée à ses axes est de la forme

A^* 4- By- ~ C,

B étant positif dans le cas de l'ellipse et négatif dans le cas de

l'hyperbole (n* 138, Ex. 3). Nous écrivons ici les coefBcients

avec des lettres majuscules, parce que nous allons avoir à

employer les petites lettres a et 6 avec une signification

nouvelle.

L'équation de l'ellipse peut s'écrire sous une forme plus

commode, en mettant en évidence les segments que la courbe

détermine sur ses axes. Soient x ^^a ely = b ces segments;

en faisant^ =^ o dans l'équation de l'ellipse, il vient Aa- — C,

d'où A= — : on trouve de même, en y faisant a? — o, a- ' ^

B= vj- L'équation de l'ellipse peut donc se mettre sous la

forme

on peut prendre l'un quelconque des axes de la courbe pour axe des x] toutefois nous supposerons que ce dernier axe a été choisi de telle sorte que a soit plus grand que 6.

L'équation de l'hyperbole, qui, ainsi que nous le savons, ne diffère de celle de l'ellipse que par le signe du coefficient de y^^ peut se mettre sous la forme correspondante

DB L*BLLIP8B ET DE l'HTPERBOLE. 267

Le segment que l'hyperbole détermine sur Taxe des x est évidemment x = zb a; celui qu'elle détermine sur l'axe des j* étant donné par l'équation j^^ = — b^ est imaginaire; l'axe des^ ne rencontre donc pas la courbe en des points réels.

Nous n'avons pas à nous occuper ici de la grandeur relative de a par rapport à 6, puisque nous avons pris pour axe des X celui des axes qui rencontre la courbe en des points réels.

161. Trouver V équation polaire de V ellipse^ en prenant le cen tre pour pôle.

Il suiBt, pour cela, de remplacer dans l'équation précédente X par pcosO, ely par psin8; on trouve ainsi l'équation

I cos'ô sin*6

qui'peut s'écrire sous l'une ou l'autre des iormes équivalentes ^ ~ a-sin«Ô4-6«cos*0

b- -h (a« — 6-) sin«e a* — (a* — 6* j cos«6 En posant, pour abréger,

d^i=ia^ — b^, e*= — :

et en divisant par à^ les deux termes de la fraction trouvée en dernier lieu pour la valeur de p^, on obtient l'équation polaire de l'ellipse sous sa forme la plus usitée

^ 1 — e*cos*6 La quantité e s'appelle V excentricité de l'ellipse.