Déterminer la forme de V ellipse

La plus petite valeur que puisse avoir le dénominateur b' -f- (a^ — b') sin^ô de l'expression de p* est celle qui correspond à 6 =^ o ; la plus grande valeur de p est donc égale au segment a que l'ellipse détermine sur l'axe des x. Le maximum de b^ -r- {a^ — b^) sin^6 correspond à sinO = i ou à 6 = 90^ ; le minimum de p est donc égal au segment b que la courbe détermine sur l'axe des y.

Il résulte de ce qui précède que le plus grand rayon vecteur qu'on puisse mener du centre à la courbe est dirigé suivant l'axe des Xy et le plus petit suivant l'axe des y. En raison de cette propriété, on a donné à ces valeurs particulières du rayon vecteur les noms de grand axe et àe petit axe de la courbe.

Il est d'ailleurs évident que p est d'autant plus grand que 6 est plus petit, et, par suite, un diamètre est d* autant plus grand que sa direction est plus voisine de celle du grand axe. La forme de l'ellipse est donc celle qui est représentée sur la ^^. 56.

Fig. 56.

Les valeurs de p qui correspondent aux angles 6 == a et 0 =^ — a sont égales ; donc deux diamètres, qui font des angles égaux avec le même axe, sont égaux. Ce théorème, dont il est facile de démontrer la réciproque, permet de déterminer géométriquement les axes d'une ellipse dont le centre est donné. En coupant la conique par un cercle concentrique, on obtient les extrémités de deux diamètres égaux,

DE L'bLLIPSB et DE L'HYPERBOLE.

et il ne reste plus qu'à tracer ces diamètres, et à mener les bissectrices des angles qu'ils forment pour obtenir les axes cherchés.

163. On peut se faire une idée plus nette encore de la forme de l'ellipse en résolvant son équation par rapport à y et en comparant le résultat obtenu

avec l'équation

qui représente un cercle, de rayon a, concentrique à l'ellipse. On voit ainsi que, pour passer du cercle à l'ellipse, il suffit de diminuer toutes les ordonnées du cercle dans le rapport de 6 à a, ce qui donne la construction suivante : Pour décrire une ellipse ayant a = CA ef 6 = CB pour axes {fi S' ^'j)> ^^^<^^^ "^ cercle sur le grand axe AA' comme

Fig. 67.

diamètre j et prendre sur chaque ordonnéehQ un point P telj que le rapport de LP à LQ soit constant et égal à b : a; le lieu des points P est l'ellipse demandée»

Il résulte de ce mode de construction que le cercle décrit sur le grand axe comme diamètre est situé tout entier en dehors de la courbe. On pourrait de même construire

Fellipse en décrivant nn cercle sur le petit axe comme diamètre; et en dilatant chaque abscisse dans le rapport de a à 6; le cercle décrit sur le petit axe est donc situé tout entier à l'intérieur de l'ellipse.

L'équation du cercle n'est, du reste, que la forme particulière à laquelle se réduit Féquation de l'ellipse lorsqu'on y fait b = a.

164. Trouver l'équation polaire de V hyperbole, en prenant le centre pour pôle.

En opérant comme au n^ 161, on trouve

6*cos*ô — a*sin-ô

b' — ^a* -+- b^) sin^e (a* -h **; cos«6 — a*

Ces expressions ne diflFèrent de celles qui leur correspondent dans le cas de l'ellipse que par le signe de b^ ; on peut donc employer pour l'hyperbole les abréviations

c^=ia^-ir 6*, e* — — ,

et considérer e comme V excentricité de l'hyperbole.

En divisant alors par a^ les deux termes de l'expression trouvée en dernier lieu pour p^, on obtient, pour l'équation polaire de l'hyperbole,

^ e'cos'ô— I

et cette équation ne diffère de celle de l'ellipse que par le signe de b^.