DE L ELLIP8B ET DE L HYPERBOLE
points imaginaires. Il en résulte nécessairement que deux hyperboles conjuguées ont les mêmes asymptotes.
L'expression tangO = ± - permet de tracer les asymptotes
lorsqu'on connaît les axes en grandeur et en position : elle montre, en eflFet, que les asymptotes sont dirigées suivant les diagonales CK, CL (Jig* 58) du rectangle formé en menant des parallèles aux axes par les extrémités A,Â', B et B' de ces axes.
Les deux asymptotes étant également inclinées sur l'axe des x^ l'angle qu'elles comprennent est égal à 26, autrement dit, au double de l'angle qui a pour sécante l'excentricité,
puisque ô est défini par la relation tangG=-qui donne
cosô -—
il résulte de ce qui précède que donner l'excentricité d'une hyperbole res^ient à donner V angle formé par ses asymptotes.
Exercice.
Trouver l'excentricité d'une conique définie par h' équation générale.
On peut (iio74) chercher la tangente de Tangle compris entre les droites représentées par réquation ax^ -h %ha;y H- by^ = o, et en déduire la sécante de l'angle moitié ; on peut aussi calculer e à Taide de la formule donnée à la fin du numéro 167 et en s' appuyant sur les résultats obtenus au numéro 157 (Ex. 3). En posant
R« = 4 A* -f- (a — 6)2 = 4 A» — kab -h (a -h *)«, on a
et, par suite,
à deux dim.
R I a-hô-i-R p* ac
a» p* aR
un
§ IL — Tangentes et diahâtres conjugué».
168. Les équations de l'ellipse et de Fhyperbole ne diflé rant que par le signe de b^ (n®l60), ces courbes ont certain nombre de propriétés communes qui peuvent se démontrer à la fois en considérant le signe de b^ comme indéterminé. Dans les numéros suivants, nous attribuerons, en général, à b^ le signe qui se rapporte à l'ellipse; on trouvera facilement les formules qui se rapportent à l'hyperbole, en changeant le signe de b^ dans les résultats obtenus.
Trouver l'équation de la tangente menée à la courbe
a?* yl
a*^ b* en un point {x\y')^
On peut déduire cette équation de l'équation générale de la tangente (n®86), ou l'obtenir directement, en parlant de l'équation réduite de la courbe et en suivant la méthode indiquée au numéro 86.
L'équation de la corde, qui joint les deux points (x',/'), {x^^y) de la courbe, peut s'écrire
ou bien
x' af y' y"
et, en y faisant x --^ x'\y' ^^y"-, on trouve pour l'équation de la tangente
xx' yy'
DE l'ellipse et DE l'htperbole. ^75
L'emploi de celle méthode ne suppose aucune valeur particulière pour l'angle que fonl entre eux les axes de coordonnées. Lorsqu'on prend pour axes un système de diamètres conjugués, l'équation de la courbe, qui ne contient plus alors ni terme en xy (n®143), ni terme en a: ou en j' (n* 140), peut se mettre sous la forme (n® 160)
en représentant par a' et 6' les segments que la courbe détermine sur les axes, et l'on a encore pour l'équation de la tangente
xx'
yy
169. L'équation de la polaire du point [x'^y)^ c'est-à-dire (le la droite qui joint les points de contact des tangentes menées par {oc\y)^ est de même forme que celle de la tangente (n°* 88, 89); elle peut donc s'écrire
xx' yy' ^^ yy*
suivant qu'on prend pour axes de coordonnées les axes de la courbe ou un système de diamètres conjugués. En particulier, l'équation de la polaire d'un point (a/, o) de
Xû^
l'axe des x est —^ = i . Pour construire la polaire d'un point
quelconque P, étant donné le centre C de la courbe, on peut donc procéder comme il suit : prendre sur le diamètre CP, qui passe par le point P, un point P' tel que le produit CP.CP soit égal au carré a'^ du demi-diamètre dirigé suivant CP, et mener par P' une parallèle au diamètre conjugué de CP. Le principe de cette construction fournit une démonstration nouvelle du théorème du numéro 143 : La tangente
^yb CHAPITRE XI.
menée à l'extrémité d'un diamètre est parallèle à son conjugué.
i. Trouver la condition pour que la droite Xx -^ [i.y = i soit tangente à la courbe —^-^ t\= ï*
En comparant les équations Xa? -h \Ky = i et — ^ -h "^ = i, on trouve
d'où la condition cherchée
