Former l'équation des tangentes menées à la courbe par

(ar',/)(no92).

Béponse

Va* ^^2 J\a^^b* ) \ a» ^ 6* /

3. Trouver l'angle cp compris entre les tangentes menées à la courbe par le point {ic',y).

Lorsqu'une équation du deuxième degré représente deux droites, l'équation obtenue en égalant à zéro ses trois termes du deuxième degré est celle de deux droites menées par l'origine, parallèlement au deux premières : l'angle cp ne dépend donc que des trois termes du deuxième degré de l'équation des tangentes. En développant à ce point de vue l'équation de l'Exercice 2, on obtient (n» 74)

2ab tang(p =

^ /^^ yï

Quand la conique est rapportée à des axes rectangulaires quelconques, on peut calculer l'angle cp à l'aide de la relation

a/ — S'A tang«p=^ = y

DE L*ELLIPSB ET DE l'hYPBRBOLE. 277

dans laquelle on a représenté par A le discriminant de Téquation de la courbe (n« 151); par S', ce que devient cette équation lorsqu'on y remplace les coordonnées courantes par â/, j^, et enfin par F la même expression qu'au numéro 383. Quand les coordonnées sont trilinéaires, il faut multiplier le radical par la constante M du numéro 63. Cette expression de tang(p a été indiquée par M. Burnside.

4. Trouver le lieu de l'intersection des tangentes qui se coupent à angle droit.

En égalant à zéro le dénominateur de la valeur de tangçp, on trouve

équation d'un cercle ayant même centre que l'ellipse.

Le lieu de l'intersection des tangentes qui se coupent sous un angle donné est en général une courbe du quatrième degré.

170. Trottiner Véquation, par rapport aux a^es, du diamètre conjugué de celui qui passe par le point {x\y) de la courbe.

Ce diamètre conjugué est parallèle (n® 169) à la tangente menée par le point {x\ y')^ et passe par l'origine; son équation est donc

xa:^ yy' a* ^ b^ ^^'

En désignant par 6 et ô' les angles que font avec l'axe des x le diamètre primitif et son conjugué, on a (n** 21), d'après les équations de ces diamètres,

et, par suite,

tango -'^^ tango' = -^,

b* tango tang0' = —^

Cette relation aurait pu se déduire de celle du numéro 143«

Dans le cas de l'hyperbole, elle devient (n® 168)

tango tango' = -;•

171. Dans Tellipse tangO tangO' est négatif; autrement dit, tangO et tangO' sont toujours de signes contraires; quand l'un des angles 6, 0' est aigu, F autre est nécessaîremenl obtus, et comme le petit axe correspond à 6 = 90®, il en résulte que, dans V ellipse, un diamètre et son conjugue ne peuvent jamais être situés d'un même côté du petit axe.

Dans l'hyperbole, au contraire, tangô tang 0' est positif, et les angles 6 et 6' sont tous deux aigus ou tous deux obtus. Donc, dans l'hyperbole, un diamètre se trouve toujours du même côté de Vaxe non transverse que son conjugué.

Quand tangO est plus petit que -9 tangO' est plus grand; el

comme (n^ I67)le diamètre correspondant à l'angle dont la tangente est — se confond avec l'asymptote, qui (n® 167) est la

ligne de démarcation entre les diamètres qui rencontrent la courbe, et ceux qui ne la rencontrent pas, il s'ensuit que, dans l'hyperbole, lorsqu'un diamètre rencontre la courb en des points réels, son conjugué ne la rencontre pas. On reconnaît en même temps que chaque asymptote peut être considérée comme étant à elle-même son diamètre conjugué.

172. Trouver les coordonnées a^^y de l'extrémité du diamètre conjugué de celui qui passe par le point (^,y) de la courbe.

Il suffit pour cela de résoudre , par rapport k x et jk> l^s équations de la courbe et du diamètre conjugué

d?' y^ xx' y y'

a^ O' rt" O"