DE L^ELLIPSE ET DE L HYPERBOLE. I
en substituant successivement dans la première les valeurs de a: et dejK tirées de la seconde, on trouve sans difficulté
173. Exprimer la longueur du diamètre a' et celle de son conjugué V en fonction de C abscisse x' de l'extrémité du premier.
i^Ona
et comme
a il vient
2® On trouverait de même
et, par suite,
b'*z=za^ — e*'x'*'.
En ajoutant les valeurs trouvées pour a'^ et 6'*, on a
donc, dans une ellipse, la somme des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante (n** 159, Ex. 3).
174. Dans l'hyperbole, il faut changer les signes de b^ et de V^j ce qui donne
28o CHAPITRE XI.
donc, dans une hyperbole, la différence des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante. Lorsque a -- 6, Féquation de l'hyperbole devient
et Thyperbole est dite équilatère.
Le théorème précédent montre que, dans une hyperbole équilatère, tout diamètre est égal à son conjugué.
Les asymptotes de V hyperbole équilatère forment un angle droit, puisqu'elles sont données par Féquation
Aussi appelle-t-on souvent l'hyperbole équilatère : hyperbole rectangulaire.
La condition pour que l'équation générale du deuxième degré représente une hyperbole équilatère est a = — b\ elle exprime en effet (n® 74) que les asymptotes
ax* 4- 2hxy -h by* ^^ o
se coupent à angle droit; et il est facile de voir que, si l'hyperbole est rectangulaire, elle est, par cela même, équilatère. La tangente de la moitié de l'angle compris entre les asymptotes (n® 167) est en effet égal à - j et, dans le cas particulier
de l'hyperbole rectangulaire, la moitié de cet angle est de 45®, ce qui donne
17S. Trouver la distance p du centre à la tangente en
La distance de l'origine à la droite
DE L'ELLIPSB et DE l'hTPBRBOLE.
a pour expression (n®23)
I ab
4 /^^. yi ./^Ii.^nyi^
mais nous savons (n° 473) que
donc
ab
i76. Trouver l'angle ç compris entre deux diamètres conjugués.
L'angle ^ , compris entre deux diamètres GP, CF (Jig' Sg),
Fig, 59.
est égal à l'angle CPT compris entre Fun de ces diamètres CP et la tangente PT parallèle à Tautre CP'. Mais, GT étant la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente, on a
sm
et, par suite (n® 175),
8ino
CP
ab
L'équation a'6'sinf = a6 montre que dans une ellipse, ou dans une hyperbole^ l'aire du triangle formé, en foi-
gnant les extrémités de deux diamètres conjugués quelconques^ est constante (n® 189, Ex. 2).
177. Le sinus de l'angle 9, compris entre deux diamètres conjugués d^une ellipse, est minimum quand le produit de ces diamètres est maximum, ce qui a lieu quand ces diamètres sont égaux, puisque la somme des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante; l'angle aigu, compris entre les deux diamètres conjugués égaux, est donc le plus petit, et, par suite, l'angle obtus, le plus grand des angles que peuvent former deux diamètres conjugués.
La longueur des diamètres conjugués égaux s'obtient en faisant a' ^= V dans la relation d^ -f- V^ = a* -}- b^^ ce qui donne
et, par suite.
Quant à l'angle, que l'un ou l'autre de ces diamètres fait avec l'axe des a:, il se déduit de l'équation
taoge tango' — —^,
en y faisant tangO = — tangO', puisque ces diamètres sont également inclinés sur l'axe des a? (n® 162). On trouve ainsi
h tangO =: -• a
Il en résulte que (n® 167), lorsqu'une ellipse et une hyperbole ont mêmes axes. en grandeur et en position, les asymptotes de l'hyperbole coïncident avec les diamètres conjugués égaux de l'ellipse.
L'équation générale de l'ellipse, rapportée à deux diamètres conjugués (n® 168), devient a:^ -h^^ = ci^ lorsqu'on y fait
DE l'ellipse et DE L*HYPERBOLE. a83
a! = b'^ autrement dit lorsqu'on la rapporte aux diamètres conjugués égaux. Elle prend alors la même forme que Téqualion du cercle a:^ -{- y* = r^ ; mais les axes de coordonnées sont obliques.
178. Exprimer la longueur de la perpendiculaire abaissée du centre sur une tangente en fonction des angles que cette perpendiculaire fait avec les axes.
Soient {x'^y') le point de contact de la tangente, p la longueur de la perpendiculaire, et a l'angle que cette perpendiculaire fait avec l'axe des x. Pour mettre l'équation
sous la forme x cosa + r sina = /> (n® 23), il suffit d y faire
X? cosa y sinot^
et si l'on substitue, dans l'équation de la courbe, les valeurs de x! et dej^' qu'on déduit de ces expressions, on trouve
/?* =:a*cos*a4- 6' sin'a (').
L'équation de la tangente prend alors la forme
x cosa -h / sina — \/a* ces" a -h b' sin*a = o,
et la distance du point {x!^y') à la tangente a pour valeur
\Ja^ ces* a -h 6* sin*a — x' cosa — /' sina, pourvu, toutefois, que l'on considère cette distance comme
( * ) On trouverait de même p- = a'* cos'a -h b'^ co5*p, a et p étant les angles que la perpendiculaire fait avec les deux diamètres conjugués a* et b\
a34 CHAPITRE XI.
positive lorsque le point (^, J'') se trouve du même côté de la tangente que Forigine.
Exercice.
Trouver le lieu de V interjection des tangentes qui se coupent à angle droit.
On obtient facilement Téquation de ce lieu en observant que le carré de la distance d'un point à Tintersection de deux droites qui se coupent à angle droit est égal à la somme des carrés des distances de ce point aux droites elles-mêmes.
Soient /?,/>' les distances des tangentes au centre de la conique; on a
y?2 -s (1% cQjjî a 4- ftï sin' a, p'^ = a* sin' «4-6* cos* a,
et, par suite,
La distance du centre au point d'intersection des tangentes est constante, et le lieu cherché est un cercle (n^ 169, Ex. 4).
179. On donne le nom de cordes supplémentaires aux cordes qui, partant d'un point quelconque de la conique, aboutissent aux extrémités d'un même diamètre.
Les diamètres parallèles à un système de cordes su/h plémentaires sont conjugués. ,
Considérons, en effet, le triangle ABD formé par les cordes AD, BD et le diamètre AB ; la droite menée par lès milieux de deux côtés étant parallèle au troisième, le diamètre de la corde AD est parallèle à BD, et celui de la corde BD est parallèle à AD. On peut démontrer analjtiquement ce théorème en formant les équations des cordes AD et BD, et en montrant que le produit des tangentes des angles que font ces
cordes avec l'axe des a: est égal à ^ •
Nous pouvons maintenant construire géométriquement deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné.
DE l'ELLIPSB et DE l'hYPERBOLB. 285
En décrivant, en effet, sur un diamètre quelconque un segment capable de Fangle donné, et en joignant aux extrémités de ce diamètre les points où le cercle rencontre la conique, on aura deux cordes supplémentaires qui seront parallèles aux diamètres cherchés.
Exercices.
i. Les tangentes menées aux extrémités d'un diamètre sont parallèles.
Ces tangentes ont, en effet, pour équations
Ce théorème peut aussi se déduire du numéro 146, en remarquant que le centre est le pôle de la droite située à Tinlini ( n^ 154 ).*
2. Le produit des segments qu'une tangente quelconque, menée à une section conique à centre, détermine sur deux tangentes fixes et parallèles, à partir de leurs points de contact, est constant et égal au carré du de m,i-diamètre parallèle aux deux tangentes fixes.
Prenons pour axes le diamètre b' parallèle aux tangentes fixes et son conjugué a'; les équations de la courbe et de la tangente variable sont
iF* r' xx^ yV
L t = I L. «Lî!— —2 I •
et, en faisant alternativement x = a',x = — a' dans la deuxième équation, on trouve pour les segments y déterminés sur les tangentes
Le produit de ces segments
se réduit à b'^ lorsqu'on exprime que le point {afyy') est sur la conique.
3. Le rectangle det segments de la tangente variable de VExercice 2 est égal au carré du demUdiamètre qui lui est parallèle.
Le rapport entre le segment déterminé sur une des tangentes parallèles et le segment adjacent de la tangente variable est le mcme que celui des diamètres parallèles à ces tangentes (n^ 149); le rapport du rectangle des segments des tangentes fixes au rectangle des segments de la tangente variable est donc égal à celui des carrés des diamètres respectivement parallèles à ces diverses tangentes : et comme le premier rectangle est égal au carré du demi-diamètre parallèle aux tangentes fixes, il s'ensuit que le second est égal au carre du demi-diamètre parallèle à la tangente variable.
4. Le produit des segments déterminés sur une tangente par deux diam,èires conjugués est égal au carré du demirdiamètre parallèle à la tangente.
Prenons pour axes le diamètre parallèle à la tangente et son conjugué : en faisant r — a' dans les équations (n» 170) de deux diamètres conjugués quelconques,
y xx' yy
on obtient, pour les segments qu'ils déterminent sur la tangente,
et le rectangle de ces segments est évidemment égal à b'^.
On pourrait, en suivant la même marche, donner une démonstration purement analytique du théorème de TExercice 3.
Il résulte de ce qui précède que les diamètres passant par les points d'intersection d'une tangente avec deux tangentes parallèles sont conjugués.
5. Étant donnés, de grandeur et de position, deux diamètres conjugués Oa, Ob d'une conique à centre, déterminer les axes.
La construction suivante est fondée sur le théorème de l'Exercice 4. Par l'extrémité a {fig. 6o) d'un des diamètres, menons une parallèle AB à l'autre diamètre; cette parallèle est tangente à la conique. Sur Oa prenons un point P (dans le sens G a pour l'ellipse,
DE L*ELLIP8B BT DE L*HTPERBOLB. 287
dans le sens aO pour Thyperbole) tel, que Oa.aP = 06*, et décrivoDS un cercle passant par OP, et ayant son centre G sur la droite
A6; les droites OA et 06 sont les axes de la courbe. La relation
Aa.aB = Oa.aP = Ob^
montre, en effet, que les droites OA et OB sont des diamètres conjugués, et comme AB est un diamètre du cercle, l'angle AOB qu'elles comprennent est un angle droit.
6. On donne deux diamètres ; des extrémités de chacun d'eux on abaisse une ordonnée sur l'autre; démontrer que les deux triangles ainsi formés sont équivalents.
7. On donne deux diamètres ; par les extrémités de chacun d'eux on mène une tangente jusqu'à l'autre; prouver que l'on forme ainsi deux triangles équivalents.
^ i III. — Normale.
180. On appelle normale à une courbe la perpendiculaire menée à la tangente par le point de contact.
Pour trouver l'équation de la normale à Tellipse au point (^jJK')? îl suffit donc de former, d'après le numéro 32, l'équation de la perpendiculaire menée par {x%y) à la tangente
xx' y y' a* b-
On trouve ainsi
'^î(7-/) = xi(^-^'),
ou bien
arx b'V
c^ représentant, suivant Tusage (n® 161 ), la quantité (a^ — è*). Le segment GN (Jîg»Gi ), déterminé par la normale PN sur
Fig. 6i.
l'axe des x, s'obtient en faisant / = o dans Téquation précédente, ce qui donne
On peut dès lors mener une normale à l'ellipse par un point N pris sur l'axe, puisque la valeur de CN suffit pour déterminer l'abscisse x^ du point de la courbe par lequel passe cette normale.
Le cercle peut être considéré comme une ellipse dont l'excentricité est nulle, puisque c- ^^ a^ — '6^, et que, dans ce cas, a^ ^^h^\ le segment CN est alors constamment nul : donc toutes les normales menées à un cercle passent par le centre.
181. Le segment MN, déterminé sur l'axe des x par la normale PN et l'ordonnée PM, porte le nom de sous-normale. D'après le numéro 180, cette sous-normale a pour expression
DE l'ellipse et DE l'hTPBRBOLB. sSq
la normale divise donc l'abscisse en deux segments dont le rapport est constant.
Le segment MT, que l'ordonnée PM et la tangente PT au point P déterminent sur l'axe des x esjt la sous- tangente y et cette sous-tangente a pour valeur
Ml =: — — x' z=i ,
puisqu'on a, d'après le numéro 169,
La longueur PN représente la longueur de la normale; elle est donnée par la relation
PN-= PMV MN = y + ^ a;'« = ^ ( ?j/« + ^ ^'« ) ,
qui se réduit à
en désignant par V le demi-diamètre conjugué de CP, et en observant que la quantité comprise entre parenthèses est égale à6'2(nM73).
On trouve de même, pour la longueur PN obtenue en prolongeant la normale jusqu'à sa rencontre N' avec le petit axe.
PN'==— • h '
par suite, le rectangle des segments PN, PN', que les axes déterminent sur la normale en un point P, est égal au carré du demi-diamètre conjugué de celui qui aboutit au point P.
Nous avons vu (n® 175) que la distance p du centre à la
tangente est donnée par la relation/? = -^7] donc, le produit
S. — Géom. à deux dim. iq
de la normale par la distance du centre à la tangente est constant et égal au carré du demi-petit axe.
On peut encore exprimer la longueur de la normale en fonction de l'angle a que cette normale fait avec l'axe des x\ on trouve ainsi
P \J a* cos*a -f- 6* sin*a \J i — c' sin* a
Ezercices.
i. Mener, par un point donné {x',y), une normale à l'ellipse ou à rhyperbole.
Soit (x, p) le point de la courbe par où passe la normale; l'équation de la normale sera alors
et, puisqu'elle passe par(a/,^'), on aura
Les points de la courbe dont les normales passent par (^1^) sont donc lc£ points d'intersection de la courbe avec Thyperbole
à^a/y — b^y'x = c^xy.
2. Par un point donné d'une conique, on mène deux cordes rectangulaires quelconques; la droite qui joint leurs extrémités passe par un point fixe de la normale au point donné.
Prenons pour axes la tangente et la normale au point donné. L'équation de la conique sera alors
ax* -+- 2hxy H- by^ -r- 2/y = o,
car c doit être nul, puisque l'origine est un point de la courbe, et g est nul (n» 144 ), parce que l'axe des a?, dont l'équation est^ = o, est tangent à la courbe. Soit
x^ ■+- 2pxy -h qy^ — o
l'équation de deux droites menées par l'origine; multipliant cette
DE L*ELLIPSB ET DE L HYPERBOLE. AQI
éqaation par a, et la retranchant de celle de la courbe, il vient
2{h — ap)xy -r-(6 — aq)y* -h 2/y = o.
Cette équation, qui est celle (n<>40) d'un lieu passant par les points (l'intersection des deux cordes et de la conique, se décompose en deux :
jK = o, 'i{h — ap)x-^{b — aq)y-h!if=o;
la première représente Taxe des x qui est tangent à la courbe, et la seconde la droite qui joint les extrémités des deux cordes.
Le point où cette droite rencontre la normale, c'est-à-dire Taxe des/, est défini par la relation
a/ ^- aq — b'
mais si les droites menées par Torigine se coupent à angle droit, on a y = — I (n® 74), et la longueur du segment/' déterminé sur la normale est constante, puisqu'on a alors
Quand la courbe est une hyperbole équilatère, on a a h- 6 = o, et la droite en question est constamment parallèle à la normale. Donc, si par un point d'une hyperbole équilatère on mène deux cordes formant un angle droit, la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite qui joint les extrémités des cordes est tangente à la courbe.
3. Trouver les coordonnées de l'intersection des tangentes aux
points {x^,y'\ {ocf, y ).
Les coordonnées 2? et/ de l'intersection des droites
[ ' ) Ce théorème est encore vrai si les droites sont menées de telle sorte que le produit des tangentes des angles qu'elles font avec la normale soit
constant; car alors q est constant, et, par suite, le segment — ^-^--r est
constant.
sont
I ff
4. Trouver les coordonnées x et y de V intersection des normales menées aux points {x\y\ {x!'y).
Réponse,
X et Y étant les coordonnées trouvées à TExercice précédent pour l'intersection des tangentes.
Les valeurs de X et Y peuvent d'ailleurs se mettre sous des formes très diverses ; en combinant les équations
a»"^ A«~'' a* "^ 6« "'' on trouve
x'^yi —ytaf^ = b^{x'* — a?'») = — a'^iy* —y^); on a ainsi
x^y-^yx^ x'y-h/x'
On peut encore écrire
ir'a?' y' y' ip'a?' v'y*
181 a. Étant donnés, dans une ellipse, deux diamètres conjugués , CP = a' et CQ = f (fig* 6i *w) , si l'on prend , sur la normale en P, PD = PD' = CQ, et si l'on mène les droites CD, CD', on a
CDzzza—b, CD'=:a4-*.
Le triangle PCD' donne, en effet, R étant le point où la normale rencontre le diamètre CQ,
CD' z=CP -^PD' -haPD'.PR,
DE l'ellipse et DE l'hTPERBOLB. OqS
et comme on a, à la fois, d'après les numéros 173 et 175,
CP*-f- PD'' = a* + b\ aPD'.PR r= aaé,
il vient
CD' =(a4-6)*.
Fi g. 6i ^{5.
On trouverait de même
CD' = {a — by.
Le grand axe CA est dirigé suivant la bissectrice de Fangle DCD'; on a en eflFet
D'N = D'P -f- PN =: 6' H- — 1= - (a 4- 6),
et de même
Le point N divise donc la base du triangle DCD' en deux segments qui sont entre eux dans le même rapport que les côtés adjacents, et, par suite, appartient à la bissectrice intérieure de l'angle au sommet. On verrait de même que GN' est la bissectrice extérieure du même angle.
Les théorèmes précédents permettent de tracer les axes d'une ellipse, étant donnés deux diamètres conjugués.
CP et CQ, en grandeur et en direction. En menant par le point P une perpendiculaire PR à CQ, et en prenant sur cette perpendiculaire PD = PD' = CQ, on pourra former l'angle D'CD, qui a pour bissectrices les axes de la courbe; quant à la longueur des axes, elle s'obtiendra facilement en observant que leur somme est égale à CD', et leur différence à CD.
§ rv. — Foyers et directrices.
182. Dans Tellipse, on donne le nom de foyers aux deux points Fy F' ( A^* 62), que Ton obtient en prenant sur le grand
Fig. 63.
axe, de part et d'autre du centre C, des longueurs CF, CF'
égales à c, ou, ce qui revient au même, à sja^ — b^.
Dans l'hyperbole, les foyers sont les deux points de l'axe iransverse situés à la distance c du centre, c étant égal
Exprimer la distance iTun point de V ellipse au foyer.
Le carré de la distance FP d'un point {x'^y') au foyer F, dont les coordonnées sont a?=-i-c, y = o,a pour expression
On a d'ailleurs (nM73)
DE l'ellipse et DE l'HTPERBOLE. 2C}5
ce qui donne
ol, comme c = ae, il vient en définitive
Nous ne prenons la racine carrée de FP qu'avec le signe 4-; la valeur {ex^ — a), obtenue en donnant à cette racine le signe — , est constamment négative, puisque xf est toujours plus petit que a, et e plus petit que i ; elle ne saurait donc convenir dans le cas actuel, où nous avons à considérer la grandeur absolue du rayon vecteur FP, et non sa direction.
Pour trouver la distance F'P du point {x'^y') à l'autre foyer, il suffit de changer le signe de c dans les formules précédentes, ce qui donne
WP = a~r-ex'.
En ajoutant les valeurs de FPetF'P, on trouve
FP-hF'Pr:z2a,
d'où ce théorème : Dans une ellipse y la somme des distances d^un point quelconque aux foyers est constante et égale au grand axe.
