Lorsqu'on applique la méthode précédente à l'hyper

bole, on obtient la même valeur pour FP , mais il faut attribuer le signe — à la racine carrée; dans l'hyperbole, en effet, x! est toujours plus grand que a, e plus grand que i, et, par suite, a — ex' constamment négatif. On aura donc, dans le cas de l'hyperbole,

YP — ex^ — a, F'P -^ ex' -t- a,

29^ GHAPITKE XI.

et par conséquent

pp FP = !xa.

Dans une hyperbole^ la différence des distances d'un point quelconque aux foyers est donc constante et égale à Vaxe transverse.

Dans les deux courbes, le produit =r (a* — e^x^^ des distances d'un point quelconque aux foyers est égal au carré 6'du denii-*diamètre conjugué de celui qui passe par ce point

(nM73).

184. On peut démontrer la réciproque des théorèmes précédents en cherchant le lieu décrit par le sommet d'un triangle, étant données la base ic et la somme, ou la différence, 2 a des deux autres côtés.

En prenant le milieu • de la base pour origine , la base pour axe des x, et une perpendiculaire pour axe des y^ on obtient pour Téquation du lieu

^ y- -^ (c-H^)* ±: y/^* -H (c — x)* =i aa, ou, en réduisant,

Quand on donne la somme des côtés, a est plus grand que c, puisque la somme des côtés est plus grande que la base , le coefficient de y^ est positif et le lieu est une ellipse.

Si Ton donne la différence, a est plus petit que c, le coefficient de y^ est négatif et le lieu est une hyperbole,

185. Les théorèmes précédents permettent de décrire d'un mouvement continu une ellipse ou une hyperbole.

En arrêtant les extrémités d'un fil à deux points fixes F et F', et en faisant mouvoir une pointe le long de ce fil, de

DE l'ellipse et DE l'hYPERBOLE. 297

manière qu'il soit constamment tendu, on obtient évidemment une ellipse dont les foyers sont F et F', et dont le grand axe est égal à la longueur du fil.

Pour décrire une hyperbole, fixons une règle en un point F, de manière qu'elle puisse tourner autour de ce point, et attachons un fil d'une part en F', de l'autre à un point R de la règle, en le faisant passer dans un anneau P (/î^. 63); le

Fig. 63.

point P décrit ime hyperbole lorsqu'on fait tourner la règle et glisser Panneau en tendant le fil. En effet, F'P + PR étant constant; il en est de même de FP — F' P. Les points F et F' sont les foyers de l'hyperbole dont l'axe transverse est égal à la différence entre les longueurs du fil et de la règle.

186. La polaire d'im foyer prend le nom de directrice de la section conique. La directrice est donc (n® 189) per-

ar pendiculaîre au grand axe et située à une distance dz — du

centre.

Pour obtenir la distance d'un point quelconque (x', y') de

la courbe à une directrice, il suffit donc de retrancher de —

Tabscisse x' de ce point, ce qui donne

a? =:: — ( a — ex ) = - ( a — ex ) ;

et, si l'on observe que la distance de ce même point au foyer correspondant est égale à a — ex' ^ on voit que le rapport des distances d'un point quelconque de la courbe au

•^O^ CHAPITBB XI.

foyer et à la directrice correspondante, est constant et égal à e.

Réciproquement, on peut considérer une section conique comme le lieu des points tels, que leurs distances à un point fixe ( foyer) soient dans un rapport constant {fig* 64 ) avec leurs

Fig. 64.

distances à une droite fixe (directrice). C'est même sur cette définition que plusieurs géomètres ont basé la théorie des sections coniques.

Prenons la droite fixe pour axe des a:, et soient x'.^y' les coordonnées du point fixe, e le rapport constant; l'équation du lieu sera

(^-^')' + (^-/)' = eVS

et représentera une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que e sera inférieur^ supérieur ou égal à l'unité.

Exercice.

Lorsque la distance p d* un point quelconque {x,y) d'un lieu géométrique à un point fixe peut s'exprimer par une fonction rationnelle et linéaire des coordonnées x et y, le lieu est une section conique ayant le point fixe pour foyer ( *).

Par hypothèse, la fonction de x et de j^ qui représente la distaace p peut se mettre sous la forme

p = Aa7-f- B^-t- C,

('} O'Bribn, Coordinate Geometry, p. 85.