FT.F'T'=:6S
puisque
Le produit des distances des foyers à une tangente est donc constant et égal au carré du demi-petit axe.
Cette propriété est commune à l'ellipse et à l'hyperbole.
188. Là tangente TT' fait des angles égaux avec les rayons vecteurs PF, PF', qui vont du point de contact P aux deux foyers F et F' {fig* 62, 65).
Le triangle rectangle FTP donne pour le sinus de l'angle que le rayon vecteur FP fait avec la tangente TT'
ET
et par suite (n®487)
sinFPT= è-
On trouverait de même, pour l'angle F'PT' que l'autre rayon vecteur F'P fait avec la tangente PT',
sinF'PT'=:^:
les deux angles FPT et F'PT' sont donc égaux.
Cette propriété est vraie pour l'ellipse et l'hyperbole; mais, en examinant les fig, 62 et 65, on voit que la tangente à
Fig. 65.
l'ellipse est la bissectrice extérieure de l'angle formé par les rayons vecteurs allant du point de contact aux foyers, tandis que la langente à l'hyperbole en est la bissecrrice intérieure. Il en résulte que, quand' une ellipse et une hyperbole ont les mêmes foyers, autrement dit, sont confocales, elles se coupent à angle droit; en l'un quelconque de leurs points
DE l'ellipse et DE l'hYPERBOLE. 3o(
d'intersection, la tangente à Fellipse est, en efiet, perpendiculaire à la tangente à l'hyperbole.
1. Démontrer analytiquement qu'une ellipse et une hyperbole confocales, c'est-à-dire ayant les mêmes foyers, se coupent à angle droit.
Les coordonnées x\ y de l'intersection des coniques
ar* y* x^ y*
satisfont à la relation
obtenue en retranchant la deuxième équation de la première. Quand les coniques sont confocales, on a a* — a'* = 6* — 6'*, et cette relation devient
elle exprime (n<* 32) que les deux tangentes
xaf y/ xx' jr/
sont perpendiculaires.
2. Trouver la longueur de la droite menée du centre à la tangente parallèlement à l'un des rayons vecteurs allant du point de contact aux foyers.
Cette longueur s'obtient en divisant la distance -jr du centre à la
tangente par le sinus j-f de Tangle compris entre le rayon vecteur et la tangente ; elle est donc égale à a.
3. Vérifier que la normale, qui est la bissectrice de V angle compris entre les rayons vecteurs focaux, divise la distance des
foyers en deux segments proportionnels aux rayons vecteurs adjacents.
La distance de rextrémité de la normale au centre est e'â/ (nol80); les distances de ce même point aux foyers sont donc c -h «* a/, c — e* x\ ou, ce qui revient au même, e{a-^ ^^')t «(« — ex').
