Mener une normale à V ellipse par un point du petit axe
Le cercle passant par le point donné et par les deux foyers coupe l'ellipse en des points qui appartiennent aux normales cherchées.
189. On peut encore démontrer, comme corollaire des théorèmes du n** 187, que les tangentes PT, Vt {fig. 66)
Fig. 66.
menées à une conique à centre par un point P sont également inclinées sur les droites PF, PF' qui joignent ce point aux foyers F et F'. En observant que le produit des distances FT, F'T' des foyers à une tangente PT est constant (n® 187), on a en effet
FT.F'T'znFf.F'r', ou
FT we
Fi~F'T''
et, comme les membres de cette dernière équation représentent, Vun le rapport des sinus des angles partiels TPF, FP^ déterminés par la droite PF dans l'angle total TPi, l'autre le rapport des sinus des angles partiels ^PF', F'PT' déter-
DE l'ellipsb bt DE l'htperbole. 3o3
rainés par la droite PF' dans ce même angle TPr, il en résulte (|ueles angles TPF, ^'PF' sont égaux.
La tangente menée en P, à une section conique passant par ce point Pet ayant F et F' pour foyers, fait des angles égaux avec les rayons vecteurs FP, F'P(n'*lJ88); d'après ce que nous venons de démontrer, cette tangente fait aussi des angles égaux avec les droites PT,P^ : donc les tangentes W^ Pt menées à une conique, par un point P d^une conique confocale, sont également inclinées sur la tangente menée enV à cette deuxième conique.
190. Trouver le lieu des projections d'un foyer sur les tangentes.
La longueur de la perpendiculaire, abaissée du foyer sur la tangente, peut s'exprimer en fonction des angles que cette perpendiculaire fait avec les axes , en faisant ^c' = c, ^' = o dans la formule du numéro 178
p -=. y/a* cos* a 4- 6* sin* a — a?' cosa — j' sin a ; on trouve ainsi, pour l'équation polaire du lieu,
p ^=. sja- cos* a -+• 6* sin* a — c cosa, ou
p* 4- acp cosa -f- c* cos'a = a* cos*a -i- 6* sin*a,
et par suite
p*-+- 2cpcosa=: 6*.
C'est l'équation polaire d'un cercle (n® 95) ayant son centre sur l'axe des x à une distance — c du foyer; ce cercle est donc concentrique à la conique ; il est d'ailleurs facile de voir (n® 95) que son rayon est égal à a,
La projection d'un foyer sur une tangente à V ellipse ou à l'hyperbole se trouve donc sur le cercle ayant pour
3o4 CHAPITRE XI.
diamètre le grand axe de V ellipse, ou Vaxe transverse de l'hyperbole.
Réciproquement, si par un point F (/ig- 62) on mène un rayon vecteur FT à un cercle, et une perpendiculaire TP à ce rayon vecteur FT, cette perpendiculaire TP est tangente à une section conique ayant F pour foyer, et qui est une ellipse ou une hyperbole^ suivant que le point F se trouve à Vintérieur ou à V extérieur du cercle.
En se reportant au numéro 488 (Ex. 2), on voit que la ligne CT, dont la longueur est a, est parallèle au rayon vecteur F' P aboutissant au foyer.
191. Trouver V angle sous lequel est vue du foyer la tangente menée à une section conique à centre par le point (x,y).
Soient {x\y') le point de contact; p et p' les rayons vecteurs menés par le foyer aux points (jc, y), (^, y) ; 6 et 6' les angles que ces rayons vecteurs font avec Taxe; on aura, en prenant le centre pour origine,
. x-^-c . . y ^, ic'-^c ... y'
COSÔ= y Sm6=:~) COSÔ'=: ; y SinO'=:*-;>
et par suite
cos(ô — 6 ) = ^^ — ; ' — ^^^^•
pp
En substituant, dans cette expression, la valeur de yy tirée de l'équation de la tangente
xx' yy'
^^ ^ il vient
pp'cos(6 — 6') =n xx' -H c^ -H cj?'4- c' j xx' -+- 6*
= é^xx'-^ ex -H cx'-\- a»r=: (a 4- ex){a -h ea^)^
DE L*ELLIPSE ET DE l'hTPERBOLE. 3o5
et, comme p' = a + ecd ^ on a en définitive ( • )
cos(ô — 0')=^
Cette valeur ne dépend que des coordonnées du point (x^y) et ne renferme pas Iqs coordonnées du point de contact; les deux tangentes menées par le point {x^y ) sont donc vues du foyer sous des angles égaux. Par suite, V angle sous-tendu au foyer, par une corde quelconque, a pour bissectrice la droite menée du foyer au pôle de la corde.
192. La droite qui joint le foyer au pôle d'une corde focale quelconque est perpendiculaire à cette corde.
Ce tliéorème peut se déduire du précédent en observant que cette corde, qui passe par le foyer, est vue du foyer sous un angle de i8o®; on peut aussi le démontrer directement comme il suit :
La perpendiculaire abaissée d'un point [x'^y') sur la polaire de ce point,
œx' yy'
1 iij — — I
a pour équation (n®180)
Mais, quand {x\y') se trouve sur la directrice, on a ^' = — >
et Téquation de la polaire, ainsi que celle de la perpendiculaire, sont vérifiées par les coordonnées du foyer j: = c^y = o. Lorsqu'une courbe est exprimée en coordonnées polaires, on donne le nom de sous-tangente polaire au segment que
(') O'Bbien, Coordinate Geometry, p. i56.
S. — Géom. à deux dim. 20
3o6 CHAPITRE XI.
la tangente et le pôle déterminent sur la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur; le théorème que nous venons de démontrer peut alors s'énoncer de la manière suivante :
Quand on prend le foyer d'une conique pour pôle, la directrice est le lieu des extrémités des sous- tangentes polaires.
Nous verrons plus loin (Chap. XII) que les théorèmes énoncés dans ce numéro et le précédent sont encore vrais dans le cas de la parabole.
Exercices.
1. L'angle sous lequel est vu du foyer le segment intercepté par deux tangentes fixes, sur une tangente mobile, est constant.
Cet angle est, en effet (n® 19! ), la moitié de Fangle sous-tendu au foyer par la corde de contact des deux tangentes fixes.
2. Si une corde PP' coupe la directrice en D {fig> 67), la droite FD est la bissectrice extérieure de l'angle PFP'.
Fig. 67.
En effet, T étant le pôle de PP', FT est la bissectrice intérieure de l'angle PFP' (n® 191); mais D est le pôle de FT, puisqu'il se trouvée l'intersection de la polaire PP' de T, et de la directrice qui est la polaire de F; par suite, DF est perpendiculaire à FT : donc DF est la bissectrice extérieure de l'angle PFP'.
3. Par un point quelconque pris sur une ordonnée fixe de U(txe, on mène une perpendiculaire à la polaire de ce point;
