A^ = — BA

etc. ,

d = etc.

lu

a, = mA, ,

77, = 77lA, + i5A,A< 30^-,

etc. , a = a,, b =

„ ba { — <KJ a -f- aj

etc.

io. Corollaire i. Puisque les racines de l’équation (D) sont les carrés des différences entre les racines de l’équation proposée (B) , il est clair que si cette équation (D) avait, tous ses tiennes de même signe , auquel cas elle n’aurait aucune racine réelle positive , il est clair , disje , que , dans ce cas , les différences entre les racines de l’équation (B) , seraient toutes imaginaires ; de sorte que cette équation ne pourrait avoir qu’une seule racine réelle , ou bien plusieurs racines réelles et égales entre elles. Si ce dernier cas a lieu , on le reconnaîtra , et on le résoudra par les méthodes connues (voyez aussi plus bas le chapitre II); à l’égard du premier cas, il suit du n° 6 qu’on pourra prendre A = i .

ri. Corollaire 3 . Si l’équation (B) a une ou plusieurs couples de racines égales, il est clair que l’équation (D) aura uno ou plusieurs valeurs de t7 égales à zéro; de sorte qu’elle sera alors divisible une ou plusieurs fois par u. Cette division faite, lorsqu’elle a lieu, soit l’équation restante disposée à rebours de cette manière :

1 etc. -f-wn’szo (E) ,

r étant = ou ■< 71 ; qu’on fasse u = - , et ordonnant l’éqUation par rap-

port on aura

y + + etc. + w = o (F).

Qu’on cherche par les méthodes connues la limite des racines positives de cette équation , et soit l cette limite ; en sorte que / surpasse cha-

- DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. n

cune des valeurs positives dey ; donc j sera moindre que chacune des

valeurs positives de - ou de u ; et par conséquent moindre que chacune des valeurs de «*, à cause de w = u‘ ( problème précédent ). Donc ~ l sera nécessairement moindre qu’aucune des valeurs de

u , c’est-à-dire qu’aucune des différences entre les racines réelles et inégales de l’équation proposée (B).

Donc, i°. si ^l<i i, alors on sera sûr que l’équation (B) n’aura point de racines réelles dont les différences soient moindres que l’unité : ainsi, dans ce cas, -on pourra faire, sans scrupule, Aci (n°6).

3°. Mais si \/l— ou >■ i , alors il peut se feire qu’il y ait dans l’équation (B) des racines dont les différences soient moindres que l’unité; mais, comme la plus petite de ces différences sera toujours

nécessairement plus grande que , on pourra toujours prendre A — ou < (numéro cité).

En général, soit h le nombre entier qui est égal ou immédiatement plus grand que pé l, et on pourra toujours prendre A — j.

ta. Scholie i. Quant à la manière de trouver la limite des racines d’une équation , la plus commode et la plus exacte est celle de Newton, laquelle consiste à trouver un nombre dont les racines de l’équation proposée étant diminuées , l’équation résultante n’ait aucune variation de signe ; car alors cette équation ne pourra avoir que des racines négatives; par conséquent le nombre dont les racines de la proposée auront été diminuées , surpassera nécessairement la plus grande de ces racines.

Ainsi, pour chercher la limite l des racines de l’équation (F) 7’+ *y- + fyr~ + yy~' •+■ etc. = o ,

on y mettra y+1 au beu dey, et ordonnant l’équation résultante par rapport à y , elle deviendra

P + Qy 4- Ry* 4- Sy J 4- etc. -j-y' = o ,

dans laquelle

P = /' + *l'~' ■+■ + >/'“ 5 + etc. + TT ,

Q = rl'~' 4- (r — i)a/'-*4-(r — 2 ) fil'- 3 + etc. ; R = ±=ll l'-‘ 4 . (>—■) ( r ~J! *t- 3 + etc. ,

S = r(r -^ r - 9) t~ 3 4- etc. , etc.,

et il n’y aura qu’à chercher une valeur de / qui , étant substituée dans les quantités F, Q, R, etc., les rende toutes positives; en commençant par la dernière de ces quantités, laquelle n’aura que deux termes, et remontant successivement aux quantités précédentes, on déterminera facilement le plus petit nombre entier qui pourra être pris pour l , et qui sera la limite la plus proche cherchée.

Si l’on voulait éviter tout tâtonnement , il n’y aurait qu’à prendre pour l le plus grand coefficient des termes négatifs de l’équation (F) , augmenté d’une unité ; car il est facile de prouver qu’en donnant à Z cette valeur, les quantités P, Q, R, etc., seront toujours positives.

Cette manière d’avoir la limite des racines d’une équation quelconque est due, je crois, à Maclaurin; mais en voici une autre qui donnera le plus souvent des limites plus approchées.

Soit — W~ m — ry'T" — — etc. , les termes négatifs de

l’équation (F), on prendra pour l la somme des deux plus grandes

des quantités Ç'fJ . , y'f , V'tt , etc. , ou un nombre quelconque plus grand que cette somme. Celte proposition peut se démontrer de la même manière que la précédente; ainsi nous ne nous y arrêterons pas.

Au reste , il faut observer que les limites trouvées de l’une ou de l’autre de ces deux manières seront rarement' les plus prochaines limites. Pour en avoir de plus petites, on essayera successivement pour Z des nombres moindres , et l’on prendra le plus petit de ceux qui satisferont aux conditions que P, Q, R, etc., soient des nombres positifs.

i3. Scholie 2 . Ayant donc trouvé la limite Z de l’équation (F), et pris k égal ou immédiatement plus grand que {/l, on fera

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i3

û = j (a* u), et on substituera successivement dans l’équation pro-

posée , à la place de l’inconnue, les nombres o, ^ ^ , j, etc. ; les résultats venant de ces substitutions, formeront une série dans laquelle il y aura autant de variations de signe que l’équation proposée contiendra de racines réelles positives et inégales, et, de plus, chacune de ces racines se trouvera entre les deux nombres qui auront donné des résultats consécutifs de signes différens; de sorte que si les nombres

j et —j— donnent des résultats de signe contraire, il y aura une racine entre j et - ; par conséquent , le nombre entier qui appro-

chera le plus de ^ sera la valeur entière approchée de cette racine (n'a).

Ainsi l’on reconnaîtra par*ce moyen , non-seulement le nombre des racines positives et inégales de l’équation proposée , mais encore la valeur entière approchée de chacune de ces racines.

An reste, il est clair que si l’on trouvait uu ou plusieurs résultats égaux à zéro, les nombres qui auraient donné ces résultats seraient des racines exactes de l’équation proposée.

Pour faciliter et abréger ce calcul , on fera encore les remarques suivantes :

i*. Si l’on cherche par les méthodes des numéros précédens la limite des racines positives de l’équation proposée, il est clair qu’il sera inutile d’y substituer à la place de l’inconnue des nombres plus grands que cette limite. En effet, il est facile de voir qu’en substituant des nombres plus grands que cette limite, on aura toujours nécessairement des résultats positifs. Ainsi , nommant A la limite dont il s’agit , le nombre des substitutions à faire sera égal à A À", et par conséquent toujours limité.

En général, sans chercher la limite A, il suilira de pousser les substitutions jusqu’à ce que le premier terme de l’équation ou la somme des premiers termes , s’il y en a plusieurs consécutifs avec le même signe -f- , soit égale ou plus grande que la somme de tous les termes négatifs; car il est facile de prouver, par la méthode du n* 7, qu’en donnant à l’inconnue des valeurs plus grandes, on aura toujours à l’infini des résultats positifs.

14 DE Là RÉSOLUTION

a°. . Au lieu de substituer à la place de l’inconnue x les fractions i, etc., on y mettra d’abord | à la place de x, on, ce qui revient

au même, on multipliera le coefficient du second terme par k, celui du troisième terme par k‘, et ainsi des autres; et on substituera ensuite à la place de x les nombres naturels o, i, a, 3, etc. jusqu’à la limite de cette équation, ou- bien jusqu’à ce que le premier terme ou la somme des premiers, quand il y en a plusieurs consécutifs avec le même signe, soit égale ou plus grande que la somme des négatifs; par ce moyen, les résultats seront tous des nombres entiers, et les racines de l’équation proposée se trouveront nécessairement entre les nombres consécutifs qui donneront des résultats de signes contraires , ces nombres étant divisés par k, comme nous l’avons vu plus haut.

3°. Soit m le degré de l’équation dans laquelle il s’agit de substituer successivement les nombres naturels o, a, 3, etc., je dis que, dès que l’on aura trouvé les m-f-i premiers résultats, c’est-à-dire ceux qui répondent àr = o, i, a, etc., ns, on pourra trouver tous les suivans par la seule addition.

Pour cela, il n’y aura qu’à chercher les différences des résultats trouvés, lesquelles seront au nombre de m , ensuite les différences de ces différences, lesquelles ne seront plus qu’au nombre de ni — i, et ainsi de suite jusqu’à la différence ni """.

Cette dernière différence sera nécessairement constante, parce que l’exposant de la plus haute puissance de l’inconnue est m ; ainsi on pourra continuer la suite des différences m' im " aussi loin qu’on voudra, eu répétant seulement la meme différence trouvée; ensuite, par le moyen de cette suite, on pourra, par la simple addition, continuer celle des différences m—~ i*"", et à l’aide de celle-ci, on pourra continuer de même la suite des différences m— a u ”", et aipsi de suite, jusqu’à ce que l’on arrive à la première suite, qui sera celle des résultats cherchés.

11 est bon d’observer ici que si les termes correspondaus des différentes suites dont nous parlons étaient tous positifs, les termes suivans dans chaque suite seraient tous aussi positifs. Or, puisque la dernière différence est toujours positive , il est clair qu’on parviendra nécessairement dans chaque suite à des termes tous positifs ; ainsi il suffira de continuer toutes ces suites jusqu’à ce que leurs termes correspondons

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. i$

soient devenus tous positifs, parce qu’ai ors on sera sûr que la série des résultats, continuée aussi loin qu’on voudra, sera toujours positive, et que, par conséquent, elle ne contiendra plus aucune variation de signe.

Pour éclaircir ceci par un exemple, soit proposée l’équation

00 trouvera d’abord que les résultats qui répondent à o , 1,3, 3, sont 189, 137, 71, 37, d’où l’on tirera les différences premières —63, — 56 , — 44 » I e5 différences secondes 6 , 13, et la différence troisième 6 ; ainsi on formera les quatre séries suivantes :

6 6 6 6 6 6 6, etc.,

6 13 18 34 3 o 36 43, etc.,

— 6a — 56 — 44 — a6 — 3 a8 64, etc.,

dont la loi est que chaque terme est égal à la somme du terme précédent de la môme série , et de celui qui y est au-dessus dans la série précédente ; de sorte qu’il est très facile de continuer ces séries aussi loin qu’on voudra.

La dernière de ces quatre Béries sera , comme l’on voit, celle des résultats qui viennent de la substitution des nombres naturels o 1 3 , etc. à la place de x dans l’équation proposée ; et comme les termes de la septième colonne, Bavoir : 6 , 43, 64, 37, sont tous positifs, il s’ensuit que les termes suivans seront tous aussi positifs ; de sorte que la série des résultats, continuée aussi loin qu’on voudra} n’aura plus aucune variation de signe.

i 4 - Remarque. On avait déjà remarqué que l’on pouvait trouver la valeur approchée de toutes les racines réelles et inégales d’une équation quelconque, en y substituant successivement à la place de l’inconnue différens nombres en progression arithmétique; mais cette remarque ne pouvait pas être d’une grande utilité, faute d’avoir une méthode pour déterminer la progression que l’on doit employer dans chaque cas, en sorte que l’on soit assuré qu’elle fasse connaître toutes les racines réelles et inégales de l’équation proposée. Nous en sommes heureusement venus à bout à l’aide du problème du n° 8, et nous

>G DE LA RÉSOLUTION

verrons encore ci-après d’autre» usages de ce même problème par rapport aux racines égales et imaginaires.

Au reste, la recherche de la quantité A (n° n) ne serait point nécessaire si l’équation proposée n’avait que des racines réelles; mais les conditions par lesquelles on peut reconnaître d’avance la réalité de toutes les racines, lorsqu’elle a lieu dans une équation donnée, dépendent de l’équation même des différences, ou de formules équivalentes. (Voyez la note VIII.)