CHAPITRE PREMIER

Méthode pour trouver, dans une équation numérique quelconque, la valeur entière la plus approchée de chacune de ses racines réelles.

i. Théorème I. Si l’on a une équation quelconque , et que l’on connaisse deux nombres tels qu’étant substitués successivement à la place de l’inconnue de cette équation , îls donnent des résultats de signes contraires ', l’équation aura nécessairement au moins une racine réelle dont la valeur sera entre ces deux nombres. • ,

Ce théorème est connu depuis long-temps , et l’on a coutume de le démontrer par la théorie des lignes courbes ; mais on peut aussi le démontrer directement par la théorie des équations, en cette aorte. Soit x l’inconnue de l’équation, et a, /S, y, etc., ses racines, l’équation se réduira , comme l’on sait , à cette forme

éStetib : x - ■

a DE LA RÉSOLUTION '

Or , soient p et q les nombres qui , substitués par x , donneront des résultats de signes contraires, il faudra donc que ces deux quantités

soient de signes diflërens ; par conséquent, il faudra qu’il y ait au moins deux facteurs correspondans , comme p — es et q — et , qui soient de signes contraires : donc il y aura au moins une des racines de l’équation , comme et, qui sera entre les nombres p et q, c’est-àdire plus petite que le plus grand de ces deux nombres , et plus grande que le plus petit d’eutre eux ; donc cette racine sera nécessairement réelle.

3. Corollaire 1. Donc si les nombres p et q ne diffèrent l’un de l’autre que de l’unité, ou d’une quantité moindre que l’unité, le plus petit de ces nombres, s’il est entier, ou le nombre entier qui sera immédiatement moindre que le plus petit de ces deux nombres, s’il n’est pas entier, sera la valeur entière la plus approchée d’une des racines de l’équation. Si In diflerence entre p et q est plus grande que l’unité, alors nommant n, n+i, n-f-a, etc., les nombres entiers qui tombent entre p et q , il est clair que , si l’on substitue successivement à la place de l’inconnue les nombres p , n, re-f-i , n-j-a, etc. q , on trouvera nécessairement deux substitutions consécutives qui donneront des résultats de signes différens ; donc , puisque les nombres qui donneront ces deux résultats 11e diffèrent entre eux que de l’unité, on trouvera , comme ci-dessus, la valeur entière la plus approchée d’une des racines de l’équation.

3. Corollaire a. Toute équation dont le dernier terme est négatif, en supposant le premier positif, n nécessairement une racine réelle positive, dont on pourra trouver la valeur entière la plus approchée, en substituant à la place de l’inconnue les nombres 0, 1 , 2,3, etc., jusqu’à ce que l’on rencontre deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires.

Car, en supposant le premier terme x”, et le dernier — H (H étant un nombre positif), on aura, en faisant x,= o, le résultat négatif — H, et en faisant x = 00, le résultat positif oc”; donc on aura ici p= o et q — ce; donc les nombres entiers intermediaires seront tous les nombres naturels 1, 3, 3, etc., donc, etc. ( 'Coroll . prêc.)

De là ou voit, i*. que toute équation d’un degré impair, dont le dernier terme est négatif, a nécessairement une racine réelle positive.

a*. Que toute équation d’un degré impair, dont le dernier tenue est positif, a nécessairement une racine réelle négative; car, en changeant x en — x, le premier terme de l’équation deviendra négatif: donc, changeant tous les signes pour rendre de nouveau le premier terme positif , le dernier deviendra négatif : donc l’équation aura alors une racine réelle positive; par conséquent l’équation primitive aura une racine réelle négative.

3*. Que toute équation d’un degré pair, dont le dernier terme est négatif, a nécessairement deux racines réelles , l’une positive et l’autre négative; car, premièrement, elle aura une racine réelle positive; ensuite, comme en changeant x en — x, le premier terme demeure positif, la transformée aura aussi une racine réelle positive : donc l’équation primitive en aura une réelle et négative.

4- Remarque. Comme on peut toujours changer les racines négatives d’une équation quelconque en positives, en changeant seulement le sigue de l’inconnue , nous ne considérerons dans la suite , pour plus de simplicité , que les racines positives ; ainsi , quand il s’agira d’examiner les racines d’une équation donnée, on considérera d’abord les racines positives de cette équation , ensuite on y changera les signes de tous les termes où l’inconnue se trouvera élevée à une puissance impaire , et on considérera de même les racines positives de celte nouvelle équation; ces racines, prises en moins, seront les racines négatives de la proposée.

5. Théorème II. Si dans une équation quelconque, qui a une ou plusieurs racines réelles et inégales , on substitue successivement à la place de l’inconnue deux nombres, dont l’un soit plus grand et dont l’autre soit plus petit que l’une de ces racines , et qui didêrent en même temps l’un de l’autre d’une quantité moindre que la différence entre cette racine et chacune des autres racines réelles de l’équation ces deux substitutions donneront nécessairement deux résultats de signes contraires.

Eu effet , soit * une des racines réelles et inégales de l’équation , et 0,>, tf, etc. , les autres racines quelconques ; soit de plus f la plus petite des différences entre la racine et et chacune des autres racines

réelles de l’équation , il est clair qu’en prenant p > a , q < a . , et p — q < f , les quantités p—a et q — a seront de signes contraires, et que les quantités p — /3, p — y, etc., seront cbacuue de même signe que sa correspondante q — /3 , q — y , etc. , car , si p — \ S et q — â étaient de signes contraires , il faudrait que /3 fut aussi compris entre p et q, ce qui ne se peut. Donc les deux produits

c’cst-à-dire, les résultats des substitutions de p et q à la place de l’inconnue x (n* i) seront nécessairement de signes contraires.

6. Corollaire i. Donc, si dans une équation quelconque on substitue successivement à la place de l’inconnue les nombres en progression arithmétique

o, A, aA , 3A, 4A, etc., (A)

les résultats correspondans formeront une suite , dans laquelle il y aura autant de variations de signes que l’équation proposée aura de racines réelles positives et inégales , mais dont les différences ne seront pas moindres que la différence A de la progression. De sorte que si l’on prend A égale ou moindre que la plus petite des différences entre les différentes racines positives et inégales de l’équation , la suite dont il s’agit aura nécessairement autant de variations de signes que l’cquation contiendra de racines réelles positives et inégales.

Donc, si la différence A est en meme temps égale ou moindre que l’unité, on trouvera aussi, par ce moyen, la valeur entière approchée de chacune des racines réelles positives et inégales de l’cquation (n* a).

Si l’équation ne peut avoir qu’une seule racine réelle et positive , ou si elle en a plusieurs , mais dont les différences ne soient pas moindres que l'imite, il est clair qu’on pourra faire A = i , c’est-à -dire qu’on pourra prendre les nombres naturels o, i , 2, 5, etc. , pour les substituer à la place de l’inconnue; mais, s’il y a dans l’équation des racines inégales dont les différences soient moindres que l’unité, alors il faudra prendre A moindre que l’unité, et telle qu’elle soit égale ou moindre que la plus petite des différences entre les racines don| il s’agit : ainsi la difficulté se réduit à trouver la valeur qu’on doit donner

à A, en sorte qu’on soit assuré qu’elle ne surpasse pas la plus petite des différences entre les racines positives et inégales de l’équation proposée : c’est l’objet du problème suivant.

Corollaire a. Toute équation qui a un seul changement de signe, a nécessairement une seule racine réelle positive.

11 est d’abord clair que l’équation aura nécessairement une racine réelle positive, à cause que sou dernier terme sera de signe différent du premier (n" 3). Or je vais démontrer qu’elle ne peut en avoir qu’une.

Soit (en supposant le premier terme positif, comme à l’ordinaire) X la somme de tous les termes positifs de l’équation , et Y la somme de tous les négatifs, en sorte que l’équation soit X — Y = o ; et puisqu’il n’y a, par l'hypothèse, qu’un seul changement de signe, il est clair que les puissances de l’inconnue x du polynôme X seront toujours plus hautes que celles du polynôme Y ; de sorte que si x? est la plus petite puissance de x dans le polynôme X, et qu’on divise les deux polynômes

X et Y par x', la quantité — ne contiendra que des puissances posi- Y

tives de x, et la quantité — r ne contiendra que des puissances uéga-

tives de x; d où il suit que x croissant, la valeur de — devra croître

aussi, et x diminuant, — diminuera aussi, à moins que le polynôme

X ne contienne que le seul terme x', auquel cas — sera toujours une

quantité constante; au contraire, x croissant, la valeur de — dimi-

nuera nécessairement , et x diminuant , — ira en augmentant. Soit a

la racine réelle et positive de l’équation , on aura donc , lorsque x=a , X Y

X = Y; donc aussi — = — : donc en substituant, au lieu de x, des

nombres quelconques plus grands que a , on aura toujours — > — , et

par conséquent X — Y égal à un nombre positif; et en substituant, au lieu de x, des nombres moindres que a , on aura toujours — < — ; et par conséquent X — Y égal à un nombre négatif : donc il sera impos-

6 DE LA KÉSOLUTION

sible que l’équation ait des racines réelles et positives plus grandes ou plus petites que a.

Si l’équation a plusieurs changemens de signe, elle peut avoir aussi plusieurs racines réelles positives; mais leur nombre ne peut jamais surpasser celui des changemens ou variations de signe : c’est ce théorème qu’on appelle la règle de Descartes. Voyez la note VIII.

8. Problème. Une équation quelconque étant donnée, trouver une autre équation dont les racines soient les différences entre les racines de l’équation donnée.

Soit donnée l’équation

x” — Ax— + Bx— — Cx— - 3 + etc. = o (B);

on sait que x peut être indifféremment égal à une quelconque de ses racines: soit x' une autre racine quelconque de la même équation , en sorte que l’on ait aussi

x'" — Ax 1 * -1 -f- Bx'“~* — Cx'— 3 + etc. — o ,

et soit u la différence entre les deux racines x et J, de manière que l’on ait x'==x-|-u; substituant cette valeur de x' dans la dernière équation , et ordonnant les termes par rapport à u , on aura une équation en u du même degré m , laquelle , en commençant par les derniers termes , sera de cette forme

X + Yu -f- Zu“ ■+■ Vu 3 *+- etc. -f- u“ 5= o , les coefliciens X, Y, Z, etc., étant des fonctions de x telles que

X = x- — Ax— -f- Bx— — • Cx— 3 ■+■ etc. ,

Y = mx* -1 — (m — 1) Ax— *-f- (m — a)Bx— 3 — etc. ,

Z = X— - Ax- 3 + etc. ,

etc. ;

c’est-à-dire , suivant la notation du calcul différentiel , v dX d‘X v d 3 X

Y =S’ Z= 53?> V — 53dP> etc ’

Donc, puisque par l’équation donnée (B) on a X = o , l’équation pré-

cêdente étant divisée par u, deviendra celle-ci :

Y-+- Zn + Vu* 4- etc. + (C).

Cette équation , si l’on y substitue pour x une quelconque des racines de l’équation (B), aura pour racines les différences entre cette racine et toutes les autres de la même équation (B) : donc , si l’on combine les équations (B) et (C) en éliminant x, on aura une équation en u, dont les racines seront les différences entre chacune des racines de l’équation (B) et toutes les autres racines de la même équation ; ce sera l’équation cherchée.

Mais sans exécuter ccttc élimination , qui serait souvent fort laborieuse, il suffira de considérer :

1 °. Que a, 0 , y, etc. , étant les racines de l’équation en x, celles de l’équation en u seront « — 0 , a — y, etc., 0 — a, 0 — y , etc., y — a , y — 0 , etc. , etc. ; d’où l’on voit que ces racines seront au nombre de m (m — i), et que de plus elles seront égales deux à deux , et de signes contraires ; de sorte que l’équation en u manquera nécessairement de toutes les puissances impaires de u. Donc , en faisant

— — n et u* = u , l’équation dont il s’agit sera de cette forme v* — au*~‘ -+- bu’—‘ — co* -3 -+- etc. = o (D).

3 °. Que (« — /3)*, (<* — y)', {0 — >)*, etc. , étant les différentes valeurs de u dans l’cquation (D), le coefficient a sera égal à la somme de toutes ces valeurs, le coefficient b sera la somme de tous leurs produits deux à deux , etc.

Or, il est facile de voir que (a — /3)“— J— (a — y)' -f- (0 — y)‘ -|- etc. = (m — i) (a* -f- 0‘ + y % 4- etc.) — 3 (*0 -f- wy -f- 0y etc.) ; mais on sait que a.0 -J- <*-y *+* 0y etc. = B ; et *‘+ 0‘ ■+■ >*- f- etc. — A* — aB : donc on aura a = [m~ i) (A*— aB) — aB , savoir: a=(m — i) A* — amB ; et on pourra , de la même manière , trouver la valeur des autres coefficieus b , c , etc.

Pour y parvenir plus facilement , supposons

A, = * -h 0 -h y -f- etc. ,

A. = <t* + 0‘ -h Y 4- etc. ,

Aj = « s -f 0* + y* + etc. ,

et l’on aura , comme l’on sait ,

A. = AA, — aB ,

A 4 ^ AA, — BA, + CA, — 4®> etc.

Supposons de plus

a, = (a — j3)* + (a — y)‘ ■+■ (P — >)* ■+■ etc., a, = (* — py + (* — yY -+- (/3 — yY 4 - etc. , a, = (* - PY + (* - >)' + (/3 - yf + etc., etc. j

il est facile de voir que l’on aura

a, — (m — i) A 4 - 4(A|A, - A 4 ) + 6( (A ° - ‘ -f ^ ) , a, = (ni — i)A e — 6(A,A, — A,) ■+■ i5(A,A 4 — A«)

etc., ou bien

a, = mA. — a^J- *

a, = mA^ — 4A,A, -f- 6 ,

a, = mA/ — 6A.A, -f- i 5A,A 4 ao ^ ,

etc. j

et , en général ,

Of, =s mAy, — a^*A,A(^u-. i) ,

+ SSïpiî A.A^—i) - etc.

. (■>■* — a) 0» 4- O ÇM*

Les quantités a ,, a,, a,, etc., étant ainsi connues, on aura sur-le-

, DÈS ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. g

champ les valeurs des coefficiens a, b , c, etc:, de l’équation (D) par les formules

aax —

ba, — aa % -f- ûj 3 *

ca, — ba % -|- aaj —

Ainsi on pourra déterminer directement les coefliciens a, b, c, etc. , de l’équation (D) par ceux de l’équation donnée (B). Pour cela , on cherchera d’abord, par les formules ci-dessus, les valeurs des quantités A,, A., A s , etc. , jusqu’à A„; ensuite, à l’aide de celles-ci, on cherchera celles des quantités a, ; a,, etc. , jusqu’à a., et enfin , par ces

dernières , on trouvera les valeurs cherchées des coefliciens a , b , c , etc.

g. Remarque. 11 est bon de remarquer que l’équation (D) exprime également les différences entre les racines positives et négatives de l’équation (B); de sorte que la même équation aura lieu aussi lorsqu’on changera x en — x pour avoir les racines négatives (n° 4)-

De plus , il est clair que l’équation (D) sera toujours la même , soit qu’on augmente ou qu’on diminue toutes les racines de l’équation proposée d’une même quantité quelconque : donc, si cette équation a son second terme , on pourra le faire disparaître , et chercher ensuite l’équation en v ; on aura ainsi la même équation qu’on aurait eue si l’on n’avait pas fait évanouir le second terme, mais l’évanouissement de ce terme rendra toujours la recherche des coefliciens a , b , c , etc. , un peu plus facile , parce qu’on aura A = o , et par conséquent aussi A, s= o ; de sorte que les formules du numéro précédent deviendront

A, = — aB,