Soit l’équation

Ajc“ -1- Bx*" - ‘ + G*"—* -f- etc. *-f- K = o (a),

et supposons qu’on ait déjà trouvé par la méthode précédente , ou autrement, la valeur entière approchée d’une Je ses racines réelles et positives; soit cette première valeur p, en sorte que l’on ait x > p et

■*<!?+••> on fera *=P+' y ; et substituant cette valeur dans

l’équation proposée, à la place de a;, on aura, après avoir multiplié toute l’équation par y m \ et ordonné les termes par rapport à y, une équation de cette forme

A>- + B>— + C'y— + etc. + K' = o (b).

Or , comme ( hyp .) , > o et < i , on aura y > 1 j donc l’équation

( b ) aura nécessairement au moins une racine réelle plus grande que l’unité.

On cherchera donc, par les méthodes du chapitre P r , la valeur entière approchée de cette racine ; et comme cette racine doit être nécessairement positive, il suflira de considérer^ comme positif (n* 4)- Ayant trouvé la valeur entière approchée de^, que je nommerai q,

on fera ensuite y = q -f- -, et substituant cette valeur de y dans l’équation (b) , on aura une troisième équation en z de cette forme ,

AV -f BV— -f C"z— * ■+• etc. + K" = o (c),

laquelle aura nécessairement, au moins, une racine réelle plus grande

H DE LA RÉSOLUTION

que l’unité , dont on pourra trouver de même la valeur entière approchée.

Cette valeur approchée de z étant nommée r, on fera z = r -f- - j

et substituant, on aura une équation en u, qui aura au moins une racine réelle plus grande que l’unité, et ainsi de suite.

En continuant de la même manière, on approchera toujours de plus en plus de la valeur de la racine cherchée ; mais s'il arrive que quelqu’un des nombres/», q , etc., soit une racine exacte, alors on aura x = p , ou y = q, etc., et l’opération sera terminée ; ainsi , dans ce cas , on trouvera pour x une valeur commensurable.

Dans tous les autres cas , la valeur de la racine sera nécessairement incommensurable, et l’on pourra seulement en approcher aussi près qu’on voudra.

19. Si l’équation proposée a plusieurs racines réelles positives , on pourra trouver, par les méthodes exposées dans le chapitre l* r , la valeur entière approchée de chacune de ces racines; et nommant ces valeurs p , p', p", etc. , on les emploiera successivement pour approcher davantage de la vraie valeur de chaque racine , il faudra seulement remarquer ,

,®. Que si les nombres p, p', p", etc. , sont tous différens l’un de l’autre, alors les transformées (b), (c), etc., du numéro précédent, n’auront chacune qu’une seule racine réelle et plus grande que l’unité ; car si , par exemple , l’équation (b) avait deux racines réelles plus

grandes que l’unité, telles que ÿ et j", on aurait donc x = p y

et x — p -1 — ; de sorte que ces deux valeurs de x auraient la même

valeur entière approchée p contre l’hypothèse : il en serait de même si IV quation (c) , ou quelqu’uue des suivantes , avait deux racines réelles plus grandes que l’unité.

De là il suit que, pour trouver dans ce cas les valeurs entières approchées q, r, etc., des racines des équations (b), (c), etc., il suffira de substituer successivement à la place dejr, z, etc., les nombres naturels positifs 1 , a , 3 , etc., jusqu’à ce que l’on trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signes contraires (u° 6). a®. Que s’il y a deux valeurs de x qui aient la même valeur entière

DES ÉQUATIONS NUMERIQUES. a3

approchée p, en employant celte valeur, l’équation (b) anra aussi deux racines plus grandes que l’unité, et si leur valeur entière approchée est la même, l’équatiou (c) aura encore deux racines plus grandes que l’unité , et ainsi de suite , jusqu’à ce que l’on arrive à une équation dont les deux racines, plus grandes que l’unité, aient des valeurs entières approchées différentes ; alors chacune de ces deux valeurs donnera une suite particulière d’équations qui n’auront plus qu’une seule racine réelle plus grande que l’unité.

En effet , puisqu’il y a deux valeurs différentes de x qui ont la même valeur entière approchée p, ces deux valeurs seront représentées par p-^- 1 --, de sorte- qu’il faudra que y ait nécessairement deux

valeurs réelles plus grandes que l’unité : et , si ces deux valeurs de y ont la même valeur approchée q , il faudra de nouveau qu’cn faisant

y = q -+- i , s ait deux valeurs différentes plus grandes que l’unité , et ainsi de suite.

Mais, si les valeurs entières approchées dey étaient différentes, alors nommant ces valeurs q et tf , on ferait (successivement y = q 4- l

et y = q > il est clair que s, dans l’une et l’autre de ces deux

suppositions , n’aurait plus qu’une seule valeur réelle plus grande que l’unité, autrement les valeurs dey , au lieu d’être seulement doubles, seraient triples ou quadruples, etc.

Donc , quand on sera parvenu à une transformée dont les deux racines, plus grandes que l’unité, auront des valeurs entières différentes, on sera assuré que les autres transformées résultantes de chacune de ces deux valeurs , n’auront plus qu’une seule racine plus grande que Punité. Quant à la manière de trouver les valeurs entières approchées p, q, etc., lorsqu’elles répondent à plus d’une racine, voyez ci-après Chap. VI, art. rv.

On peut faire des remarques analogues sur le cas où il y aurait dans l’équation (a) trois racines, ou davantage, qui auraient la même valeur entière approchée. •

ao. Nous avons supposé dans le n" 18 que les racines cherchées étaient positives; pour trouver les négatives, il n’y aura qu ’4 mettre

— x à la place (le x dans l’équation proposée , et l’on cherchera de même les racines positives de cette dernière équation : ce seront les racines négatives de la proposée (n° 4).

Quant aux racines imaginaires qui sont toujours exprimées par *4-/3 4/— i, nous avons donné, dans le chapitre II, le moyen de trouver les équations dont a et /S sont les racines ; ainsi il n’y aura qu’à chercher les racines réelles de ces équations, et l’on aura la valeur de toutes les racines imaginaires de l’équation proposée.

ai. Pour faciliter les substitutions (n° 18) de p4- au lieu de x, «le q 4* au lieu de p, etc., il est bon de remarquer que les cocffi-

ciens de la transformée (b) peuvent se déduire immédiatement de ceux de l’équation (a) en cette sorte :

A' = A p" -f- Bp" - * -f- Cp— * + Dp" -3 +• etc. ,

B' = + (771 — 1) Bp—* -f- (m — 3) Cp— 3 -f- etc.,

C = Ap— + Bp- 3 4- etc.,

etc. 1 .

On aura de même ceux de la transformée (c) par ceux de la transformée (b ) , en mettant dans les formules précédentes q à la place de p, A", B", C", etc. à la place de A', B', C', etc. et A', B', C', etc. à la place de A, B, C, etc. , et ainsi de suite.

De là , il est évident que le premier coefficient A' ou A", etc. ne sera jamais nul, à moins que le nombre p ou q , etc. ne soit une racine exacte, auquel cas nous avons vu que la fraction continue se termine à ce nombre (n° 18). En effet, si A'= o, ou A"— o, etc., ou aura y = m, ou z — 00; donc x— p , ou yz=q, etc.

aa. Soient donc p, q, r, s, t, etc. les valeurs entières approchées des racines des équations (a), (A), (c), etc., en sorte que l’on ait

x=P+'-> J — q -f- s=r+I, etc., substituant successivement ces valeurs dans celle de x, ou aura

* + etc.

DES EQUATIONS NUMÉRIQUES. a5

Ainsi la valeur de x, c’est-à-dire de la racine chcrclrée, sera exprimée par une fraction- continue. Or, on sait que ces sortes de fractions donnent toujours l’expression la plus simple, et en même temps la plus exacte qu’il est possible d’un nombre quelconque, rationnel ou irrationnel.

Huygens parait être le premier qui ait remarqué cette propriété des fractions continues, et qui en ait fait usage pour trouver les fractions les plus simples, et en même temps les plus approchantes d’une fraction quelconque donnée. ( Voyez son Traité de Aulomalo planetario.)

Plusieurs habiles géomètres ont ensuite développé davantage celte théorie, et en ont fait différentes applications ingénieuses et utiles; mais on n’avait pas encore pensé, ce me semble, à s’eu servir dans la résolution des équations.

a3. Maintenant, si on réduit les fractions continues

^ + } + ;, etc.

eu fractions ordinaires, on aura

etr faisant

fi =■ qa. ~ f- »,

y = rfi -H <*,

y' — rfi' 4- a',

eT = sy -+• fi,

r = *>' 4- fi'.

etc.,

etc.;

on aura, dis- je, cette suite de fractions particulières :

y» clc ->

lesquelles seront nécessairement convergentes vers la vraie valeur de x, et dont la première sera plus petite que cette valeur, la seconde sera plus grande, la troisième plus petite, et ainsi de suite; de sorte que la valeur cherchée se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques : c’est ce qu’il est aisé de déduire de la nature même de la fraction continue, d’où celles-ci sont tirées.

Or, il est facile de voir que les valeurs, de et, fi, y, etc. , et fi' ,

y', etc. sont toujours telles que fia.' — a/3'= i, fiy' — y fi '= i, Sy' — yS'— i, etc.; d’où il s’ensuit,

i°. Que ces fractions sont déjà réduites à leurs moindres termes;

a6 . DE LA RÉSOLUTION

car si y et y', par exemple, avaient un commun diviseur autre que l’unité, il faudrait, en vertu de l’équation 0y'—~yi 9'=s i que l’unité fût aussi divisible par ce même diviseur.

3°. Qu’on aura

— ? — T — p — yr^ etc '>

• et $ • * ,

de sorte que les fractions etc. ne peuvent jamais différer de

la vraie valeur de x que d’une quantité respectivement moindre que îÎF’ ¥y’' ^7?» etc ' » d’où ^ sera facile de juger de la quantité de l’approximation.

En général , puisque /3' > a', y' > jS 7 , etc. , on aura

gr > , etc. ;

d’où l’on voit que l’erreur de chaque fraction sera toujours moindre que l’unité divisée par le carré du dénominateur de la meme fraction.

3*. Que chaque fraction approchera de la valeur de x, non-seulement plus que »e fait aucune des fractions précédentes, mais aussi plus que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui aurait

un moindre dénominateur. En effet, si la fraction par exemple,

approchait plus que la fraction -p , y' étant > fd, il faudrait que la

quantité —, se trouvât entre ces deux ^ et ^ ; donc^ — ^

et >o; donc fty ' — < i, et> o; ce qui ne se peut, puisque

y, y', f*, p! sont des nombres entiers.

^ fl y

3 4- Les fractions -g , -r , etc. peuvent être appelées fractions

principales, parce qu’elles convergent le plus qu’il est possible vers la valeur cherchée; mais, quand les nombres p, q, r, etc. diffèrent de l’unité, on peut encore trouver d’autres fractions convergentes vers la même valeur, et qu’on appellera, si l’on veut, fractions secondaires.

Par exemple, si r est > i , on peut, entre les fractions £ et ^,qui

DES ÉQÜATIOBS NUMÉRIQUES. «7,

sont tontes deux moindre* que la valeur de ar, insérer autant de fractions secondaires qu’il y a d’unité* dans r— i, en mettant successivement i, a, 3, etc. r— i, au lieu de r. De cette manière , à cause de et j-'esrjS'-f-*', on aura cette suite de fractions

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