P+ *" etC ‘ r/l'-f

dont les deux extrêmes sont les deux fractions principales ^ ^ , et

dont les intermédiaires sont des fractions 'secondaires.

Or, si on prend la différence entre deux fractions consécutive»

quelconques de cette suite , comme entre et ||/yy , on tan»-

vera ^ + -f."» 7 ) » 80116 c i ae 081116 différence sera toujours

positive, et ira en diminuant d’une fraction à l’autre; d’où il suit que comme la dernière fraction ^ est moindre que la vraie valeur de

la fraction continue , les fractions dont il s’agit seront toutes plus petites que celte valeur, et seront en même temps convergentes vers cette même valeur.

On fera le même raisonnement par rapport à toutes les autres fractions principales ; et si on ajoute à ces fractions les deux fractions * et s, dont la première est toujours plus petite, et dont la seconde est plus grande que toute quantité donnée, on pourra former deux séries de fractions Convergentes vers la valeur cherchée, dont l’une contiendra toutes les fractions plus petites que cette valeur, et dont l’autre contiendra toutes les fractions plus grandes que la même valeur.

Fractions plus petites.

etc., ^ ... ...

3$ -f* et 3 S + 2’ elc- ’

rfi + *

rf~+7 '

ti’ + y

etc.

ïT+7' 1 ’

tr+s •

Fractions plus grandes.

i < -4- i a<* 4- i 3a 4- t . ya 4- i f fi' \

y 4~ £ »y 4- ^ 3y 4 -fi

■/'+?) ay' 4- fi’ ’ 3y'4-^’

etc.

Quant à la nature de ces fractions, il est facile de prouver, comme nousTavons fait par rapport aux fractions principales, i\ que chacune de ces fractions sera déjà réduite à ses moindres termes; d’où il suit que comme les numérateurs et les dénominateurs vont en augmentant, ces fractions se trouveront toujours exprimées par des termes plus grands à mesure qu’elles s’éloigneront du commencement de la série, a*. Que chaque fraction de la première série approchera de la valeur de x plus qu’aucune autre fraction quelconque qui serait moindre que cette valeur, et qui aurait un dénominateur plus petit que celui de la même fraction ; et que, de même, chaque fraction delà seconde série approchera plus de la valeur de x que ne pourrait faire toute autre fraction qui serait plus grande que cette valeur, et qui aurait un dénominateur plus petit que celui de la même fraction.

En effet, s’il y avait une fraction comme ^ plus petite que la valeur de x, et en même temps plus approchante de cette valeur que la fraction -A, par exemple, en supposant a.' > p,', il faudrait

(à cause que la fraction y est plus grande que la valeur dont il s’agit) que la quantité y, se trouvât entre les deux quantités et y',

donc la quantité y, — fr'+ y devrait être

etc.,

«y 4- fi iy'+T '

fi 3s 4fi 3r -f- «

donc il faudrait que /tx( 3/3'— f- as') — ft'( 3/3 -f- * ) fût < y <. i ; ce qui ne se peut.

Au reste, il peut arriver qu’une fraction d’une série n’approche pas si près qu’une autre de l’autre série, quoique conçue en termes moins simples ; mais cela n’arrive jamais quand la fraction qui a le plus grand dénominateur est une fraction principale (n* a3).