CHAPITRE IY

Applications des Méthodes précédentes à quelques Exemples. .

a5. Je prendrai pour premier exemple l'équation que Newton u résolue par sa méthode , savoir :

x 3 — ax — • 5 = o.

Je commence par chercher par les formules du n* 8 l’équation en u qui résulte de cette équation ; je fais donc m = 3 , A = o , B = — a,

C = 5; j’aurai n=-^- = 3 , A, = o , A. = 4, A,z= i5, A 4 = 8 ,

A,= 5o, A, = 91 ; donc a,= 1 a, a,= 7 a , a s = — 1497 , ct de là a= ia, b = 36, c = — 643; de sorte que l’e'quation cherchée sera

t>* — iau*-f- 36u -f- 643 = o.

Comme cette équation n’a pas les signes alternativement positifs et négatifs, j’en conclus sur-le-champ que l’équation proposée a nécessairement deux ratines imaginaires, et par conséquent une seule réelle (n° 16 ).

Ainsi les nombres à substituer à la place de x, seront les nombres naturels o, 1 , a, 3, etc. (n“ 6 ).

Je suppose d’abord x positif, et je cherche la limite des valeurs

de x par les méthodes du n° la, je trouve j/a -f- \/5 <3; ainsi 3 sera la limite cherchée en nombres entiers; de sorte qu’il suffira de faire successivement x = o, = i, = a , = 3 ; ce qui donnera ces résultats : — 5, — 6 , — 1 , + 16 ; d’où l’on voit que la racine réelle de l’équation proposée, sera entre les nombres a et 3 ; et qu’ainsi a sera la valeur entièfe la plus approchée de cette racine (n° a).

3o DE LA. RÉSOLUTION

Je fais maintenant, suivant la méthode du chapitre III, ar=a+ j’ai, en substituant et ordonnant les termes par rapport à/, l’équation y * — 107* — &J — 1=0,

dans laquelle j’ai changé les signes pour rendre le premier terme

positif. * >

Cette équation aura donc nécessairement une seule racine plus grande que l’unité (n° 19) ; de sorte que pour en trouver la valeur approchée, il n’y aura qu’à substituer les nombres o, I, a, 3 , etc. jusqu’à ce que l’on trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signes contraires.

Pour ne pas faire beaucoup de substitutions inutiles, je remarque qu’en faisant j=o, j’ai un résultat négatif, et qu’en faisant .7= 10, le résultat est encore négatif; je commence donc par le nombre 10, et je fais successivement 7= 10, = II, etc., je trouve d abord les résultats — 61, -+-54, etc. ; d’où je conclus que la valeur approchée de y est 10; donc q = 10.

Je fais dotac y— 10 -f- j’irai l’équation

Giz 1 — 94a*— aoa —1=0;

et supposant successivement a=>, =1 i etc. x j’aurai les résultats — 54, +71, etc.; donc r= 1.

Je fais encore Z = 1 + “ , j’aurai

54 if-+- a 5 u* — 89a — 61 = 0;

et supposant u = i, = a, j’aurai les résultats —71, +293, etc.; donc s = 1, et ainsi de suite.

En continuant de cette manière, on trouvera les nombres a, 10, 1 etc., de sorte que la racine cherchée sera

exprimée par cette fraction continue

+ et#.;

d’où l’on tirera les fractions (n° 2 3)

* II 44 * » t* i 55 5 ^ 2ll I ^° 7 iG 4>5

î ’ 10* 7 t* ai* * 5 T * 74' 375’ 340 6 ^ 4 * 7837* e >

lesquelles seront alternativement plus petites et plus grandes que la valeur de x.

La dernière fraction YaVr est plus grande que la racine cherchée ; majs l’erreur sera moindre que ( n ° a3, a°.), c’est-à-dire moindre

qne o,ooooooot63 ; donc, si on réduit la fraction en fraction décimale, elle sera exacte jusqu’à la septième décimale : or, en faisant la

division, on trouve 2,og455 i4865 ; ainsi hT racine cherchée sera

entre les nombres 2,og455i49 et 3,og455i47>

Newton a trouvé par sa méthode la fraction 2,og|55i47 [voyez sa Méthode des suités infinies); d’où l’on voit que cette méthode donne dans ce cas un résultat fort exact : mais on aurait tort de se promettre toujours une pareille exactitude.

26. Quant aux deux autres racines de la même équation , nous avons déjà vu qu’elles doivent être imaginaires : néanmoins, si on voulait en trouver la valeur, on le pourrait par la méthode du n° 17.

Pour cela, on reprendra l’équation en u trouvée ci-dessus, et en y changeant u en — tv, et changeant ensuite tous les signes, on aura

w* -f- rasv* -f- 36 h> — 643 = o,

et il ne s’agira plus que de chercher une racine réelle et positive de cette équation. Or, puisqu’elle a son dernier terme négatif, elle aura nécessairemeut uue telle racine , dont on pourra trouver la valeur entière la plus approchée par la substitution successive des nombres naturels o, 1, 2, 3, etc. (n° 3). En effet, en faisant tv = 5, on aura le résultat -—38, et en faisant tv=G, on aura -j- 221 ; ainsi la valeur entière la plus approchée de la racine positive de cette équation sera 5.

On fera donc maintenant tv=5 -f- -, et en substituant, on aura, après avoir changé les signes,

Faisant successivement usa o, t, 2, etc., on trouvera pour u=6 et u=7 les résultats *—271, -j- i5a5 ; donc 6 sera la valeur entière approchée de u.

On fera donc M = 6 -f- j, et l’on aura, en substituant et changeant les signes,

37 ix 1 — i3o5x* — 4^3 x — 38 = o.

En faisant successivement x = o, 1 , a, etc., on trouvera des résultats négatifs jusqu’à la supposition de x = G, qui donne 8837 P° ur résultat ; de sorte que 5 sera la valeur entière approchée de x.

On fera donc x=5-f- -, substituant et réduisant, on aura

et l’on trouvera 6 pour 1 a valeur approchée de 7 ', et ainsi de suite.

De cette manière, on approchera de plus en plus de la valeur de iv, laquelle se trouvera exprimée par la fraction continue

iv = 5 -f-

d’où l’on tire ces fractions particulières