etc

etc.

Connaissant ainsi w, on aura (n° 17 )^ = ; ainsi on connaîtra /3.

On substituera maintenant a + / 3 y/ — 1 à la place de x dans l’équation proposée ; et faisant deux équations séparées des termes tout réels, et de ceux qui sont aficctés de y / — I, on aura les deux équations

On cherchera le plus grand commun diviseur de ces deux équations ’ et on poussera seulement la division jusqu’à ce que l’on arrive à un reste où a ne se trouve qu’à 1 a première puissance (numéro cité) ; ce

reste sera — a — 5, lequel étant fait = 0 , donnera

Ainsi on aura la valeur des deux racines imaginaires — 1 ,

et et — /Sy'— 1 de l’équation proposée.

37. Prenons pour second exemple l’équation . x 3 — 7X + 7 = o.

On aura encore ici m = 3, et par conséquent n = 3; ensuite A = o, B = — 7 , C = — 7 ; d’où A , = o , A,= 1 4 > A j = — ai, A 4 = 98 , As= — a45, A, = 833; et de là, a, = 4 a > «» = 88a, «, = 18669 , et enfin a = 43 , i=44'> c ~ 49* 3e sorte que l’équation en u sera

u J — 4au*+ 44 lu — 49 — °*

Puisque les signes de cette équation sont alternatifs , c’est une marque que la proposée peut avoir toutes ses racines réelles (n° 16) ; et comme d’ailleurs cette équation n’est point divisible par u, il s’ensuit que l’équation en x n’aura point de racines égales (n° i 5 ).

On fera maintenant (n° 1 1) u = i , et ordonnant l’équation par rapport a y, on aura

y'— sr*+ $ y — iV =

Le plu9 grand coefficient négatif étant 9, on pourrait prendre l— 10 (n° 1 3); mais on peut trouver une limite plus rapprochée en cherchant le plus petit nombre entier qui rendra positives ces trois quantités

p- çf+Si-

3 /* — 1 8/ -f- fi,

et on trouvera que 1 = 9 satisfait à ces conditions ; de sorte qu’on aura £=3 (n* 1 1), et par conséquent A = j.

On mettra donc (n° i 3 , a*.) dans l’équation proposée ^ à la place de x, ce qui la réduira à celle-ci:

dans laquelle il n’y aura plus qu'à substituer les nombres naturels o, 1, a, etc. à la place de x. Or, suivant la méthode du n° i 3 ( 3 °.), on trouve que la série des résultats 11e contient que deux variations de signes, lesquelles répondent à x = 4i 5 , 6 ; de sorte que l’équation proposée n’aura que deux racines positives, lesquelles tomberont, l’une entre les nombres f et f, et l’autre entre les nombres f et f ;

d’où l’on voit que la valeur entière la plus approchée de l’uDe et de l’autre sera i (n® a).

Faisons maintenant x négatif pour avoir aussi les racines négatives (n° 4), et Péqualion se changera en

laquelle ayant son dernier terme négatif, aura sûrement une racine positive (n* 3 ), et il est clair qu’elle n’en aura qu’une seule, puisque nous avons déjà trouvé les deux autres; ainsi on pourra d’abord trouver la valeur entière approchée de cette racine, en substituant à la place de x les nombres o , i , a , etc. jusqu’à ce que l’on rencontre deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires (n° 3 ) : or, on trouve que ces substitutions sont x = 3 et x = 4 , de sorte que 3 sera la valeur entière la plus approchée de x dans l’équation précédente, et par conséquent de — x dans la proposée.

Ayant ainsi trouvé que l’équation a trois racines réelles, deux positives et une négative, et ayant trouvé en même temps leurs valeurs entières approchées, on pourra approcher autant qu’on voudra de la vraie valeur de chacune d’elles par la méthode du chapitre III.

Considérons d’abord les racines positives, et faisons dans l’équation

x % — jx-f-j — o, x = t -f - elle deviendra celle-ci : y — 4 j' -h + i = o,

laquelle, à cause que i est la valeur approchée de deux racines, aura nécessairement (n* 19, a*.) deux racines plus grandes que l’unité.

J’essaie d’abord si je peux trouver les valeurs approchées de ces deux racines par la substitution des nombres entiers o, 1, a, etc., et comme il n’y a que le terme !\ y' de négatif, il suffira (n° i 3 , i°.) de pousser les substitutions jusqu’à ce que l’on ait y 4 = 011 > 4./* ; c’est-àdire jusqu’à ^'' = 4 : or > en faisant J=zo, l, a, 3 , 4 > j’ai le* résultats r, 1, — 1, 1, i 3 ; d’où je conclus que les racines cherchées sont, l’une entre les nombres 1 et a, et l’autre entre les nombres a et 3 ; de sorte que les valeurs approchées de y seront 1 et 2.

On fera donc, i*. y = 1 -f- et l’on aura s 3 — as’— -s-f- 1=0,

équation qui 11’aura plus qu’une racine réelle plus grande que l’unité (n® ig, a°.)j ainsi on supposera successivement 2 = 1, a, etc. jusqu’à

ce cfiie l’on trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signes contraires : or, on trouve que z = a donne — i, et 3 = 3 doune + 7; doue a sera la valeur entière approchée de z.

On fera donc 3=3+ ~ , et substituant, l’on aura, en changeant

les signes, a 3 — -3u* — 4“ — 1 = o.

On supposera de même u = 1, 2, etc., et l’on trouvera que la valeur entière approchée de u sera 4-

On fera «= 1 + — , et ainsi de suite.

a*. On fera ^ = 3 + *, et substituant dans l’équation précédente eu jr y ou aura, après avoir changé les signes,

z 3 + 2* — aa — 1 =0;

cette équation n’aura, comme la précédente en *, qu’une seule racine réelle plus grande que l’unité; de sorte qu’il n’y aura qu’à faire z=i, a, etc., ce qui donne les résultats — 1, 7; d’où l’on conclut que 1 est la valeur entière approchée de ».

On fera donc 3=1 + , et l’on aura , en changeant les signes , u 3 — 3u* — 4 U — * = o;

d’où l'on trouvera, de la meme manière que ci-dessus, que la valeur entière approchée de u sera 4»

Ainsi on fera u = 4 + ^ , et ainsi de suite.

Donc les deux racines positives de l’équation proposée seront

4 + etc..

, + î+e te

D’où l’on tirera, si l’on veut, des fractions convergentes, comme dans l’exemple précédent (n°* a3 et a4).

Pour trouver maintenant la valeur approchée de la racine négative,

DE LA RÉSOLUTION on reprendra l’équation x 3 — ’jx — 7 = 0, dans laquelle on a déjà trouvé que la-valeur entière approchée est 3 ; ainsi on fera x — 3 -j- - , ce qui donnera , en changeant les signes,

y — aor*— ar — ' = u;

et comme cette équation ne peut avoir qu’une seule racine réelle, plus grande que 1 (n* 19, a°.), on en trouvera la valeur approchée en faisant jrz si, a, etc. jusqu’à ce que l’on rencontre deux résultats consécutifs de signes contraires, ce qui arrivera lorsque y=z ao, ai ; de sorte que la valeur dont il s’agit sera ao.

On fera donc j'ssao-j"", etc.

De cette manière, la racine négative de l’équation proposée sera

ÎO -J-