ARTICLE II

Où üon donne des règles pour déterminer dons certains cas le nombre des racines imaginaires des équations.

3a. Soient a, b , c, d, etc. les racines réelles d’une équation quelconque, et a-\-$y / — i, et — @\/ — i, y-f J'y / — i, y — Syé — i, etc. les racines imaginaires ; les carrés des différences de ces racines seront

(a — b)*, {a — c)*, (« — d)‘, etc.,

(é — c)*, (b — d)‘, etc., (c — d)‘, etc.,

~ 4/3*, —4^, etc.;

(* a + PV 1 — i)‘, (» a — i)*,

(* d 4 - /V — i)‘, ( a d — &y/ — i)‘, etc.;

(> — a 4- JV — •)*> (y — a — SV — i)*,

(y-c + J 1 /- i)*, (y — c — SV — i)‘,

(y — d + JV— • l)*, (y — d — SV — »)*, etc. ;

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 3g

lesquels seront, par conséquent, les racines de l’équaLion des différcnces.

Soit m le degré de l’équation proposée, qui est égal au nombre des racines a, b, c, etc., a-)-/ Si/— t, a— /3i/— i , y + S'y/— , }

y — V — i , etc. , celui de l’équation des différences sera — ~ = n

(n° 8) : soit p le nombre des racines réelles a, b, c, etc., et iq celui

des racines imaginaires <x-f-/3v/ — i, a — /3i/ — l, y + fÿ i,

y — J'i / — l, etc. j en sorte que m=p + aq, il est facile de voir parla table précédente que , parmi les n racines de l’cquation des différences, il y en aura nécessairement p ^ p ~ de réelles et positives, q de réelles et négatives, et iq{p-\- q — i) d’imaginaires.

33. Qu’on fasse maintenant le produit de toutes ces racines, et il est visible que le produit des p - p ~ racines positives sera toujours positif, que celui des q racines négatives sera positif ou négatif, suivant que le nombre q sera pair ou impair, qu’cnün le produit des iq{p + q — i) racines imaginaires sera toujours positif; en effet, ces

dernières racines étant deux à deux de la forme (A-f-Bj/ i)*

{A — Bp- 1 — i)*, leurs produits • deux à deux seront de la forme (A*+B*)*, et par conséquent positifs : donc le produit de toutes ces racines ensemble sera toujours aussi positif.

Donc le produit total sera nécessairement positif ou négatif, suivant que q sera pair ou impair.

Mais le dernier terme d’une équation est, comme l’on sait, égal au produit de toutes ses racines avec le signe -f- ou —, suivant que le. nombre des racines est pair ou impair.

Donc le dernier terme de l’équation des différences, dont le degré est n, sera nécessairement positif, si n et q sont tous deux pairs ou tous deux impairs, et négatif si l’un de ces nombres est pair et l’autre impair.

34- Or, si n et q sont tous deux pairs ou impairs , n— q sera néces-

sairement pair, et si « et q sont, l’un pair, et l’autre impair, n — q sera nécessairement impair; mais à cause de n = — -, et de

m=p-\- 3 q , on a n — q = -f- iq'p-\-q — i), de sorte que

n — q sera toujours pair ou impair, suivant que pSE-^LÙ. ] e sera.

Donc le dernier terme de l’équation des différences sera nécessairement positif ou négatif, suivant que le nombre sera pair ou

impair, c’est-à-dire , suivant que le nombre des combinaisons des racines réelles de la proposée , prises deux à deux , sera pair ou impair.

35 . Supposons, i“. que ce dernier terme soit positif, il faudra, en ce cas, que P - soit pair; donc ou ^ = aA, et p = 4^> ou

p i = et p — 4^ -f- i ; d’où il suit que, dans ce cas, le

nombre des racines réelles de la proposée sera nécessairement multiple de 4, si ce nombre est pair, c’est-à-dire si le degré de l’équation est pair, ou multiple de 4 plus i si le degré de l’équation est impair. Ainsi il sera impossible que l’équation ait 3 , ou 3 , ou 6 , ou 7, etc. racines réelles.

a°. Supposons que le dernier terme de l’équation des différences soit négatif, il faudra alors que — - soit impair, donc ou ^ = 2/\ -J- i.

et p = 4* ■+■ 3 > ou ( ' P 2 = aA -f- i, et ^ = 4^ 3 ; d’où il suit

que, dans ce cas, le nombre des racines réelles de la proposée sera nécessairement multiple de 4 pl us 3 »i 1® degré de l’équation est pair, où multiple de 4 plu* 3 si ce degré est impair. De sorte qu’il sera impossible que l’équation ait en ce cas i, ou 4 > ou 5 , ou. 8, ou 9, etc. racines réelles.

36 . Ainsi, par l’inspection seule des signes de l’équation des différences, on sera en état de juger, i°. si toutes les racines de l’équation proposée sont réelles ou non ; 2°. si le nombre des racines réelles est un de ceux-ci : i, 4 i 5 , 8, 9, 13, i 3 , etc., ou bien s’il est un de ceux-ci : 3, 3 , 6, 7, 10, 11, etc., ce qui suffira pour déterminer

le nombre des racines réelles et des imaginaires dans les équations qui ne passent pas le cinquième degré , et dans toutes les équations où l’on saura d’avance que les racines imaginaires ne sauraient être plus de quatre.

Peut-être qu’en poussant plus loin cette théorie, on pourrait trouver des règles sûres pour déterminer le nombre des racines réelles dans les équations de degrés quelconques , les méthodes que l’on a proposées jusqu’à présent pour cet objet étant ou insuffisantes, comme celles de Newton, Maclaurin, etc., ou impraticables, comme celles de Stirling et de De Gua , qui supposent la résolution des équations des degrés inférieurs.