ANALYSE DU TRAITÉ DE LA RESOLUTION

Tels 'Sont les points les plus importans approfondis dans l'ouvrage dont nous allons rendre compte. O simple sommaire suffirait sans doute au* géomètres , qui ne manquent pas de lire les écrits de l’auteur , et qui '/ connaissent très bien l'élégance et la simplicité qui régnent dans, toutes scs méthodes : mais comme 11 peut être utile à plusieurs jeunes lecteurs d’avoir une idée nette de la science , de savoir ce qu’ils doivent apprendre dans celte partie de l’Analyse , et où ils le doivent étudier , nous croyons devoir donner quelques détails sur les principales questions qu’on se propose ici , sur les solutions qu’on en donne , et développer la suite des théorèmes avec une certaine étendue.

D’abord si l’on jette un coup d'œil général sur l’Algèbre, on voit que celte «cicnce, abstraction faite des opérations ordinaires (au nombre desquelles on peut compter l'élimination) , se partage naturellement en trois articles principaux. t°. La théorie générale des équations, c'est-à-dire l'ensemble des propriétés qui leur sont communes à toutes, a*. Leur résolution générale, qui consiste à trouver une expression composée des coefficiens de la proposée , ot qui , mise au lieu de l’inconnue , satisfasse identiquement à cette équation , en sorte que tout s’y détruise par la seule opposition des signes. 3°. La résolution des équations numériques , où il s’agit de trouver des valeurs particulières qui satisfassent d’une manière aussi approchée qu’ou le voudra , à uue équation dont tous les cocfficicns sont actuellement connus et donnés en nombres.

Celle dernière recherche est sans contredit \/l plus utile dans l'application : car, outre que la résolution générale ne s’étend pas au-delà du 4' degré , les formules en sont déjà si compliquées , ct le seraient tellement pour les dpgrés supérieurs , si l’on venait à les découvrir , qu’ou ne pourrait jamais s’eu servir pour le calcul des racines. Aiusi il faudrait encore recourir aux méthodes d'approximation qui font l'objet principal de ce Traité. Or, les principes de ces méthodes étant puisés dans les propriétés générales des équalious, nous allons d’abord examiner ce que l'on sait de plus général sur leur théorie.

Le premier principe, conuu depuis long-temps, est que si, dans une équation quelconque, deux nombres mis successivement au lieu de l’inconuuc donnent des résultats de signes contraires, il y a nécessairement au moins un nombre intermédiaire qui donnerait nu résultat nul, ou serait racine de la proposée. Ou avait coutume de démontrer ce théorème par la considération des lignes courbes ; mais M. Lagrange en donne, dans la Note I, une démonslraliou nette et rigoureuse, fondée sur la nature même du polynôme algébrique dout l’égalité à j,éro forme l’équation proposée.

DES ÉQUATIONS NCMÉRIQUES. vij

Le second principe est, que si un nombre réduit le polynôme à zéro, ou bien est racine de la proposée , le polynôme est exactement divisible par le binôme formé de l’inconnue moins cette racine. D' Alembert est le premier qui ait démontré ce principe d'une manière rigoureuse : on en trouve dans la Note II une démonstration aussi exacte et plus complète , en ce qu'on y voit , non-seulement que la division doit réussir , mats qu’elle réussit encore actuellement.

Il est bien facile de voir ensuite celle partie réciproque du premier théorème : que s’il y a une racine entre deux nombres, et qu'il n'y en ait qu’une seule , ces deux nombres mis au lieu de l’inconnue donneront des résultats de signes contraires ; d’où il suit que la même chose aura lie» pour un nombre quelcouque impair de racines comprises , et n’aura lien que dans ce cas.

Tels sont les principes fondamentaux de toute la théorie des équations : on en déduit sur-le-champ qu’elles peuvent anmir autant de raçincs qu’il y a d'unités dans le plus haut exposant de l'inconnue , et n’en peuvent jamais avoir davantage. Que les équations de degrés impairs ont essentiellement au moins une racine réelle ; d’où il snit que dans une équation quelconque, les racines qui manquent sont nécessairement en nombre pair. Quant k ces sortes de racines , que l’on nomme imaginaires , il parut d’abord , par la résolution connue des quatre premiers degrés , que leur forme était la même que celle des imaginaires du second degré. D'Alombrrt essaya de démontrer généralement ce théorème, dans sa pièce sur la cause des vents, cr dans les Mémoires de Berlin pour l’année iy/jü’ M. Lagrange, qui rapporte celte démonstration , nu commencement de la Note IX , sur la forme des racines imaginaires, la rend plus rigoureuse et plus simple ; mais il faut convenir qu'excepté l’endroit oh l’on prouve que, dans le passage du réel à l’imaginaire, on réciproquement, la racine devient double, on quadruple, ou multiple d’nn ordre pair, le reste de la démonstration n’est point à l’abri d objections très solides. Aussi M. Ixigrange revient-il au théorème d’une manière plus directe , en considérant qu’il s'agit de prouver en général qne tout poiynome de degré pair, est résoluble en facteurs réels du second degré ; et , comme il n'y a que les équations de degrés impairs oh l’on puisse toujours assurer l'existence d'une racine réelle , on bien encore celles de degrés pairs , mais dont le dernier terme est essentiellement négatif, tout se réduit à prouver que , dans la recherche des coefficiens d’un facteur de degré pair pour le poiynome proposé, ou tombera finalement sur de telles équations. L’auteur, en rapprochant les travaux successifs des divers géomètres sur celle matière, et particulièrement les recherches d 'Euler, de Foncencx , et celles que Ini-tnèmc ajouta dans Us

Tiij ANALYSE du traité de la résolution

Mémoires de Berlin de 177a. fait voir que le théorème général se trouât par- là démontré d’une manière rigoureuse; mais à 1 a fin de la mime Note IX , il en rapporte une autre démonstration très élégante et déduite des mêmes principes , que M. Laplace a fait connaître depuis , dans les Leçons de l’École Normale. Cependant, si l’on voulait résoudre effectivement le polynôme en ses facteurs réels, comme il serait presque impossible de suivre le procédé indiqué par l'analyse qu'on y emploie, M. Lagrange croit devoir reprendre en entier ce problème général dans la Note X , où il fait voir à priori, non-seulement la possibilité de la décomposition de tout polynôme en facteurs réels du t" et du a* degré, mais encore le procédé qu’il faudrait suivre si l’on voulait actuellement efléctuer cette décomposition , ce qui ne laisse plus rien à désirer sur ce point important de la théorie générale des équations.

La nature des racines étant par-là bien connue , on peut se proposer maintenant ce problème général de leur résolution numérique.

a Étant donnée une équation numériqne , sans aucune notion préalable a de la grandeur ni de l’espèce de ses racines, trouver la valeur exacte, » s’il est possible, ou aussi approchée qu’on voudra de chacune de ces » racines. » -,

D'abord , s'il y a des racines égales , il sera facile de les reconnaître et de les dégager de l’équation , comme on le voit dans le Chapitre II du Traité. S’il y a des racines imaginaires , la recherche des parties imaginaires se réduira à celle des racines réelles d’une autre équation que l’on peut actuellement construire, et les parties réelles de ces mêmes racines s’obtiendront sur-le-champ par la simple opération du commun diviseur , comme l’auteur le fait voir dans le même chapitre. Reste donc à savoir comment on obtient les racines réelles d’une équation quelconque. Mais , pour plus de clarté , cette recherche se divise encore; car parmi les racines, les unes seront positives, les autres négatives. Or, si l’on sait trouver les positives , la même méthode appliquée à la transformée que donne l’équation , en y changeant le signe de l'inconnue, fera connaître les racines positives de cette transformée, et par conséquent les négatives de la proposée.

Tout se réduit donc enfin à savoir trouver les racines réelles et positives d’une équation numérique quelconque donnée. Or , le premier problème sera d’en reconnaître le nombre et les limites entières les plus approchées.

Si ces racines différaient entre elles au moins d’une unité, de sorte que, entre deux nombres entiers consécutifs , il n'en pût tomber qu’une Seule, on serait sûr qu'en mettant, au lieu de l’inconnue, la suite naturelle des

DES EQUATIONS NUMÉRIQUES.

nombres , les résultats successifs présenteraient autant du variations de signe qu’il y aurait de racines dans la proposée. Mais si , entre les deux Dombres consécutifs , il se trouve deux, ou un nombre quelconque pair de racines, les résultats donnés par ces nombres seront de signes semblables, et ces racines ne seront point aperçues. S'il s’en trouvait un nombre impair, les deux résultats seraient à la vérité de signes différons , et indiqueraient l’existence de racines comprises, mais ne feraient point connaître leur nombre, puisqu'il pourrait y en avoir une , ou trois, ou un nombre quelconque impair. Donc, pour reconnaître à coup sùr le nombre des racines, il faudra faire une suite de substitutions dont les intervalles soient moindres que le plus petit intervalle des racines entre clics. Alors on verra paraître dans Ja suite des résultats, juste autant de variations de signes qu'il y aura de racines dans la proposée. C’est pourquoi M. Lagrange cherche d'abord dans le problème du n° 8 , Chapitre I, une équation dont les racines soient les différences entre celles de la proposée prises deux à deux. Il apprend à trouver une quantité qui soit moindre que la plus petite racine de cette équation , et par conséquent , que le moindre intervalle des racines de l'équation numérique à résoudre. Il est le premier qui ait fait ce grand usage de l’équation aux différences, soit pour séparer exactement les racines , soit pour obleuir les imaginaires , et reconnaître leur présence dans les équations. 11 donne, au reste, dans la Note IV, une manière plus simple de trouver cette limite de la plus petite différence , sans calculer en entier l’équation ; et cette méthode peut abréger considérablement le travail dans la résolution des équations un peu élevées.

Cette recherche des limites des racines doit être regardée comme la plus importante de toutes dans là résolution des équations. C’est une chose qui ne paraît pas avoir été sentie par la plupart des auteurs : quelques-uns , même dans des ouvrages nouveaux, croient encore donner une méthode sûre , en indiquant le procédé de la substitution successive des nombres entiers; ce qui est, pour ainsi dire, passer à côté de la seule difficulté réelle du problème; car, une fois qu’on a les limites, il est bien aisé de les resserrer , et d'approcher autant qu’on veut de la racine comprise. Au reste , on a encore sur celte détermination des limites des racines, et sur les caractères de leur réalité, plusieurs méthodes très élégantes que la considération des maxima, dans les lignes paraboliques, a fait découvrir à plusieurs géomètres. On les trouve réunies dans la Note VIII , avec la fameuse règle de Descartes, mais toutes déduites, suivant la marche uniforme de l’auteur , des premiers principes de l'analyse des équalious.

Lorsque le nombre et les premières limites des racines sont déterminés, il s’agit de voir comment on en approche d’aussi près qu’on peut le