ANALYSE DD TRAITE DE LA RÉSOLUTION

désirer. L'auteur applique à la solution de ce problème celle ingénieuse théorie des fractions continues , qu'il a perfectionnée et rendue si féconde dans toute l'Analyse. La racine dont on s’occupe étant imaginée développée en fraction continue , il fait voir comment , par la répétition de la même méthode appliquée h des transformées successives, on peut trouver exactement les dénominateurs successifs de la fraction, et par conséquent la valeur aussi approchée qu'on voudra de la racine inconnue. Les opérations à faire sur ces transformées deviennent très simples; car, si l’on a en soin de changer d’abord la proposée en une autre où les racines soient distantes au moins de l’unité, ce qui est facile, alors chaque transformée n’a jamais qu'une seule racine supérieure è l'unité, et il est bien aisé de trouver les deux nombres entiers qui la renferment. On a donc, par la nature même des fractions continues , l'expression la plus simple et la plus exacte possible de chaque racine, et, à chaque instant, les limites de l’erreur que l'on pourrons commettre. Si la racine est commcnsurable , la fraction continue s'arrête ; si elle est incommensurable du a* degré , la fraction devient périodique, et là méthode de l'auteur a encore cet avantage de faire connaître les diviseurs commensurables du t" r et du a' degrés que la proposée pourrait contenir.

Aiusi l’on a, dans l’analyse des équations , ce beau résultat entièrement dù à M. Lagrange : si une inconnue est engagée dans une équation numérique de degré quelconque , on peut regarder actuellement sa valeur comme déterminée d’une manière parfaite; et l’on est en étal d'assigner les termes successifs de la fraction continue qui la représenterait, avec autant de rigueur que s’il s'agissait d’une fraction ordinaire que l’on voudrait actuellement développer.

Ni cette rigueur, ni celte généralité n’ont lieu dans aucune des méthodes données pour la solution du même problème. Outre qu’elles supposent la connaissance des limites des racines , qui ne s’obtiennent rigoureusement que par la première analyse de l'auteur , elles ne donnent point à chaque correction les limites de l’erreur , et laissent en doute sur les chiffres que l'on doit conserver. En suivant la méthode de Newton , si élégante d’ailleurs , cl si commode dans l’usage , non-seulement on ne reconnaîtrait point les racines commensurables, et les limites de l'erreur actuelle; mais on pourrait trouver des valeurs successives corrigées qui , au lieu de converger continuellement vers la racine , s'en éloigneraient , au contraire , de plus en plus. M. Lagrange, qui examine et apprécie cette méthode dans la Note Y, fait voir que l’usage n'en est sûr que dans le cas où la racine cherchée est la plus grande ou la plus petite de toutes,' et s’il y a des racines imaginaires, il faut encore que les parties réelles soient moindres

DES EQUATIONS NUMÉRIQUES. *j

que la plus grande racine réelle, ou plus grandes que la plus petite de ces racines. C'est ce qu’on pourrait voir d'ailleurs par la construction géométrique delà règle de Newton. Car les corrections successives de la racine reviennent à ajouter continuellement à l'abscisse qui représente la valeur approchée, la sous-tangente qui répond à cette abscisse; et il est visible que l'extrémité de cette sous-tangcntc peut, dans plusieurs cas , tomber plus loin de l’intersection cherchée de la courbe avec l’axe , que ne le fait l’abscisse elle-même. On éviterait cet inconvénient en tirant la corde de l’arc dont les extrémités répondent aux deux abscisses qui sont les limites de la racine ; car cette corde traversant l’axe dans l'intervalle des limites , donnerait un point nécessairement plus voisin de l'intersection de la courbe, et l'on serait sûr d'approcher.

La méthode d’approximation que Daniel Bernoulli a tirée des séries récurrentes , est sujette aux mêmes défauts. Elle ne s'applique qu'à la recherche de la plus petite ou de la plus grande racine ; et lorsqu'il y a des racines imaginaires, il faut aussi que la racine soit dans de certaines limites par rapport aux produits réels des racines imaginaires conjuguées. On pourrait également l’appliquer , par une transformation de la proposée , à la recherche de l'une quelconque des racines réelles. Mais il faudrait connaître d'avance une valeur qui fût approchée de cette racine au moins jusqu'à un certain poiui déterminé. Or ces premières limites ne peuvent s'obtenir, comme on Ta dit , que par les méthodes données dans cet écrit; et ces valeurs une fois connues, il est bien plus exact d’employer la méthode des fractions continues pour approcher rapidement de la vraie valeur des racines. Au reste, celte méthode , déduite de la considération des séries récurrentes , revient à celle de Newton , comme on le voit dans la Note XI. M. Lagrange y réduit en formule générale le résultat des substitutions successives indiquées par cette règle. Il déduit facilement de son élégante analyse, le rapprochement des méthodes précédentes, et la formule d 'Euler ponr le développement en série de la racine d'une équation quelconque, et celle de Newton pour le retour des suites , avec la loi des termes et le moyen| de continuer la série aussi loin qu'on peut le désirer ; enfin la démonstration de cette formule qu'il a donnée le premier, en 1768, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin, et qui est aussi remarquable par son élégance que par sa généralité. Cette Note , qui est un des plus beaux morceaux d'analyse , est terminée par l’extension de la règle de Newton à la résolution simultanée de plusieurs équations où Ton connaît déjà les valeurs approchées des diverses inconnues. Thomas Simpson avait indiqué ce procédé ; mais l’auteur développe les incounues en séries générales dont il montre la loi, ce que Simpson n'avait point fait.

xi) ANALYSE DU TRAITE DE LA RÉSOLUTION

Quant à la méthode de Fontaine, sur laquelle <f Alembert et Condorcet t'étaient contentés de jeter quelques doutes , on la troure très nettement discutée dans la Note VU. M. Lagrange y prouve d’abord l'équivoque des caractères établis par l'auteur pour reconnaître , au moyen des roefliciens de l'équation , le système particulier de racines qui lui doit correspondre. Ces caractères conviennent quelquefois à plusieurs systèmes, et par conquent ne distinguent pas toujours, de tous les autres, le système unique dont il s’agit; de sorte qu’on ne peut assurer par-là , ni le nombre , ni la qualité des différentes racines. Mais la méthode est encore en défaut dans la seconde partie de la recherche : on y suppose que, par la substitution des nombres entiers au lieu de l'inconnue , les équations que l’on considère présenteront des résultats de signes contraires ; et cela n’a lieu , comme on sait , que pour celles où le plus petit intervalle des racines serait supérieur à l'unité. Aussi M. Lagrange n'cxamiuc-l-il cette méthode, dont on ne fait point usage , mais dont l’idée est très fine, que pour ne rien laisser à désirer sur la matière des équations. Comme il n’y a , dans toute l'Analyse , aucun point remarquable où ce géomètre n’ait porté son esprit , et qu’il n’ait, pour ainsi dire, regardé de très près, on est sùr de trouver dans scs ouvrages , en même temps que ses propres découvertes , tout cc qui a été pensé de plus profond on de plus ingénieux par ses prédécesseurs; et, ce qui est bien digne de remarque, tout y parait suivre uniformément des mêmes principes, comme si l’auteur en développait les plus simples corollaires.

Mais on a un exemple plus frappant de ce talent de simplifier et d'étendre à la fois les doctrines , dans le problème si fameux de la résolution générale des équations. Tout consiste, comme on l'a dit, à trouver une formule composée des coeffieiens littéraux de la proposée et qui la rende satisfaite d’une manière tout-à-fait identique. La première idée qui s’offrit aux géomètres, fut de chercher immédiatement quelque artifice par leqnel on pût mettre l'inconnue toute seule dans un membre de l'équation, et tous les coefficient donnés dans l’autre. On imagina ensuite de chercher des transformations de l’inconnue qui rendissent l’équation semblable à une autre que l’on pût résoudre ou décomposer. C’est à ces premières vues très naturelles, mais point encore éclairées par la théorie profonde des équations, qu’on doit rapporter les solutions de Cardan et de Tarlalea, pour le 3* et le 4' degrés ; la méthode de Descartes pour décomposer l’équation du 4', en deux autres du second; celle de Tschimaüt, pour réduire la proposée aux deux termes extrêmes par l’évanouissement des termes intermédiaires ; celle d'Euler, qui consiste à feindre d’avance la forme de l’expression générale de la racine, et à chercher ensuite ce qu’il faut mettre sous les radicaux qu’on y suppose; enfin celle de

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. xuj

Betoul , fondée sur un principe semblable , mais où l’on commence à observe» les degrés des Réduites , et à indiquer la loi de leur élévation successive.

Toutes ces méthodes dépendent de l'exécution actuelle d’un calcul , et l’on n’y voit point qu'on doive arriver, 4 moins qu’on n’arrive effectivement : or par la nature du problème , la longueur des calculs croit avec une telle rapidité , que la question ne peut plus être aujourd’hui de chercher 1s formule, mais simplement.de prédire la suite des opération» qui y conduirait à coup s tir. Aucune de ces méthodes ne peut donc satisfaire l’esprit, et c'est à des idées plus hautes sur la nature des équations qu'il faut s'élever à présent pour découvrir s’il y a ou non nne rouir certaine qui ferait parvenir à leur résolution générale. 4 , /

y andennonde attaqua le problème avec beaucoup de justesse et de profondeur, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l'année 1771- Il considère que ai la formule était trouvée, et qu’on mit, un lieu de» coefbciens, leurs valeurs en fonction des racines, cette formule qui doit donner également. chacune d’elles, devrait pouvoir présenter indiHèremment ou la première, ou la seconde, ou l'une quelconque de ces racines , à volonté. D’après cette idée, prenant plusieurs lettres qui représentent les racines, il cherche à en coraposergéne e x pres sion qui, parl’équivoque des signes, se réduise indifféremment à l’une ou à l’autre, comme on voudra. Les formules connues lui donnèrent sur-le-champ ces expressions pour les quatre premiers degrés , et poannalogie, il est facile d’en trouver pour les degrés supérieurs. Mais la difficulté reste d’exprimer ensuite ces fonctions des racines, par les simples coefficiens de la proposée, on de les faire dépendre d’autres équations dont la résolution soit connue, li donne là-dessus des formes abrégées de calcul , qu’il nomme Types , et au moyen desquels il peut voir plus rapidement quelle aem l’issao de ces longues opérations. Sa méthode, comme toutes les * autres, réussit très bien pour les équations des quatre premiers degrés; mais pour le cinquième , il se trouve conduit et arrêté à une équation du sixième degré qu’il faudrait résoudre. " Quant à l’équation générale de ce dernier degré, il trouve qu’on arrivera à une réduite finale ou du quinzième, ou da dixième, suivant 1a route qu'on voudra choisir : car pour les degrés composés , on peut former avec les racines plusieurs expressions équivoque», qui aient également la propriété d’otfrir indiiléraaamcnt chacune d’elles; et il y a un choix à faire pour la moindre élévation du degré de la réduite. C'est une remarque que les formules du 4* degré auront naturellement présentée à V and#! monde. Par certaines méthodes, ou n’y trouve point de radicaux pairs plus élevé* que le radical carré ; par d’autres , on y trouve des radicaux quatrièmes. Toutefois les formules doivent être identiques et le sont en ellët , parce que ces radicaux pairs sont réductibles entre eux. Je me suis

»iv AN ALYSE DU TRAITÉ DE LA RÉSOLUTION

un peu arrêté sur ce Mémoire, parce qu'il est plein de choses. L'auteur parait ne point douter du succès de sa méthode pour la résolution des équations binômes. Sans indiquer la suite des opérations qu'il a dû faire , il donne la formule qui résout l'équation binôme du 11* degré, et il se trouve que ce résultat , à peu près ignoré jusqu'ici , est exact à un changement de signe près , comme M. Lagrange vient de le vérifier dans la note XJV de cet ouvrage, où il donne la résolution générale de toute cette classe d'équations. Ainsi V andermonde est , suivant M. Lagrange luimême , le premier qui ait franchi les limites où la résolution des équations binômes se trouvait resserrée.

A peu près dans le même temps, M. Lagrange parcourant les principales méthodes trouvées jusque-là sur la résolution générale des équations , les rappelait à un même principe, et formait cette théorie lumineuse où l'on voit sans calcul les degrés où doivent monter les réduites, et la raison de leur abaissement au-dessous de la proposée dans les quatre premiers degrés. Voici 1 idée générale de ce beau travail que l'auteur a donné, dans les Mémoires de Berlin, pour 1770 et 177*, et dont le précis fait l’objet de la Note XIII de cet ouvrage.

Quelles que soient ces équations d'où l’on ferait dépendre Ja résolution de la proposée, et qu’on nomme ainsi les réduites, leurs coefficieus seront fonctions des coefficiens de cette proposée, et par conséquent leurs racines, fonctions de ses racines. Toute réduite s’élèvera donc toujours à un degré«xnar, qué par le nombre de valeurs que peut avoir la fonction des racines que l’on y considère. Or, cette fonction en géuéral aura autant de valeurs qu’on y pourra faire de permutatiéns entre les racines qui y soûl contenues. Si donc elle en a moins, cela ne pourra provenir que de la nature particulière de la fonction qui sera telle, que plusieurs permutations entre les racines n'y apporteront aucun changement. D’après ces principes , il est bien facile à l’auteur de rapprocher toutes les méthodes des géomètres. Car, en mettant sous leurs formules, à la place des coefficiens. leurs valeurs parles racines, il découvre les fonctions particulières qu’ils cherchaient, pour ainsi dire, à leur insu; et ii arrive que toutes ces fonctions reviennent à la même , malgré l’apparunte diversité du leurs calculs et de leurs méthodes. Il voit en même temps pourquoi leurs réduites, dan* les quatre premiers degrés , s’abaissent audessous de l’équation et la résolvent ; et , se trouvant à même de prévoir le succès de calculs impraticables pour le cinquième degré, il montre que la réduite, qui est naturellement du tao* degré, descendra d’abord nu »4*i t l UK ccllc équation nouvelle se partagent en six autres du 4* degré, dont les coefficiens dépendront ainsi d’une équation finale ilu 6* degré , qu’il s’agirait d abaisser encore , mais qui a résisté jusqu’ici

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES '< xv

à tous les efforts des géomitres. D trouve de ftiême l'abaissement des réduites au i 5 * ou au 10* degré, pour la résolution générale du fi* : on voit l'accord de ces résultats avec ceux que Vandermonde obtenait dans le même temps par le moyen de ses formes ou types de calcul qu’il avait imaginés. Mais la' théorie de M. Lagrange est bien plus claire, et l’on y prévoit avéc Une égale facilité les résultats qu’on peut espérer ponr la résolution de tons les degrés supérieurs. De plus, l’auteur en tire une méthojlg simple et uniforme pour résoudre les équations. Car il est clair actuellement que le problème peut revenir à celui-ci : trouver des fonctions des racines qui soient telles d’abord qu’on en puisse aisément dégager ces racines, et en second lieu, qui ne dépendent que d'équations inférieures à la proposée , donL les cocfficteai soient connus , on dépendent eux-mêmes d’équations aussi inférieures à cette proposée. M. Lagrange choisit une fooclion linéaire de* racines: l’équation qui la donnerait, et qu'on peut actuellement construire , s’élèverait au degré marqué par le nombre dea permutations qu’on pourrait faire entre toutes ces racines, et, passé le 9 * degré, serait toujours plus haute que la proposée. Mais si l’on a soin de prendre , pour tes eoefliciens de cette fonction linéaire, les racines de l'unité du même degré que l’équation , ce que chutes les méthodes indiquent , la réduite s'abaissera, comme on peut' le voir à priori, par la forme même de la fonction.

Pour en donner une idée, qu'il a’agisse, par exemple, de résoudre l’équation générale du 5 * degré. L'équation résolvante qui donnera la fonction linéaire doses cinq racines, s'élèvera au degré i. a. 3 . 4 . 5 ou 190, nombre de manières dont on peut permuter cinq choses entre elles. Mais si les coefficient de cette fonction sont les radines cinquièmes de l’unité, on observera que cette fonction multipliée successivement par ces 5 racines , fournira 5 fonctions pareilles où les racines de la proposée auront changé de pince. Cette multiplication équivaudrait donc A 5 permutations qu’on ferait entre les racines. Donc, si la fonction simple a 190 valeurs différentes , sa cinquième puissance n’en aura que la 5 * partie ou 94. On cherchera donc la cinquième puissance de la fonction linéaire. Mais ces a 4 valeurs se partageront encore en six groupes. Car , par la nature des racines imaginaires de l’unité , une seule , avec scs puissances successives, donne toutes les autres; une autre , avec ses paissances successives, les donne encore , mais rangées dans un ordre nouveau. Or , comme il y a ici quatre de ces racines, la même fonction où l’on emploierait successivement et do la même manière ces quatre racines, répondrait successivement A quatre de scs valeurs . comme si l’on y eût permuté quatre fois le» racines de la proposée. Touip expression semblable de ces quatre

>rj ANALYSE DP' TRAITÉ DE LA RÉSOLUTION

fonctions, telles que leur somme , la spmtnc de leurs produits deux à deux, on trois A trois, etc., n'aura donc que le quart de toutes les valeurs, ou simplement six valeurs différentes- L a fonction pourra donc être regardée routine la racine d'une équation dn 4* degré dont les çocfficicns seront donnés par une équation dn 6 e qui sera entièrement connue. On ferait voir par les mêmes raisonnemens que la résolvante du y* degré et qui montera au degré t. a. 3, 4 .5. 6. y s'abaissera au degré 2 . 3-4.5; et ainsi de suite : de sorte que la méthode , pour les degrés qui sont des nombres premiers, ne fait disparaître que les difficultés marquées par les deux derniers facteurs dans la formule qui exprime le nombre de toutes les permutations possibles ; et cette réduction ne suffit pas pour les degrés supérieurs an 3*.

L’auteur applique également sa méthode aux équations de degrés composés ; et par la nature même de la chose, il y a pour ces degrés des simplifications particulières dans la marche et le résultat du calcul. Les réduites s'y abaissent davantage; mais, au-delà du 4° degré, elles restent toujours supérieures à la proposée; et l'on n’a pu y voir jusqu’ici aucune réduction ultérieure.

Voilà lotit ce qu’on sait sur la résolution générale des équations où les racines sont supposées dans une parfaite indépendance. On ignore entièrement si cette résolution est possible, et s’il ne pourrait pas y avoir des formes do fonction! où 1 on épuiserait plus de permutations que dans celles do«fenous venons de parler.

Mais, lorsque les racines sont liées par quelque relation connue, la difficulté descend toujours à celle de» degrés inférieurs. Si une partie Ass racines est traitée d’une certaine manière, 011 pourra sur-le-champ dégager le polynôme qui les renferme ; et s'il y a plusieurs groupes où les racines contenues soient semblablement traitées , on obtiendra un quelconque de ces groupes par une équation d’up tjegré marqué par leur nombre. Quand 011 sait, par exemple, que les racines d'une équation se conjuguent deux à deux, de manière que leur produit fait l'unité, celte équation , qu’on nomme réciproque , se "partage aisément en deux autres de degré deux fois moindres ; et de même, si les racines se conjuguaient trois à trois par quelque relation commune , 1 équation se partagerait entrois autres; et, en général, la difficulté dune équation où les racines s'assemblent en groupes semblables se réduit aux difficultés des degrés respectifs marqués par le nombre des groupes, et par le nombre de racines contenues dans chacun d eux.

C'est ce qui arrive naturellement aux équations binômes d'un degré composé. Si vous considérez , par exemple, l’équation binôme du i5*

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. zvij

degré, elle a i5 racines; mais, parmi ces racines, il y en a (rois dont les cubes sont égaux, trois autres dont les cubes sont égaux, etc.; donc si, au lien de chercher les racines simples, vous ne cherche! d'abord que les cubes , vous «'aurez plus que cinq valeurs. Et de même , si l'on n'eùl cherché que les cinquièmes puissances, on n'aurait eu que trois valeurs diOércntcs; d’où il parait manifeste qu'une équation binôme d'un degré composé se réduit à la résolution d’équations semblables de degrés marqués par les facteurs du degré de la proposée.

11 ne reste donc qu’à résoudre l'équation binôme d'nn degré premier. Or, en ôtant par la division le facteur linéaire qui répond à la racine réelle , on obtient une équation réciproque ale degré pair, laquelle su dédouble comme on l’a dit , et n'a plus que la difficulté d'un degré deux fois moindre.

On n'avait pas été plus loin dans la réduction des équations binômes , lorsque M . Gauss démontra que cette équation réciproque pouvait se résoudre à l'aide d'autant d'équations particulières qu'il y a de facteurs dans son degré, et dont les degrés sont exprimés par ces mime* facteurs. Ainsi l'équation binôme du i3* degré donne, en séparant le facteur réel, une équation réciproque du ta* degré qui ne demande (dus que la résolution de trois équations des degrés respectifs a, a et 3 qui sont les facteurs premiers de ia. L'équation binôme du Mg* degré n'exige de même que la résolution de trois équations des degrés 3,3,3; et ainsi de suite. Sans entrer ici dans le détail des propriétés de nombres qui ont condnit M. Gauss h cette réduction nouvelle, nous ferons observer quelle lient essentiellement à ce que les racines se conjuguent non-seulement deux à deux , comme on le savait depuis long-temps , mais se groupent encore 3 à 3, 5 à 5, etc.; si 3 et 5, etc., sont encore facteurs du nombre de ces racines. C’est ce qu'on pourra reconnaître sur des exemples, avec un peu d’attention. Ainsi, l’on verra sans peine que les douze racines imaginaires de l'équation binôme du i3* degré se partagent en quatre groupes de trois racines, telles, dans chacun d'eux, qu'en mettant l'une à la place de l’autre , ces trois racines no se séparent pas; et par conséquent , si l'on échange les racines d'un groupe à l'autre, les groupes ne feront que changer de place en conservant toujours leurs mêmes raciues. Ensuite on verni que , parmi ces quatre groupes , il y en a deux qui sont tels que , tout échange qui fait passer l’un à la place de l'autre, ramène çehii-ci à la place du premier; ainsi, les deux autres groupes sont dans le même cas. Si donc vous demandez à l'équation du ta* degré, le diviseur du 3* qui rassemblerait les trois racines d'un groupe, vous aurez les coefficient de ce diviseur par une

ANALYSE Dü TRAITÉ DE LA RÉSOLUTION

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«jualion du 4* degré; et si vous cherchez à celle-ci le diviseur du second qui n ses racines correspondantes aux deux groupes conjugués , vous aurez ses cocfficicns par une équation du a* degré; de sorte que la proposée sera résolue par des équations auxiliaires du a' et du 3* degré; et ainsi des autres. Quant à ces équations auxiliaires, elles n'ont elles-mêmes que la difficulté dos équations binômes du même degré. Ou peut voir là-dessus les disquisitiones arithmeticce , aux endroits cités par M. Lagrange, dans la Note XIV de ce Traité.

Mais, par l’analyse qu’il vient de nous donner dans cette Note nouvelle, on voit, avec la dernière évidence, la réduction immédiate de l'équatiun réciproque proposée à une équation binôme du même degré qui est déjà censée résolue ; de sorte que sa méthode rend superflue cette considération des équations auxiliaires, et fait disparaître les ambiguités que l’on rencontre dans le procédé de M. Gauss, pour distinguer à chaque instant la racine particulière qu’on a dessein de dégager dans toute la suite du calcul.

Pour mieux expliquer cette Analyse, qui n’est autre chose qu'une application particulière de la méthode générale exposée dans la Note précédente, je prendrai l’exemple de l'équation binôme du onzième degré : le discours en sera plus facile, et le raisonnement ne perdra rien de sa généralité.

En séparant donc la racine réelle, on a une équation réciproque du 10 * degré qu’il s’agit de résoudre. Or, on sait d'abord que les racines de cette équation ont cette singulière propriété , qu’une seule d’entre elles élevée successivement aux puissances 1, a, 3, 4> 5, etc., donne toutes les autres (’); et si l’on continuait d'élever à des puissances plus hautes, on les verrait reparaître périodiquement dans le même ordre , à l’infini , en trouvant l’unilé à chaque puissance qui serait un multiple de onze. Cette propriété uous permet donc d’écrire tontes nos racines avec une seule lettre affectée de différons exposant,. Mais, au lieu de ranger ces exposans en progression arithmétique, M. Gauss , d'après le théorème de Fermât sur les résidus des puissances, eut l’heureuse idée de les ranger en progression géométrique, en prenant pour base un de ces nombres , qu 'Euler nomme racines primitives , et qui sont tels que leurs puissances successives, divisées par le nombre premier dont il s’agit, qui

(*) IVaring attribue ce üiéortme à M La/[range ; ce qu’il j s de rcmarqaahle , c'est que Valider monde ne fe connaissait point en 1771 : il représente encore les diverses racines de l'unité par des lettres différemment accentuées, tandis qu'il ponçait les représenter par nne même lettre avec différent exposant . et voir tena calcul toutes les réductions qn’il effectue et laborieusement dans sut Mémoire

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est ici onze, laissent des résidus successifs tous différent : de celte manière on a encore les dix mêmes racines que si l’on eût pris les exposant t, a, 3, 4 » etc. , mais dam un ordre nouveau, ce qui ,cst indifférent. Or à présent , on peut voir que cette disposition des racines est telle que, si l’on veut mettre une d'entre tilles à la place d’une autre, et que, par ce changement, une des racines s’avance d’une, de deux, de trois ou de quatre places, etc., toutes les autres s’avanceront en même temps d’une, de doux, de trois ou de quatre places, etc.; de sorte que toutes les permutations possibles que vous voudriez faire entre ce* dix racines, par le transport de l’une à la place d’une autre, œ réduiront uniquement aux dix permutations que voit» obtenez en lisant de suite vos racines, d'abord à partir de la première, puis de la deuxième, puis de la troisième, etc., enfin de la dixième, exactement comme si elles étaient écm^ajyii cercle. Cela posé , si , en suivant la méthode générale de la Note XIII, vous prenez une fonction linéaire de vos dix racines, i't que vous mettiez pour coefiiciens les dix racines dixièmes de l’unité, en plaçant ces raciucs suivant l’ordre naturel des puissances d’une seule, vous observerez qu’en multipliant toute cette fonction linéaire par la première racine dixième de l'unité, vous faites avancer dans la fonction toutes vos racines cherchées d’une place; si vous multipliez par la deuxième, vous les faites avancer de deux places, et ainsi de suite. Donc, si vous élevez tout d’un coup la fonction linéaire à la dixième puissance, vous épuisez les dix seules permutations différentes dont elle était susceptible, et par conséquent vous n'y trouvez plus qu’une seule valeur, quelque échauge qu’on y fasse entre les racines contenues. Vous obtenez donc cette première fonction linéaire en remettant le radical dixième sur sa dixième puissance qui est connue. Vous obtenez de même une seconde fonction linéaire, en employant une autre racine dixième de l’unité, et ainsi de suite ; et de ces dix fonctions linéaires vous tire» surle-champ , sans ambiguité, vos dix racines inconnues.

Telle est la méthode donnée par M. iMgrangc , comme une suite naturelle de sa méthode générale. On y profite encore dos simplifications qui sc présentent dans la résolution des équations composées. Ainsi, au lien d’élever la fonction linéaire à la puissance marquée par le degré de l’équation , on peut n’élever d’abord qu’à la puissance marquée par l’un de» facteur* premiers de ce degré, et ainsi de suite; et l’on aura le double avantage d’arriver d'une manière plus prompte à des formules plus simples. Toutefois ces formules seront les mêmes eu égard à la nature des radicaux, parce que des radicaux d’un degré composé se réduisent à ceux des degrés respectifs marqués par les facteurs premiers de

u ANALYSE DU TRAITÉ DE LA RÉSOLUT. DES ÉQUAT. NUMÉIL

ce degré. On voit donc que , (Uns U formule qui résout une équation binôme d’un degré quelconque premier, il tt'y aura pas d'autres radicaux que ceux qui répondent aux facteurs simples de ce degré premier moins un. Ainsi, pour l'équation binôme du 17* degré, il n’y aura que des racines carrées ; on pourra donc construire la formule par la règle et le compas; voilà pourquoi l'on peut inscrire geomét licitement le polvgone régulier de dix-sept côtés ; et en général , tout polygone d’un nombre de côtés, égal à une puissance de deux plus un, et en même temps premier. Car on sait que la résolution de l’équatiou binôme donne la division du cercle en parties égales : réciproquement , ai l’on sait diviser le cercle eu parties égales , on peut résoudre l’équation binôme d’un degré marqué par le nombre de ces parties. Aussi , de toutes les solutions de cette équation, la meilleure dans l’usage est celle que donnent les tables de trigonométrie, où l’on trouve la circonférence divisée- £n un nombre quelconque de parties, avec une très grande exactitude. Mais il n’en était pas moins curieux et important pour l’Analyse, d’examiner et de suivre jusqu’au bout celte résolution algébrique des équations binômes, qui est comme Jet clef de la résolution générale des équations complètes (*).

(♦) Vojre* ce que noos avons eceit depuis sur celle matièic, dans le XIV* ei dernier volume des Mémoires de l'Institut , cl dans le tome IV des Mémoires de l' Académie des Scicnrr»

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