II" = X"H
D’où H’ = 3 a , H’ - 1 = 1 1 , et de là K’ = ^ + 1 1 = a 3 . ’
Maintenant soit , i*. w = o , on aura H * = o et H* * = 1; car il est facile de voir par la nature des formules (C) que le terme qui précéderait H, serait nécessairement ai: ea effet , on doit avoir par l’analogie H' =3 V* + ' H + H “ *; on prouverait de même que le terme qui précéderait h, serait = 0; donc G* = Ef * 1 = 8 . a*. Soitw= 1, on aura H r = x, H* 1 = 8 ; donc
3*. Soit nr = a ; donc
= 10 , H* ' = i, G'= 10 i l “ +I + i. E H ' 3 = i04"4-E"®*58. 4*. Soit 7T = 3, donc
H' = n, H' 1 = io, et G' s= i»"+ioE’ = 63.
Donc, substituant ces valeurs dans les expressions de P et U du n* 6o , et multipliant ensemble, pour plus de simplicité, les deux
(acteurs , G' =fc H' |/B , comme aussi les deux
F / ‘=fc^f, G'iH' v/B, ce qui donne ces facteurs simples
Er *'
on aura les formules suivantes :
I ,**•• = ( 3+ fc/33) (s3+4t/33)»— ( 3— y 33) ( a 3 — 4y/33)*
ïj/33 ~
(63+ii t/33) (23 + 4 v/33)* — ( 63 - 1 1 v/33) ( a 3 — 4t/33)*
u — ; jpâT
tlM (i 3a + 23 1/33) (23 + 4t/33)*-(i32 -23t/33) (23 — 41/33)*
au moyen desquelles on pourra trouver la valeur de chacune des i f r
fractions , j-j , ^ , etc, convergentes vers la racine de -y-.
DE Là RÉSOLUTION
Ainsi , faisant d’abord n = o , on aura les quatre premières fractions; faisant ensuite n= 1 , on aura les quatre suivantes , et ainsi de suite , «t ces fractions seront
i * ai il 56 qo r/ÿj io $9
«’ i* ««" n' 35’ 47* 535’ ÎSâT* ®
Si l’on voulait avoir , par exemple, le cinquième terme de cette série, c’est-à-dire la fraction - j-jj-, il n’y aurait qu’à diviser 5o par 4 , ce qui
donne ta de quotient et a de reste; et l’on ferait n ss la; de sorte qn’en développant la puissance douzième de a3 4 V 33 , et faisant pour abréger
N = ta (4) (a3)" + a» (33) (4)' (a3)> + 79 a (33)* (4)* (a3)* - 4 - 793 ( 39 )* (4)' (a3 ) 5 + aao(33)‘(4)* (a3)’ + ta (33)' (4)” (a3),
on aura
(a3±4 v/33)'=M=fc!V /33;
donc, substituant cette valeur dans les expressions de /••+ 1 * etLf'+* , on aura pour la fraction cherchée ,
64 - Je vais terminer cette remarque par une observation qui me paraît digne d’attention. Lorsque l’équation proposée a des diviseurs commcnsurables du premier degré, alors les fractions continues qui représenteront les racines de ces diviseurs, seront nécessairement terminées; et lorsque l’équation aura des diviseurs commensurables du second degré à racines réelles, alors lesfractions continues qui exprimeront lesracinesde ces diviseurs seront nécessaire ment périodiques. Ainsi la méthode des fractions continues a non-seulement l’avantage de donner toujours les valeurs rationnelles les plus approchantes qu’il est possible de la racine cherchée ; mais elle a encore celui de donner tous les diviseurs commensurablcs du premicreldu second degré que l’équation proposée peut renfermer- liseraitàsouhaiterquel’on pût trouver aussi quelque caractère qui
pût servir à faire reconnaître les diviseurs coramensurables des troisième, quatrième , etc. , degrés, lorsqu’il y en a dans l’équation proposée; c’est du moins une recherche qui me parait très digne d’occuper les Géomètres.
