ARTICLE III

Généralisation de la théorie des fractions continues.

65 . Nous avons supposé dans le chapitre 111 que les nombres p, q , r, etc., étaient les valeurs entières approchées des racines x ,/ , z , etc. , mais plus petites que ces racines, c’est-à-dire que p, q, r, etc. , ctaientles nombres entiers qui seraient immédiatement plus petits que les valeurs de x,y , z, etc.; cependant il est clair que rien n’empêcherait qu’on ne prît pour/», q , r, etc. , les nombres entiers qui seraient immédiatement plus grands que les racines x,/, z, etc.

66 . Imaginons donc qu’on prenne pour/» le nombre entier qui est immédiatement plus grand que x, en sorte que p > x et p — 1 < x, il est clair

qu’il faudra dans ce cas x = p • — c’est-à-dire qu’il faudra prendre/

négativement, et comme x < /» et > /> ■ — 1 on aura i > o et < 1 ,

et par conséquent/ > 1 , comme dans le cas où l’on aurait pris p plus petit que x (n° 18). Ainsi on pourra prendre de nouveau pour q, le nombre entier qui serait immédiatement plus petit que/, ou celui qui serait immédiatement plus grand , et l’on fera dans le premier cas

y — q -f- ^ , et dans le second, / z=.q — i , et ainsi de suite.

De cette manière ou aurait donc

x = pd='-, y = q ±'~, ; * = r ± i, etc.

ce qui donnerait la fraction continue x — p de. —

où il est bon de remarquer que chacun des dénominateurs q, r, etc. ,

7 4 de la résolution

qui sera suivi d’un signe—, devra nécessairement ôtre=a, ou > a ; car , puisque^ > i , si on fait ^ = q — ^,on aura q — i , donc q > i — f- ^ , donc q devant être un nombre entier , sera nécessairement = a , ou >-a ; et ainsi des autres.

67. J’observe maintenant que ces sortes de fractions qui procèdent ainsi par addition et par soustraction , peuvent toujours facilement se changer en d’autres qui ne soient formées que par la simple addition.

En effet , supposons en général

n et A devant être des nombres entiers, et / , T des nombres plus grands que l’unité; on aura donc a — • A = d -j- i ; donc, puisque i ■< 1 , et ^ < 1 , j 4- sera < a ; donc on ne pourra supposer

que a — A = 1 , ce qui donne A = a — 1 ; on aura donc

n-i = n- I H-i;doncI = .-^etT==^ = ,4- î L Tj de sorte qu’on aura en général

et cette formule servira pour faire disparaître tous les signes — dans une fraction continue quelconque.

Soit, par exemple, la fraction

, etc.,

elle deviendra, en faisant 0=7» , m / — q -h pi» etc.,

Si l’on avait la fraction

elle se changerait d’abord en

: etc.,

P-'+ Thm

et ensuite en

retc.,

r — i etc. ,

et ainsi des autres fractions semblables. 11 est bon de remarquer qu’il peut arriver que , dans ces sortes de transformations , quelqu’un des dénominateurs devienne nul , auquel cas la fraction deviendra plus simple.

En effet, supposons que la fraction à réduire soit

r etc. ,

la transformée sera

c’est-à-dire

r etc.,

etc.

De même , si l’on avait la fraction

elle se réduirait à celle-ci

r etc. ,

r — i etc. ;

savoir ,

r — i etc. ,

et ainsi du reste.

68. La formule que nous avons trouvée ci-dessus, et qu’on peut mettre sous cette forme

fait voir qu’une fraction continue dont tous les termes ont le signe +- , peut quelquefois être simplifiée en y introduisant des signes — ; c’est ce qui a lieu lorsqu’il y a des dénominateurs égaux à l’unité; car soit, par exemple , la fraction