INTRODUCTION

La solution de tout problème déterminé se réduit, en dernière analyse , à la résolution d’une ou de plusieurs équations , dont les coefficiens sont donnés en nombres, et qu’on peut appeler équations numériques. Il est donc important d’avoir des méthodes pour résoudre complètement ces équations, de quelque degré quelles soient. Celle que l’on trouve dans le Recueil des Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1767 , est la seule qui offre des moyens directs et sûrs de découvrir toutes les racines tant réelles qu’imaginaires d’une équation numérique donnéè, et d’approcher le plus rapidement et aussi près que l’on veut de chacune de ces racines. On a réuni dans le présent Traité le Mémoire qui contient cette méthode , et les Additions qui ont paru dans le volume des Mémoires de la même Académie, pour l’année 1768. Et pour rendre ce Traité plus intéressant, on y a joint plusieurs Notes , dont les deux dernières paraissent pour la première fois dans cette nouvelle Édition . Ces Notes contiennent des recherches sur les principaux points de la théorie des équations algébriques.

Il faut bien distinguer la résolution des équations numériques de ce qu’on appelle en Algèbre la résolution générale des équations. La première est, à proprement parler , une opération arithmétique , fondée à la vérité sur les principes généraux de la théorie des équations , mais dont les résultats ne sont que des nombres , où l’on ne reconnaît plus les pre-

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miers nombres qui ont servi d’élémens , et qui ne conservent aucune trace des différentes opérations particulières qui les ont produits. L’extraction des racines carrées et cubiques est l’opération la plus simple de ce genre ; c’est la résolution des équations numériques du second et du troisième degré , dans lesquelles tous les termes intermédiaires manquent. Aussi conviendrait-il de donner dans l’Arithmétique les règles de la résolution des équations numériques , sauf à renvoyer àd’Algèbre la démonstration de celles qui dépendent de la théo rie générale des équations.

Newton a appelé l’Algèbre Arithmétique universelle. Cette dénomination est exacte à quelques égards ; mais elle ne fait pas assez connaître la véritable différence qui se trouve entre l'Arithmétique et l’Algèbre. Lecaractère essentiel de celle-ci consiste en ce que les résultats de ses opérations ne donnent pas les valeurs individuelles des quantités qu'on cherche’, comme ceux des opérations arithmétiques ou des constructions géométriques, mais représentent seulement les opérations, soit arithmétiques ou géométriques qu’il faudra faire sur les premières quantités données pour obtenir les valeurs cherchées ; je dis arithmétiques ou géométriques , car on connaît depuis Vïéle les constructions géométriques par lesquelles on peut faire sur les lignes les mêmes opérations que l’on fait en Arithmétique sur les nombres.

L'Algèbre plane pour ainsi dire également sur l’Arithmétique et sur la Géométrie; son objet n’est pas de trouver les valeurs mêmes des quantités cherchées , mais le système d’opérations à faire sur les quantités données pour en déduire les valeurs des quantités qu’on cherche, d’après les conditions du problème. Le tableau de ces opérations représentées par les caractères algébriques, est ce qu’on nomme en Algèbre unè formule; et lorsqu’une quantité dépend d’autres quantités, de manière qu’elle peut être exprimée par une formule

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qui contient ces quantités , on dit alors qu'elle est une fonction de ces marnes quantités.

L'Algèbre , prise dans le sens le plus étendu , est l’art de déterminer les inconnues par des fonctions des quantités connues , ou qu’on regarde comme connues ; et la résolution générale des équations consiste à trouver pour toutes les équations d’un même degré, les fonctions des coefficiens de ces équations qui peuvent.en représenter toutes les racines.

On n’a pu jusqu’à présent trouver ces fonctions que pour les équations du second, du troisième* et du quatrième degré ; mais quoique ces fonctions expriment généralement toutes les racines des équations de ces mêmes degrés , elles se présentent néanmoins , dès le troisième degré , sous une forme telle qu’il est impossible d’en tirer les valeurs numériques des racines par la simple substitution de celles des coefficiens, dans les cas mêmes où toutes les racines sont essentiellement réelles; c’est cette difficulté que les Analystes désignent par le nom de cas irréductible; elle aurait lieu à pins forte raison dans les équatiops des degrés supérieurs , s’il était possible de les résoudre par des formules générales. . '

Heureusement on a trouvé le moyen de la vaincre dans le troisième et le quatrième degré , par la considération de la trisection des angles , et par le secours des tables trigonométriques; mais ce moyen, qui dépend .de la division des angles , n’est applicable dans les degrés plus élevés qu'à une classe d’équations très limitée ; et l’on peut assurer d’avance que quand même on parviendrait à résoudre généralement le cinquième degré et les suivans , on n’aurait par là que des formules algébriques , précieuses en elles-mêmes , mais très peu utiles pour la résolution effective et numérique des équations des mêmes degrés, et qui, par conséquent, ne

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dispenseraient pas d’avoir recours aux méthodes arithmétiques qui sont l’objet de ce Traité.

Vie te est le premier qui se soit occupé de la résolution des équations numériques d’un degré quelconque. Il fait voir , dans le Traité de numerosa potes latum adfectarum resolutione, comment on peut résoudre plusieurs équations de ce genre par des opérations analogues à celles qui servent à extraire les racines des nombres.

Harriot , Ougtred, Pell, etc. , ont cherché à faciliter la pratique de cette méthode, en donnant des règles particulières pour diminuer les tâtonnemens, suivant les différens cas qui ont lieu dans les équations relativement aux signes de leurs termes. Mais la multitude des opérations qu’elle demande, et l’incertitude du succès dans un grand nombre de cas , l’ont fait abandonner entièrement.

En effet , il est aisé de se convaincre qu’elle' ne peut réussir d’une manière certaine, que pour les équations dont tous les termes ont le même signe , à l’exception du dernier tout connu ; car alors ce terme devant être égal à la somme de tous les autres , on peut , par des tâtonnemens limités et réglés , trouver successivement tous les chiffres de la valeur de l’inconnue, jusqu’au degré de précision qu’on aura fixé. Dans tous les autres cas , les tâtonnemens deviendront plus ou moins incertains, à cause des termes soustractifs.

Il faudrait donc , pour l’emploi de cette méthode, qu’on put par une préparation préliminaire,' réduire toutes les équations à cette forme. Nous prouverons , dans une des Notes (*), que cette réduction est toujours possible; pourvu qu’on ait deux limites d’une racine, l’une en plus, l’autre en

(*) Voyei la Note XII.