P + ZZ

et ainsi des autres.

De cette manière , la forme générale des fractions continues dont nous venons de parler ci-dessus , sera

r -+. etc. ,

les nombres p, q, r , etc. étant tous entiers, mais pouvant être positifs ou négatifs, au lieu que jusqu’ici nous les avions toujours supposés positifs.

Il faut cependant remarquer que , si quelqu’un des dénominateurs q, r, etc. se trouve égal à l’unité prise positivement ou négativement, alors le dénominateur suivant devra être de même signe; c’est ce qui Suit de ce qu’un dénominateur positif, et égal à l'unité, ne saurait jamais être suivi du signe — (n* 68).

70. H suit de là que la méthode d’approximation donnée dans le chapitre III, peut être généralisée en cette sorte.

Soit x la racine cherchée, on prendra d’abord pour p la valeur entière approchée de x, c’est-à-dire qu’on fera p égal à l’un des deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de x, et qu’on peut toujours trouver par la méthode du chapitre I";

l’on supposera ensuite x = p + ~ , ce qui donnera une transformée en y qui aura nécessairemeut une racine positive ou négative plus grande que l’unité; on prendra de même pour q la valeur entière approchée de y, soit plus grande ou plus petite que y , et l’on

fera y = q + - ; et ainsi de suite.

Si l’équation en x avait plusieurs racines , on ferait sur les transformées eu y , en 2 , en u, etc. des remarques analogues à celles du n* 19.

Ayant donc

x=P+j, / = ? +' t i 2 = r +î> etc >

on aura

r -h etc. , i

où les dénominateurs q , r, etc. pourront être positifs ou négatifs, comme nous l’avons supposé ci-dessus ; et cette fraction pourra ensuite se réduire, si l’on veut, à une autre dont les dénominateurs soient tous positifs , et qui ne contienne d’ailleurs que des signes + (n* 67).

L’avantage de la méthode que nous proposons ici , consiste en ce qu’on est libre de prendre pour les nombres p,.q, r, etc. les nombres entiers qui sont immédiatement plus grands ou plus petits que les racines x , y , s, etc. , ce qui pourra souvent donner Leu à des abrégés de calcul dont nous parlerons plus bas.

Au reste, si l’on veut avoir la fraction continue la plus courte, et par conséquent la plus convergente qu’il soit possible , il faudra prendre toujours les nombres p, q, r, etc. plus petits que les racines x,j, a, etc., tant que ces nombres seront différons de l’unité; mais, dés que l’on en trouvera un égal à l’unité , alors il faudra augmenter le précédent d’une unité , c’est-à-dire qu’on le prendra plus grand que la racine correspondante ; cela suit évidemment de ce que nous avons démontré sur ce sujet («• 68).