Maintenant, si l’on fait, comme dans le n* a

P =2 aq . 4- r.

y = fir + a.

J 1 = ys H- P,

etc. ,

etc. ,

on aura, en ajoutant au > commencement la fraction f qui est plus grande que toute quantité donnée, les fractions

o’ «'> jF> yf> //» e,c ->

lesquelles seront nécessairement convergentes vers la valeur de x.

Et pour pouvoir juger de la nature de ces fractions , nous remarquerons ,

i°. Que l’on aura toujours

ao — i a' = — t ,

JV— y r= . ,

etc. ,

d’où l’on voit que les nombres a , et', 1 3 , /3', etc. , n’auront aucun diviseur commun , et que par conséquent les fractions " , A, etc. , seront

déjà rcduitps à leurs moindres termes.

a°. Que les nombres a , |3 , y , etc. , et (3', y, etc. , pourront être positifs ou négatifs ; lorsque la valeur de x est positive, les deux termes •le chaque fraction seront de même signe , mais ils seront de signes (différons lorsque la valeur de x sera négative , et qu’abstractiou faite de leurs signes , ces nombres iront en augmentant.

3’. Qucl’onaura, à cause de x = /> 4-- , etc- ,

etc.

7 a. Donc, en général, si w, f>, <r, sont trois termes consécutifs quelconques de la série *, |3, y, etc., et ir', p' , </, les termes correspon-

dans de la série et', /3', ÿ, etc., en sorte que , A , A soient trois fractions consécutives convergentes vers la valeur dex, on aura p-jr' — 7Tp' s± 1 , et erp' — p<r' = q= 1 ,

les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la fraction f -, est impair, et les inférieurs pour celui où ce quantième est pair,

compter depuis la première fraction de plus, on aura (abstraction faite des signes)

enfin, si l’on dénote par t le terme correspondant dans la série x,j, a, etc., on aura rigoureusement

Et si k est la valeur entière approchée de t, soit plus grande ou plus petite que t, on aura

<r — fk -f- ic , tr 1 = f'k + ir'.

75 . Cela posé, considérons la fraction^ et voyons de combien elle diffère de la vraie valeur de x; pour cela , nous aurons

donc

Ainsi 1 erreur sera ^ f l (t't+r') > or > s * ® ®t 9 -f- 1 sont les deux nom -

bres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de t , il est clair que la quantité f't tombera entre ces deux /' 9 ■+. ir', et />'(9 4 1 ) 4 . 4 ,

et qu’ainsi l’erreur de la fraction sera renfermée entre cesdeux limites.

^ cV« 4 »') » et =*= tTî'C* + 0 +»') ’

Or, on peut prendre k = 6 , ou k = 9 -f- 1 , de sorte que l’on aura a 1 = /'fl -f- 'ir' , ou = /'(fl + d’où je conclus que si, pour dis-

tinguer les deux cas , on nomme a' le dénominateur de la fraction qui

suit jr, lorsqu’on prend la valeur approchée de t en défeut, et 2 ' le dénominateur de la même fraction , lorsqu’on prend la valeur approchée de t en excès, l’erreur de la fraction 4 - sera nécessairement renfermée

entre ces deux limites qp-4-> et a=- 4 >< t' ^ f*

8i DE LA RÉSOLUTION

D’où l’on voit que l’erreur ira toujours en diminuant d’une fraction a l’autre, à cause que les dénominateurs /, a' ou 2 ', etc., vont nécessairement en augmentant. On voit aussi, à cause de o'> />' et ï'> /*',

que l’erreur sera toujours moindre que =p 4 yj c’est-à-dire que l’erreur

de chaque fraction sera moindre que l’unité divisée par le carré du dénominateur de cette fraction. D’où il est facile de conclure que la

fraction 4 approchera plus de la valeur de x, que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui serait conçue en termes plus simples ; car supposons que la fraction — approche plus de x que la

fraction l, n étant < comme la valeur de x est contenue entre

et i •+• 4r, ou entre -, et -, — 4r , il faudra que la valeur de — soit

«te’ t < c ^ »

pareillement contenue entre ces limites; donc la différence entre

* et — devra être < 4.; mais eette différence est — — r-^-, dont le nu-

mérateur ne peut jamais être moindre que l’unité , et dont le dénominateur sera nécessairement plus grand que />'*, à cause de />'>»; donc, etc.

74- On doit remarquer, au reste, que si les dénominateurs a', /3', y% etc. sont tous de même signe ou de signes alternatifs , les erreurs seront alternativement positives ou négatives; de sorte que les fractions

W’ y n e *°’ seront alternativement plus petites et plus grandes que

la véritable valeur de x, comme nous l’avons dit dans le n° a3 ; mais cela cessera d’avoir lieu lorsque les nombres a.', /3', y', etc. ne seront pas deux à deux de même signe ou de signes différais ; c’est ce qui arrivera nécessairement lorsque, parmi les dénominateurs 7 , r, s, etc. de la fraction continue, il y en aura de positifs et de négatifs, c’est-àdire, lorsqu’on prendra les valeurs approchées de x, y, s, etc. tantôt plus grandes, tantôt plus petites que les véritables.

7 $. Si au lieu des fractions convergentes J, ^ , 4 , etc. on aimait mieux avoir une suite de termes décroissons , on remarquerait que.. . .

DES EQUATIONS NUMÉRIQUES.

0 * 0m — nJ? I , , »

g — -t = vg~ — — î et de même

et ainsi de suite ; d’où Ton tire, à cause de a! — r ,

y = * + 7g7 — gy + 77 .

et, en général,

? — * + 77 — Wï + 77 ** etc - * S7'

Ainsi on aura pour la valeur de x la série * -f- ^~p — ■£-> •+• etc. , laquelle en approchera d’autant plus qu’elle sera poussée plus loin ; et si après avoir continué cette série jusqu’au terme quelconque

on veut savoir de combien elle diffère encore de la véritable valeur de x, on sera assuré que l’erreur se trouvera entre ces deux limites. . . .

^ -'-J et =p (n* 73), de sorte qu’elle sera nécessairement moindre que p.

76. Il est à remarquer que chaque terme de la série <*■ + ?$ — gy + etc.

répond à chaque terme de la fraction continue

r-f etc.

d’où elle dérive; de sorte que la série dont nous parlons sera plus ou moins convergente, suivant que cette fraction le sera. Or nous avons

donné plus haut (n° 68) le moyen de rendre une fraction continue la plus convergente qu’il est possible ; donc on pourra avoir aussi la suite la plus convergente qu’il soit possible.

Ainsi , pour avoir une suite qui soit la plus convergente de toutes vers le rapport de la circonférence au diamètre , on prendra la fraction continue qui exprime ce rapport; et après l’avoir simplifiée comme nous l’avons fait (n* 68) , on la mettra sous la forme suivante :

etc. .

de sorte qu’on aura p = 3 , 9 = 7, r= 16, s = — 294 , etc. donc on trouvera (n* 71)

4 ' = — 9953a x — 3 — 33 ai 5 = a 6538 i, etc.

de sorte que la série cherchée sera

3 4.1 ï ! ! i etc

^7 7.113 ii 3 . 33 ai 5 33213.99533 99532.265381’