ARTICLE IV

Où Von propose dijfferens moyens pour simplifier le calcul des racines par les fractions continues.

77. Nous avons trouvé en général (n° 73) que si et j, sont deux fractions consécutives convergentes vers la valeur de x, on aura. . . . x = j donc si l’on substitue cette expression de x dans l’équation en x dont on cherche la racine, on aura une transformée en t, qui sera nécessairement la même que celle qu’on aurait eue par le»

DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES, substitutions successives de p + ^ à la place de x, de 9 + ^ à la place

de y, etc., et pour avoir la fraction suivante n, >1 faudra trouver la valeur entière approchée de I, laquelle étant nommée b, on aura

= a / = kf' + 7r'.

De cette manière, connaissant les deux premières fractions ^etjp,

qui sont toujours A, et j (n* 71 ), on pourra trouver successivement toutes les autres, à l’aide de la seule équation en x.

78. Or , soit qu’on emploie les substitutions successives de p -J-à la place de x, de 9-f- ~ à 1a place de y, etc. soit qu’on fasse usage

de la substitution générale de * à la place de x, la difficulté se

réduira toujours à trouver dans chaque équation transformée , la valeur entière approchée de la racine positive ou négative, au-dessus de l’unité que cette équation contiendra nécessairement ( n° 70 ). Si la première valeur approchée de p ne convient qu’à une seule racine , alors toutes les équations transformées en y , en z , etc. n’auront chacune qu’une seule racine plus grande que l’unité ; de sorte qu’011 pourra trouver les valeurs entières approchées de ces racines par la simple substitution des nombres naturels (n* 19). Mais si la même valeur appartient à plusieurs racines, les transformées auront nécessairement plusieurs racines plus grandes que l’unité, soit positives ou négatives, jusqu’à ce que l’on arrive à une de ces transformées qui n’ait plus qu’une pareille racine; car alors toutes les suivantes n’en auront plus qu’une seule au-dessus de l’unité, comme nous l’avons démontré dans le numéro cité.

Avant d’être parvenu à celte transformée, il arrivera souvent que la simple substitution des nombres naturels ne suffira pas pour faire trouver les valeurs entières approchées dont on aura besoin , parce que l’équation aura des racines qui différeront entre elles par des quantités moindres que l’unité. Dans ce cas donc , il semble qu’il faudrait avoir recours à la méthode générale que nous avons donnée dans

as

le chapitre premier; mais, ayant déjà employé cette méthode pour trouver les premières valeurs approchées des racines x de l’équation primitive, on pourra se dispenser de faire un nouveau calcula chaque équation transformée; c’est ce qu’il est bon de développer.

-g. En faisant usage de la méthode dont nous parlons , on trouvera d’abord les limites entre lesquelles chaque racine réelle de l’équation proposée sera renfermée, en sorte qu’entre deux limites trouvées, il n’y ait qu’une seule racine (n° i 3 ).

Soient A et A les limites de la racine chercliée ; l’expression .... x = donne t= — — — ; donc la valeur de t sera renfermée

entre les limites par conséquent, si ces dernières li-

mites diffèrent l’une de l’autre moins que de l’unité, on aura sur-lechamp la valeur entière approchée de t ; mais si elles different l’une de l’autre d’une quantité égale ou plus grande que l’unité, alors ce sera une marque que la racine cherchée t différera des autres racin es de l’équation transformée en t par des quantités égales ou plus grandes que l’unité; de sorte qu’on sera sûr de pouvoir trouver la valeur entière approchée de cette racine, par la simple substitution des nombres naturels à la place de t ; et la meme chose aura lieu , à plus forte raisou, dans les transformées suivantes.