La formule t
peut être aussi très utile pour réduire
en fraction continue toute quantité jc qui sera renfermée entre des limites données, au moins pour trouver les termes de cette fraction qui pourront être donnés par ces limites; car nommant, comme ci-
dessus , A et A les deux limites de x , on aura — — et — — — pour ’ e — <* t — t A r
celles de <; de sorte que, tant que la différence entre ces dernières limites ne sera pas plus grande que l’unité , on pourra trouver exac-
tement la valeur entière de t : ainsi , prenant ; et ~ ( p étant la
valeur entière approchée de x) pour les deux premières fractions, on pourra pousser la suite des fractions convergentes, et par conséquent la fraction continue, jusqu’à ce que les limites dont noos parlons diffèrent entre elles d’une quantité plus grande que l’unité ;
alors U fandra s’arrêter, parce que les limites données A et A ne comporteront pas une plus grande exactitude dans la valeur de jc.
Par ce moyen , on n’aura jamais à craindre de ae tromper en poussant la fraction continue plus loin qu’on ne doit, comme cek arriverait facilement si, pour avoir cette fraction, on se contentait de prendre un des nombres A ou A, et d’y pratiquer la même opération dont on se sert pour trouver la plus grande commune mesnrc, conformément à la manière usitée de réduire les fractions ordinaires en fractions continues.
Pour pouvoir employer cette méthode en toute sûreté, il faudrait faire la même opération sur les deux nombres A ou A, et n’admetlre ensuite que la partie de la fraction continue qui proviendrait également des deux opérations ; mais la méthode précédente parait pins commode et plus simple.
81. Voyons maintenant d’autres moyens pour simplifier encore la recherche des valeurs entières approchées dans les différentes équations transformées. Soit
/“ — at* - * ■+• àl*~‘ — etc. = o ,
une quelconque de ces équations, dans laquelle il s’agit de trouver la valeur entière approchée de t, que nous désignerons en général par A; cette équation étant dérivée de l’équation proposée en x, sera du même degré que celle-ci , et aura par conséquent 'le même nombre de racines, que nous supposons égal à n.
Nous avons trouvé en général (n° 79) t = , ce qui se
réduit à l sas % X J~~ sas X ^ — — tj-, mais....
p =5 db py , le signe supérieur étant pour le cas où le quantième de la fraction p est pair, et l’inférieur pour celai où ce quantième est impair; donc on aura
Donc , si l’on dénote par * la racine cherchée, et par x\ x”, etc. les autres racines de l’équation en x , qui sont au nombre de a, et qu’on dénote de même par t, t', t", les valeurs correspondantes de t,
=fc
("= dfc
etc.
Mais l’é<(uation en t donne a = t + r' 4- t" + etc. ; donc substituant les valeurs de t’, i', etc. que nous venons de trouver, et qui sont au nombre de n •— i , on aura
h ( + r ~ + elc Y
Or nous avons trouvé (n* 73) ^ = x ± ^ ^ , ou bien en faisant *• =ri r|r; , où l’on remarquéra que
étant renfermé entre les limites d et 2', qui sont l’une et l’autre plus grandes que / (n* 7 a) , la quantité sera nécessairement plus grande que l’unité. Donc , faisant cette substitution dans la formule précédente , on aura
+ etc. A.
Mais les quantités x — x 1 , x — a/ 1 , etc. sont données , et la quantité /' va toujours en augmentant ; donc puisque la fraction i
des Equations numériques. 89
est toujours moindre que l’unité, il est clair que chacune des quantités
# i y , > etc. .
' (* — ,'‘lx—x’)±ç
ira nécessairement en diminuant , et que par conséquent la somme de ces quantités, qui sont au nombre de n— 1 , ira en diminuant aussi ; de sorte qu’elle deviendra nécessairement moindre que Donc, on parviendra nécessairement à une équation transformée telle , que sa racine t sera , à £ prés , égale à a -f- ~ ( a ^ tant ] e
coefficient du second terme pris négativement), c’est-à-dire que cette racine sera contenue entre les limites
+ i et a+ '-
et la même chose aura lieu à plus forte raison pour toutes les transiormecs suivantes.
Donc, dès qu’on sera parvenu à une pareille transformée, il n’y aura qu a prendre le nombre entier qui approchera le plus delà quantité a + -^—y — , c’est-à-dire, celui qui sera contenu entre les mêmes limites
+ ? et a -f
et nombre sera nécessairement un des deux consécutifs, entre lesquels se trouvera- la vraie valeur de t, de sorte qu’il pourra être pris en toute sûrete pour la valeur approchée k (n« 77 ) Auisl
pourra continuer l’approximation aussi loin qu’on voudra, sans le moindre tâtonnement. * le
8a . Puisque a = t + 1 -f- 1" t”, etc., (n° 81) on aura
etc., en substituant les valeurs d et, t,
DE Là RÉSOLUTIOH
Or , soit
x" — Ax*— + B x*“*
etc. , = o ,
l’équation proposée ; qu’on fasse le premier membre de cette équation égal à X , il est facile de voir, par la théorie des équations , que la quan- Xd
tite deviendra, en y mettant à la place de x, après la différentiation ,
T~ Kj.tr- H- H etc »
à cause que x , x', x", etc. , sont les différentes racines de l’équation
(IX flm'
X = o. Donc oh aura a=dz - ,. v — % et par conséquentla quantité
r -f- — — r—^-— deviendra <
{ '*Xdx
dX
{'*Xd»
Donc , si l’on fait
n "t— — ("—■) A(— f -4- ( » - a ) a {'* — etc.
11 — {• — A{— — etc.
la quantité dont il s’agit sera = — , , par conséquent les limites dont
nous avons parlé dans le numéro précédent seront
zfcR — *•'
Ainsi on pourra trouver ces limites indépendamment de l’équation transformée en t, et par le seul moyen de l’équation proposée en x, ce qui pourra servir à abréger le calcul.
85. Il reste maintenant à voir comment on pourra reconnaître si la racine t est renfermée entre les limites dont il s’agit; or, cela est facile dès qu’on connaît les deux nombres entiers consécutifs 8 , 8 — f- * , entre lesquels se trouve cette racine; car, soient X + j et X — £ les deux limites données ; il est clair que, pour que t se trouve entre ces deux limites , il faudra que A tombe entre les mêmes nombres 8,6 + 1 ,
DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 9 t
et même plus près de celui de ces deux nombres dont t approchera davantage. On examinera donc, i" si A tombe entre fl et 0 -+• i ; a 8 cela étant , on prendra celui de ces deux nombres dont A approche davantage pour la valeur approchée de <, que nous nommerons A;, et
faisant t = k -f- — , on verra si l’équation transformée en w a une racine
positive ou négative plus grande que 2; si cette seconde condition a lieu, on sera assuré que la racine t tombera réellement entre les limite* ^ " 4 “ ï et A — i ; et on pourra poursuivre le calcul , comme nous l’avons dit dans le n° 8 1 .
84. Onpourraits’y prendreencorede la manière suivante, pours’assurer si la racine t tombe entre les limites A ± et A — J. 11 est facile de voir par le n* 81 que la difficulté se réduit à savoir si la somme des
quantités
, etc., divisée par f'*, est moindre que
ainsi il ne s’agira que de trouver une quantité qui soit plus grande que
«ette somme, et de voir ensuite si celte quantité est moindre que É-.
Or , soient x , x\ x", etc. , les racines réelles de l’équation proposée , que nous supposerons au nombre de (i-, et
^ + 4 ' V — 1 . 6 ' — 4 ' V — 1 » elc - >
les racines imaginaires que nous supposerons au nombre de a* , en sorte que/* + ar = n; comme la fraction ^ diffère de la racine a: d’une quantité moindre que — (p° 7?), il est clair que si A est une quantité égale ou moindre que la plus petite des différences entre les racines réelles de la même équation, chacune des quantités réelles >
, etc. sera nécessairement moindre que — — — , et par consé-
quent la somme de ces quantités , qui sont au nombre de fi 1 , sera
moindre que —
■rn 9» r> h» s
Considérons ensuite les quantités imaginaires, lesquelles seront deux à deux de la forme
jr— ( -'J'V' — ‘
de sorte qu’on aura v quantité de la forme -
or, ie re-
— - ; or. le
marque que , quels que soient les nombres 4-, ? > 4" > la quantité
sera toujours moindre que -j i en effet si l’on consi-
dère la quantité y \^ > et qu’on fasse , ce qui est toujours permis , jr = 4 tang ip , elle deviendra
2sin <p cos $
lin 30
or la plus grande valeur de sin ai p est l’unité ; donc , etc.
Donc , si on dénote par n une quantité égale ou moindre que la
plus petite des quantités 4- , 4/', etc-, la quantité 4- sera nécessairement plus grande que la somme des quantités imaginaires dont nous parlons. Donc , en général , la quantité — ~ — •+■ j? sera plus grande que la
A * Insomnie de toutes les quantités
Donc , si Ton a
etc.
= ou<£,
A et IT étant prises positivement , on sera sûr que la racine t tombera entre les limites proposées.
DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. g3
Or , pour avoir les nombres A et n , lorsqu’on ne connaît pas d’avance les racines de l’équation proposée , il n’y aura qu’à chercher dans l’équation desdifférences (D) du n* 8,1a limite /des racincspositives, et la limite — h des racines négatives , et on pourra prendre pour A un nom-
bre quelconque = ou < ~j, et pour II un nombre quelconque :
< rrr ; cela suit évidemment de ce que nous avons démontré dans l’en- V" *
droit cité.
85. Si l’on avait ^ j + , alors la condition requise aurait
lieu dés le commencement de la série; de sorte qu’on pourrait approcher do la valeur de x sans aucun tâtonnement ; voici lg procédé du calcul-
Ayant trouvé la première valeur entière approchée de x, qu’on pourra prendre ou plus petite ou plus grande que x à volonté , et nommant cette valeur p , on aura les deux premières fractions I P
On fera donc, i°. vr = 1 , <jr' = o, p = p, y' — t , et substituant ces valeurs dans l’expression de R (n* 8a) , on prendra le nombre entier
qui approchera le plus de , — - , c’est-à-dire de — R , lequel étant
nommé k , on aura la fraction
a°. On fera 7 r=p, it 1 =2 1 , f=kp-f- 1 , / = k, et substituant dans R, on prendra Je nombre entier qui approchera le plus de...
R ^ , c’est-à-dire — j— , et ce nombre étant nommé k!, on aura la
fraction &±4 = 7) ±£,
k ç -f* ir kk -f- i
3*. On fera 7r = kp - f- 1 , fr' = k’, y = k? (kp H- 1 ) -f- p, f' = k'k -(- 1 , et on prendra la valeur entière la plus approchée mmm R — if _____ ____
de t ou tl , j t , laquelle étant nommée k", on aura la frac-
tion jy^y = etc. , et ainsi de suite.
De cette manière, la valeur de x sera exprimée par la fraction
continue
DE LA RÉSOLUTIOK
f+elc.,
ou par les fractions convergentes
, p tp+j >' H{k P + ^±p etc -> , > y > kk + i
