Soit l’équation proposée

DES EQUATIONS NUMÉRIQUES.

en sorte que l’on demande la racine du nombre A.

Soit, i*. n pair, et = am, l’équation aura, comme l’on sait, deux

racines réelles -J- y/ A et — y' A , et n — - a racines imaginaires qui s’exprimeront ainsi

(cos^rfcsin* y/— i)|/A,

e étant la circonférence ou l’angle de 36o*, et s étant successivement = i, a, 3, etc. jusqu’à m — i; donc on aura dans ce cas

(n* 84) n =a , v = m — 1 , et on pourra prendre A = ap^A,

n = sin - x y/ A, à cause que sin - est le plus petit de tous les

«n — : donc la condition du n° 85 aura lieu si » 1

a^/A— 1 sin - X \/A-

= ou <i;

donc elle aura lieu sûrement toutes les fois que l’on aura

Soit , a*, n impair et =am + i, l’équation n’aura qu’une seule racine réelle y/ A , et elle aura im imaginaires de la forme

(cos^dssin^ y/— t)»/A,

en faisant successivement s = 1 , a , etc. , jusqu’à m ; donc on aura dans ce cas , p 1 , » = m, et comme le plus petit des sin — est»

a cause de n = a m -f- 1 , sin — — , on pourra prendre n=sin — — , ■

X y/ A ; de sorte que la condition du numéro cité aura lieu ici , si

•in X v/A = ou •< -J , c’est-à-dire, si l’on a A = ou ... .

> 1 jia iHo* ). Donc , lorsque le nombre A ne sera pas au-dessous des

limites que nous venons de trouver, on pourra toujours , en faisant usage de la mélbode du n” 85 , trouver directement et sans tâtonnement la racine n 1 "** de ce nombre ; et s’il est plus petit que ces limites, on pourra toujours le rendre plus grand en le multipliant par un nombre quelconque qui soit une puissance exacte du même exposant n ; en sorte qu’après avoir trouvé la racine de ce nombre composé, il n’y aura plus qu’à la diviser par celle de son multiplicateur pour avoir la racine cherchée de A.

Quant à la valeur de R. (n* 83 ), elle sera pour l’cquation x‘ — A = o ,

88 . Puisque le cas de n = a peut se résoudre par la méthode de l’art. II ci-dessus , nous en ferons abstraction ici ; soit donc 36o“

i°. n = 4 > on aura sin = i ; donc A = ou > 4 <-

a*, n = 6 , on aura sm -g- = g- ; donc A = ou > 3 S . 4'.

3°. n = 8 , on aura sin -g- — — ; donc A sa ou > a * . 4*.

Et ainsi de suite.

De même , si l’on fait

i*. » = 3, on aura sm — g- = -g- ; donc A = ou > J y J-

a*. re= 5, on aura sin —g— ; et faisant le calcul par les logarithmes , on trouvera A s ou > i3i 5 , et ainsi de suite.

8 g. Supposons, par exemple , qu’on demande la racine cubique

de 17 ; puisque 17 est > f à cause de 3|/3 >4, on pourra employer d’abord la méthode du n° 85. On aura donc ici, à cause de n = 3 et A = 1 7 (rç* 87 ) , R = • Or, le nombre en-