etc

on aura, par la formule trouvée ci-dessus pour la valeur de p.

donc,

D’où je conclus que si la valeur de R est du même signe que celle de at — a, la valeur de et — a — p sera encore du même signe, et que la condition dont il s’agit aura nécessairement beu.

Mais si les deux quantités a — a et R sont de signes contraires , alors , pour que la condition ait lieu , abstraction faite des signes ,

il faudra que l’on ait ‘ p ÿ > (TZTSpi or l’équation précédente on tire

(«<,£)* (a—ay -r (*— a^R “ (« — a)< R*»

donc il faudra que ^ r *1" (j a pR î soi* une quantité positive,

et par conséquent que l’on ait la condition a (a — n)R + i>o.

NOTE V

Comme la valeur de R dépend de» autres racines /0, y , etc., qui sont inconnues, R est difficile, peut-être même impossible de trouver à priori un caractère pour juger si la condition dont il s’agit est remplie ou non.

Il est aisé d’ailleurs de former à posteriori des équations où cette condition n’aura point lieu, en prenant les racines /S, y, etc. , de manière que quelques-unes de# différences — a , y — a , etc. soient fort petites et de signes différens; et si (3 et y, par exemple, sont imaginaires et de la forme d er + pi/ — t et or — p y' ~ i , il n’y aura qu’à prendre or peu différent de a et p fort petit. Alors la valeur corrigée a ■+• p , au lieu d’ètre plus près de la vraie valeur de la racine a. que la valeur de a, s’en éloignera au contraire davantage.

5. 11 n’y a donc que le premier cas où l’on puisse établir un caractère certain pour le succès de la méthode ; car il est visble que si la quaDtité a est à la fois plus petite que chacune des racines a, /3, y, etc. de l’équation proposée , ou phis grande que chacune de ces racines, en regardant, comme on le doit, les quantités négatives comme plus petites que les positives, et les plus grandes négatives comme plus petites que les moins grandes ; alors la quantité R sera nécessairement de même signe que la quantité a. — a; et si , parmi ces racines, il y en a d’imaginaires de la forme or p v' — i , or — f j/ — i,

il en résultera dans R les termes , 1 '—-y ,

qui se réduisent à ^ y ,« > quantité qui sera aussi de même signe que a. — a, si a est en même temps plus petit ou plus grand que or.

D’où l’on peut conclure, en général, que l’usage de la méthode dont il s’agit, n’est sûr que lorsque la valeur approchée a est à la fois ou plus grande ou plus petite que chacune des racines réelles de l’équation , et que chacune des parties réelles des racines imaginaires ; et que par conséquent cette méthode ne peut être employée sans scrupule que pour trouver la plus grande ou la plus petite racine d’une équation qui n’a que des racines réelles , ou qui en a d’imaginaires , mais dont les parties réelles sont moindre» que la plus grande racine réelle , ou plus grandes que la plus petite de ces racines.

NOTE V. 127

Pour que les valeurs corrigées successivement approchent toutes de plus en plus de la vraie valeur de la racine , il faudra prendre pour première valeur approchée une quantité plus grande que la plus grande des racines , si c’est celle-ci qu’on cherche ; ou plus petite que la plus petite racine , si l’on cherche la plus petite ; alors toutes les valeurs corrigées Successivement seront aussi plus grandes que la plus grande, ou plus petites que la plus petite des racines, et la condition nécessaire pour la convergence aura constamment lieu pour tontes ces valeurs, puisque R et a — a seront toujours de utéme signe , en prenait pour a chacuuc de ces mêmes valeurs.

6. Lorsque toutes les racines de l’équation sont réelles , il est facile de reconnaître si la première valenr approchée a est plus grande ou plus petite que chacune des racines ; car en mettant l’équation sous la forme

(* — a) (* — fi) (x — y).... = 0,

et substituant a + p pour x. elle deviendra

(P -f a — (/»-+• <1 — fi) {.p 4. a — >).... s= o,

où a — * , s — fi, a — y , etc., seront , dans le premier cas, des quantités positives, et dans le second, toutes négatives; donc, dans 4 e premier cas , on aura une transformée en p dont tous les termes seront positifs, et, dans le seoond cas, cette tranfonnée aura ses termes alternativement positifs et négatifs.

Réciproquement , si les termes de la transformée en p sont tous positifs, il est évident quSl n’y aura «lors aucune valeur positive de p qui puisse satisfaire à l’équation ; par conséquent les valeurs réelles de p seront nécessairement négatives - donc 4 e* racines de l’équation en p étant a. — a, fi — a, y — a , sic., jj .faudra ' ÿf c ‘ ces quantités soient toutes négatives ou imaginaires; donc la quantité a sera nécessairement plus grande que chacune des racines réelles de l’équation , quand même elle aurait des racines imaginaires.

On prouvera de la même manière que si les termes de la transformée en p sont ‘alternativement .positifs et négatifs, .la quantité a sera

NOTE V

nécessairement plus petite que chacune des racines réelles , soit qu’il y ait des imaginaires ou non.

7. Mais dans le cas où l’équation a de» racines imaginaires , on ne pourra pas s’assurer de la même manière que la quantité a sera en même temps plus grande ou plus petite que chacune des parties réelles de ces racines; je ne vois pas même qu’on puisse s’en assurer autrement que par le moyen de l’équation dont ces parties réelles seraient racines. Or, si /3 = n -f- f y/ — 1 , et

y -K — f p'' — t , on a tr =s — — £ : ainsi l’équation dont ir

sera une des racines, ne peut être que celle qui aura pour racines les demi-sommes des racines de la proposée , prises deux à deux , et qui , par la théorie des combinaisons , montera au degré

Ayant formé cette équation par les formules que noua avons indiquées plus haut (Note III), on y substituera a -f- a à k place de l’inconnue; et si 1a transformée a tous ses termes positifs , ou alternativement positifs et négatifs , on sera assuré que le nombre a sera plus grand ou plus petit que chacune des valeurs de sr , et par conséquent aussi que chacune des parties réelles des racines imaginaires.

8 . Newton n’a appliqué sa méthode qu’à l’équation x’— -2X— 5 =o que nous avons résolue (n° a 5 ). Il suppose d’abord dans le chapitre IV a sst 2 , et substituant 2 -f- p à 1 a place de x , il a k transformée

d’où il tire =0,1; il kit ensuite p s 0,1 4- q , il a k

nouvelle transformée

d’où il tire ç = — - j as — o,oo 54 ; il continue en faisant

q as — o,oo54 4- r, il vient 1a transformée

o = o,ooo 54 i?o 8 4 - n,i6i96r 4- 6 , 5 r* 4- r*,

NOTE V

d’où il déduit r = — 0 [ ’ i °°g^ 708 = — o,oooo4853 ; et

aiusi de suite.

Ainsi les valeurs convergentes de x sont a, a,i, 3,0946 , 3,09455i 47 , dont la dernière est exacte à la dernière décimale près ( numéro cité).

Dans ce cas , la série est, comme l’on voit , très convergente. On peut, en effet, s’assurer à priori par ce que nous avons démontré, que cela doit être ainsi.

Car nous avons vu ( numéro a6 ) que les deux autres racines de cette équation sont imaginaires , et qu’en les représentant par

* ± p - 1, ou 1 a très peu près p* = , et. . . .