INTRODUCTION

moins, et qui soient telles que toutes les autres racines , ainsi que les parties réelles des racines imaginaires, s’il y en a , tombent hors de ces limites. Mais la difficulté de trouver ces limites est elle-même aussi grande, et peut être quelquefois plus grande que celle de résoudre l’équation.

A la méthode de Viete a succédé celle de Newton j qui n’est proprement qu’une méthode d’approximation , puisqu’elle suppose que l’on ait déjà la valeur de la racine qu’on cherche, à une quantité près moindre que sa dixième partie; alors on substitue cette valeur plus une nouvelle inconnue à l’inconnue de l’équatiou proposée , et l’on a une seconde équation dont la racine est ce qui reste à ajouter à la première valeur pour avoir la valeur exacte de la raci no -cjjetchéc ; mais, à cause de la petitesse supposée de ce reste , on néglige, dans la nouvelle équation , le carré et les puissances plus hautes de l’inconnue ; et l’équation étant ainsi rabaissée au premier degré , on a sur-le-champ la valeur de l’inconnue. Cette valeur ne sera encore qu’approchée ; mais on pourra s’en servir pour en trouver une autre plus exacte , en ,4gisant sur la seconde équation la même opération que sur la première, et ainsi de suite. De cette manière , on trouve à chaque opération une nouvelle quantité à ajouter ou Retrancher de la valeur déjà trouvée, et on a la racine d’autant plus exacte, qu’on pousse le calcul plus loin.

Telle est la méthode que l’on emploie communément pour résoudre les équations numériques; mais elle ne sert, comme l’on voit, que pour celles qui sont déjà à peu près résolues. De plus, elle n’est pas toujours sûre; car en négligeant à chaque opération des termes dont on ne connaît pas la valeur, il est impossible de juger du degré d’exactitude de chaque nouvelle correction; et il peut arriver, dans les équations qui ont des racines presque égales , que la série soit très peu

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convergente, ou qu’elle devienne même divergente après avoir été convergente (*). Enfin , elle a encore l’inconvénient de ne donner que des valeurs approchées des racines mêmes qui peuvent être exprimées exactement en nombres , et de laisser par conséquent en doute si elles sont commensu râbles ou non.

Le problème qu’on doit se proposer dans cette partie de l’Analyse , est celui-ci wEtant donnée une équation numérique sans aucune notion préalable de la grandeur ni de l espece de ses racines , trouver la valeur numérique exacte, s'il est possible , ou aussi approchée quon voudra de chacune de ses racines. Ce problème n’avait pas encore été résolu; il feit^’objet des recherches suivantes.

Depuis la première édition de cet ouvrage (**) , il a paru différentes méthodes pour la résolution des équations numérique^ mais la solution rigoureuse du problème dont il Spgit, est restée au même point où je l’avais portée; et jusqu’ici on n’a rien trouvé qui puisse dispenser dans tous leS cas de la recherche d’une limite moindre que la plus pêtite différence entre les racines, ou qui soit préférable aux* moyens donnés dans la Note IV, pour faciliter cette recherche.

O Vo yez la Note V.

O En 1798. ’