X- Ax"— ' — Cr“ -J -f- etc

— J— 4 . -L + -L- + etc. ,

— x — » — x — B x-fy *

équation qui doit aussi être identique, quelle que soit la valeur de x.

NOTE VI

Donc, elle le sera encore si on en développe les deux membres en séries qui procèdent suivant les puissances positives ou négatives de x.

2 .' Développons d’abord suivant les paissances négatives ; la fraction qui forme le premier membre deviendra

7 + ?-*-p+?-+- etc ->

et pour trouver ks valeurs des coefficiens P , Q , R , etc. , il n’y a qu’à multiplier par le dénominateur x" — Ax“~' 4 * etc. , et comparer ensuite les termes avec ceux du numérateur • — (m — i) Ax" — * -f- etc. , on aura ainsi

Q sb AP — ( m — i ) A,

R = AQ — BP + ( ni — 2 ) B ,

S = AR — BQ 4- CP — (m — 3) C,

etc.,

où l’on voit que la suite des quantités P, Q, R, etc. devient après le terme une suite récurrente, dont l’échelle de relation est A , — B , C , — D , etc.

Développant de même les fractions qui forment le second membre, il deviendra

“ + (« + Æ ■+■ etc.) p -f- (*• + 0 * 4 - y j etc. ) p 4 * (* s ■+■ 0 a +y*+ etc. ) p 4 - etc.

Maintenant la comparaison dès termes semblables des deux membres de l’équation donne

Q = 1 4* ^ 4- > 4- etc.,

R = a* 4 - /3* 4 - y -f etc.,

S ss *’ 4- / 3 S 4- y* 4- etc. ,

etc. ,

HOTE VI

et, en général, un terme quelconque dont le quantième sera fi, à

compter de Q , sera égal à / -f- -f- y* + etc- C’est l’expression

du terme général de la série.

On a par là la démonstration la plus simple de la loi donnée par Newton, pour la somme des puissances des racines. Mais les formules précédentes sont surtout utiles pour approcher de la valeur de la plus grande des racines a , /3 , y, etc. En effet, il est clair que si toutes ces racines sont réelles, et que a soit, par exemple, la plus grande des racines, soit qu’elle soit positive ou négative,

la puissance a? surpassera d’autant plus les puissances semblables des autres racines , et même la somme de ces puissances , que l’exposant fi sera plus grand ; d’où il s’ensuit que si T et V sont des termes consécutifs de la série P , Q , R , etc. , on aura à très

peu près a = , et cette valeur de la racine a sera d’autant plus

approchée que les termes dont il s’agit seront plus éloignés du commencement de la série.

3. Si parmi les racines /3,y, etc. il y en avait d’imaginaires, on aurait, par exemple, /3 = w + f y/ — i , y = 7r — / — i;

alors faisant / (•*’ -f- f*) = n et £ = tang <p , on aurait

/3 = n ( cos <p -f- sin ç — i ) et y = n ( cos <p — . sin <p i/ — i ) ;. donc par le théorème connu

/3“ = rf (cos p Q + sm fi $ y/ — i),

yf = (cos fi <p — sin fi Q \/ — i ),

et parconséquent ,

+ / = a [f cos fi i p.

Ainsi , pourvu que la racine a soit en même temps plus grande que n ou y/ ( vr* -f- f*) , c’est-à-dire plus grande que y/ fïy ,

puissance (t surpassera aussi la somme de pareilles puissances de /S et y.

Donc la méthode ne sera en défaut à cause des racines imaginaires, qu’aulaut qu’il s’en trouvera daDS lesquelles le produit réel des deux

NOTE VI

racines correspondantes , sera plus grand que le carré de la plus grande des racines réelles , et , dans ce cas , la série , au lieu de s’approcher et de se confondre à la fin avec une série géométrique , s’en éloignera continuellement.

4 . Cette méthode rentre évidemment dans celle que Daniel Ber-

noulli a déduite de la considération des suites récurrentes , et qu ’ Euler a exposée eu détail dans son Introduction. Dans celle-ci on donne à la fraction génératrice de la série , pour numérateur , un polynôme quelconque d’un degré moindre que le dénominateur ; ce qui rend les m premiers termes de la série, entièrement arbitraires. Cette fraction se décompose dans les fractions simples - -f- - — —

-1 etc. , d’oii résulte , pour les termes de la série , cette

expression générale aaf bfif -f- cy 1 * -f- etc. , laquelle donne également , lorsque la racine a. est beaucoup plus grande que cha-

cune des autres , ^ pour la valeur approchée de a , quelle que soit

la valeur du coefficient a. Mais l’indétermination des premiers termes de la série , au lieu d’être un avantage de cette méthode , est plutôt un inconvénient; car s’il arrive que deux racines a, fi,

soient égales, alors les deux termes aa f -f- bfif prennent en général la forme ( d -f- b'p) a? ; et si les trois racines a, fi, y , sont égales , les trois termes aa -f- b (if -f- cyf prennent la

forme (a' -f- b'p dp?) a? , et ainsi de suite : d’où il est aisé de voir que lorsque la plus grande racine a est une racine double ou triple , etc. , la série converge bien moins rapidement vers une série géométrique. En prenant pour numérateur la fonction prime du dénominateur , ainsi que nous l’avons fait ci-dessus, tous les coefliciens a , b, c, etc., deviennent égaux à l’unité; et dans le cas des racines égales a et fi , les deux termes

et ' 4 - 4 - fif deviennent simplement aaf , et ainsi des autres ; de sorte que les racines égales n’influent en rien sur la convergence de la série.