Nous avons développé plus haut l’équation identique

nu *" 1 — etc. « , 1

= + —3 + etC ‘ *

suivant les puissances négatives de x ; développons - la maiute-

nant suivant les puissances positives : pour cela, soient...'

a — bx + ex* — dx* , etc. les derniers termes du polynôme .... x" — Ax“ - ' -1- Bx*~* — etc. : on mettra le premier membre de l’équation identique sous la forme

— ',!> + ac* — 3 tfr* -b — etc.

a — bx -f- cx‘ — ilx* -f- ex* — etc. ’

et le développement de cette fraction , suivant les puissances croissantes de x, sera de la forme

— F — Q'x — R'x* = S'x 3 4 - etc. ;

en multipliant par le dénominateur, et comparant les termes , on trouvera

NOTE VI

aP = b,

aQ' = bP — a c,

aR' = AQ' — cP' 3d,

aS' = AR' — cQ'+ dP — 4c,

ce qui donne une série récurrente dont l’éciielle est

Le second membre de la même équation , e'tant développé pareillement suivant les puissances croissantes de x , donnera la série

— & + 7 + 7 + etc - ) - (r* + w + ? + etc - ) x

— (p + gî + ? + etc. ) x‘ + etc. ; de sorte qu’on aura par la comparaison ,

7+*+7 + etc = P '>

* + £+£ + elc - = Q'»

gî + jp 4- p 4- etc- —

etc.

Ces formules renferment la loi des sommes des puissances réciproques des racines.

H est évident que si * est la plus petite racine, soit positive ou négative, le* puissances surpasseront d’autant plus la somme

des pareilles puissances des autres racines, que a sera plus petite que chacune des autres racines /S , y , etc. Par conséquent , si T' et V' sont deux termes consécutif de la série P 1 , Q', H', etc., T*

le quotient çj approchera d’autant plus de la valeur de la plus

NOTE VI

petite racine réelle de l’équation , que ces termes seront plus éloignés du commencement de la série. Ainsi cette série servira à trouver la plus petite racine, comme la première P, Q, R, etc. sert à trouver la plus grande ; et à l’égard des racines imaginaires , on prouvera , de la même manière, qu’elles n’cmpéclieront pas l’approximation vers la plus petite racine réelle, pourvu que le carré de cette racine soit en même temps plus petit que chacun de3 produits réels des racines imaginaires correspondantes.

7 . On pourrait donc employer cette méthode d’approximation pour chacune des racines réelles d’une équation quelconque, si l’on connaissait d’avance une valeur approchée a de cette racine , telle que la différence entre cette valeur et la vraie valeur de la racine fût moindre en quantité, c’est-à-dire, abstraction faite des signes, que la différence entre la meme valeur et chacune des autres racines réelles , et en même temps moindre que la racine carrée de chacun des produits des racines imaginaires correspondantes, s’il y en a, diminuées de la même valeur; car alors , en nommant a la valeur approchée de la racine cherchée, et faisant x — a-t-p, on aura une transformée en p , dont la plus petite racine pourra se déterminer par la méthode précédente ; et cette racine, jointe à la première valeur approchée , donnera la racine cherchée. Mais on ne saurait trouver les premières valeurs qu’en faisant usage des méthodes que nous avons données ; et ces valeurs étant une fois connues , il est bien plus exact d’employer la méthode d’approximation du chapitre 111 : aussi ne suis-je entré dans ce détail sur la méthode d’approximation tirée des séries récurrentes, que pour ne rien laisser à désirer sur le sujet dont il s’agit.

8. Si l’on veut appliquer la méthode précédente à l’exemple de

Newton, on prendra d’abord la transformée p* -f- 6 p' -+- top — i ( Note précédente ) ; et comme on sait que la racine réelle est moindre que o,i , il s’ensuit que le produit des deux autres racines qu’ou sait être imaginaires , sera > > io, puisque le

dernier terme i est le produit des trois racines ; ainsi on est assuré que le carré de la racine cherchée est beaucoup moindre que le produit des deux racines imaginaires. On formera donc la série

NOTE VI. i3 7

récurrente par le moyen de la fraction , et l’on

aura les termes 10, na, 1 1 83 , ia 5 ia, i 3 a 33 o, etc. , qu’on peut continuer aussi loin qu’on veut par l’échelle de relation i o , 6 , i ; chacun de ces termes, divisé par le suivant, donnera les fractions

~ , jffâi i *àÿ fa » e * c > *l u ‘> étant réduites en décimales , deviennent 0,089, 0,09467, 0,094549 > o,09455i 5, etc. Or nous avons vu, dans la Note précédente, que la méthode de Newton donne pour la valeur de p la série convergente 0,1, 0,946, o,qg 455 i 47 , etc., d’où l’on peut juger de l’accord des deux méthodes. £n effet, nous ferons voir plus bas que ces méthodes, quoique fondées sur des principes différées , reviennent à peu près nu même dans le fond , et donnent des résultats semblables.

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