Uîjn t. rAi

l.icrfp i,-- m

NOTE y I I.

Sur la Méthode de Fontaine, pour la résolution des équations.

Comme on m» fait point usage de cette méthode , qui est d'ailleurs peu connue , je pourrais me dispenser d’en parler ici ; mais le nom de l’Auteur et la manière dont il l’a annoncée, m’engagent à en donner une idée abrégée , et à examiner les principes sur lesquels elle est fondée. Je la donne , dit -il, pour ranaljse en entier que Von cherche si inutilement depuis V origine de F Algèbre. Voyez les Mémoires de l’Académie des Sciences, pour l’année 1747 , page 665 .

1 . Cette méthode a deux parties. Dans la première , l’auteur considère les équations comme composées de facteurs simples , réels ou imaginaires de la forme x’àza, x^zadtb \é — 1, et contenant un certain nombre de quantités réelles positives et inégales, a, b , c , etc. 11 parcourt toutes les combinaisons possibles des différons facteurs qu’on peut former de cette manière, et il cherche' pour chaque système de facteurs, dans les coefliciens de l’équation, les conditions qui sont propres à ce système , et qui peuvent le distinguer de tous les autres. Il forme ainsi des tables qui contiennent tous les différons systèmes de facteurs, et les conditions qui leur appartiennent ; de manière qu’une équation quelconque étant proposée , dont les coefliciens sont donnés en nombres , on puisse tout de suite reconnaître quel est le système de facteurs dont elle peut être composée. Ainsi on saura sur-le-champ combien elle a de racines réelles inégales ou égales , positives ou négatives , et combien elle en a d’imaginaires avec la forme de chacune des imaginaires.

a. Pour donner une idée plus nette de ce que je- viens de dire , à ceux qui ne sont pas à portée de consulter le Recueil des Mé-

NOTE VI!. ,3 9

moires de Fontaine, je vais rapporter ici la table dts équations du second degré , avec un précis de la méthode par laquelle l'auteur l’a construite; ensuite je ferai quelques remarques sur cette méthode.

Dans les formules suivantes , les lettres m , n et a , b désignent des nombres ou des quantités quelconques positives , et l'on suppose que a est toujours une quantité plus gronde que b.

x'-f-mx i

x • -(- rnx -f- n =

x* — mx -f- n = ,

x*— mx-f-n — x*-f- n =

(x-f-a+by/—i) (x-f-a— b \/ — 1) f m ‘~ 4 "<°»

(x-f -b-f-a y / — 1 ) (x-f-b — a y/ — 1 ) m* — an<o , (x+«)(x— i),

(x — a-f-ay/ — 1) (x — a — ay' — 1). . .m* — 2/1=0, (x — a) (x — b) ,/n*. — 4«> 0 ,

(x-a-f-by / — 1 ) (x — a—by/ — r) j

(x—b+ay'—i) (x—b—ay'—i) ,

On voit d’abord dans cette table toutes les combinaisons possibles des dilTércns facteurs, qui ne peuvent être ici que xdza, xabé, ou x±adta/ — 1, *± a d= by '— -1 et x±id=aj/ — 1.

Pour savoir à quelle forme d’équation chaque combinaison pouvait se rapporter, on a développé les produits , et on les a comparés aux équations , en faisant attention que la quantité a doit être plus grande que b. Jusque là, la méthode n’a de difficulté que la longueur du calcul ; et tout l’art consiste à trouver les caractères ou conditions propres à chaque combinaison.

Ces conditions sont de deux sortes ; les unes sont données par des éqdations déterminées, comme m‘ — 4 n = o, ou m‘ — 3/1 = 0,

,40 NOTE VII

ce sont celles qui ont lieu lorsqu’on suppose que la quantité b devient nulle, ou devient égale à a. Elles ne sont pas difficiles à trouver : car, comme ces suppositions détruisent une des deux indéterminées a, b, en faisant la comparaison des termes rcsultans du produit des facteurs avec ceux de l’équation, on a une équation de plus qu’il n’y a d’indéterminées ; de sorte que, par l’élimination , on parvient nécessairement à une équation de condition ; c’est ainsi que les facteurs égaux (x-f-a) (x-f-a) donnent la condition m'— -4n=o, et que les facteurs (x-f-a-f-ai/ — i), (x-f -a — ay'—i) donnent m* — an — o.

Les autres conditions dérivent de celles-ci, en changeant le signe d’égalité dans celui de majorité ou de minorité. Elles résultent de cette considération , que si une fonction des coelïiciens m et n est nulle lorsque a — b ou è = o, elle sera plus grande ou plus petite que zéro lorsque n sera plus grand que b, ou b plus grand que zéro.

Ainsi , comme le système (x-f- a) (x -f-a) peut résulter de celui-ci (x-f-a) ( x -f- i ) , en faisant b = a , ou de celuici ( x -f- a -f- b i/— i) ( x a — b \/ — 1), en faisant b — o , la fonction m* — 4” > qui est nulle pour ce système-là , ne le sers plus dans ces deux -ci; et l’on trouve que cette fonction est positive pour le système (x -\-a )(* + £), et négative pour le système (x -f- a -f- by/ — i) (x-f-a — b \/ — i).

L’auteur suppose , comme un principe général , que la fonction qui est nulle dans le cas de la coïncidence de deux systèmes, sera toujours plus grande que zéro dans l’un, et moindre que zéro dans l’autre , et il détermine par un exemple particulier celui des systèmes où elle est positive, et celui où elle est négative; mais celte proposition ne peut pas être admise sans démonstration; et il y a même de fortes raisons de douter qu’elle soit vraie en général.

Dans lç$ cas dont il s’agit , on en peut prouver la vérité ; car le système (x-f-a) (x-|-A) étant développé , donne x*-f-(a -f- 4 ) x -f- ai ; donc m = a -f- 4 , n = a 4 , cl par conséquent m* — =( « — b)‘, quantité toujours positive. De même,

le système

(x -f- a -f- b\/ — i) (x -f-a — 4 |/— -,) = x* -f- aax -f- a* -f- é* ,

NOTE VII

donne m = aa , n =s a* -f- i*, et m* — \n-= — 4 è*, quantité toujours négative. On peut démontrer de la même manière les autres conditions pour les différens systèmes des équations du second degré.

3. L’auteur a appliqué les mêmes principes et la même méthode aux équations du troisième et du quatrième degré, et il a donné pour ces degrés des tables semblables à celle que nous venons de rapporter. Voyez le Recueil de ses Mémoires, imprimés en 1764 .

L’étendue de ces tables augmente en proportion du nombre des combinaisons des différens facteurs; et la recherche des conditions propres à chaque combinaison ou système, devient d’autant plus difficile, qu’il arrive souvent que les conditions qui résultent de l’égalité de quelques-unes des quantités a, b, c, etc., qui sont censées former une série décroissante , ont lieu pour plus d’un système à la fois, et qu’il est alors nécessaire de trouver des conditions pour dislinguer ces mêmes systèmes entre eux.

L’auteur ne donne aucune règle générale sur cet objet ; il se contente d’essayer successivement les fonctions les plus simples des coefficiens m, n, p, etc. de l’équation, jusqu’à ce qu’il en trouve une qui soit nulle dans le cas commun à deux systèmes, et qui soit plus grande que zéro dans l’un , et plus petite que zéro dans l’autre.

C’est ainsi, par exemple, qu’ayant trouvé pour l’équation

x* 4 - nx-\~p = o que les deux systèmes (x-f-a) (x-f- 6 ) (jr-f-i)

et (x -f- n) (x a) (x -j- 6) ont la même équation de condition

/ t (m‘ — 3n) ( — 3mp 4- n‘) — • (ma — ry>)* = o,

il cherche une fonction de la forme Am'-j-Bn, ou Am 5 4-Bmn4-C l p, ou etc. , telle qu’elle soit = o dans le cas commun de a = b , et qu’elle soit > o pour le premier système , et < o pour le second ; il trouve celle-ci, a/n J — gmn %^p , qui satisfait à ces deux conditions.

Quoique l’auteur soit parvenu à trouver ces fonctions pour tous les cas des équations du troisième et du quatrième degré, on peut douter qu’il soit possible de les trouver en général dans les équations des degrés supérieurs; du moins il n’est pas démontré qu’il existe

NOTE VII

toujours nécessairement des fonctions qui aient ces propriétés : ainsi la théorie peut être aussi en défaut de ce côté.

4. Au reste, on peut trouver directement les conditions précédentes; car, si l’on suppose que l’équation

jc 1 -H ma :* 4 “ nx 4 - P = o

ait un facteur double ( x 4- <t )* , il n’y aura qu’à diviser le polynôme x 5 4- mx' 4- nx 4- p par x* + aux •+• «* , on trouvera le quotient x 4- m — a* , et le reste

(n — «• — mut 4- 4 *‘) x 4 - p + aa s — wa‘; ainsi, il faudra faire séparément

d’où l’on tire

3a* — a ma, 4 - n — o , aa s — mx‘ 4 ~ p = o;

Cette valeur, substituée dans la première équation, donne

(mn — QpY 4 “ 4 ("»* — 3n ) ( 3 '"P — n ‘) = °>

ce qui est la condition commun eaux deux systèmes.

Maintenant, comme le quotient x 4 " m — 2<e f° ruae k facteur inégal de l’équation , on fera a. = b et m — aa = a pour le système (x 4- a) (x 4-£) (x4-i), et* = a, m — 2* = b pour le système (x 4- fl) (x 4- «) (x 4- *); donc, puisque par l’hypothèse a > b, on aura pour le premier système m — aa > a , ou

m 3« > o , et pour le second m — 3 * < o.

Mais en substituant la valeur de « , on a

n 2m 3 — çjmrc 4 - 27 p

m — 3tt __ —czz 3 „

d’un autre côté, il est facile de s’assurer que , pour les deux systèmes, on a m* — 3n>o; car le système (x 4- a) (x 4- b) (x 4- b) donne m = a 4- ai , n = aab 4- 6*, comme il résulte du dévelop-

NOTE VII

peinent : donc

m‘ — 3/j = a' — lab -f- A* = (a — A)* ;

et comme pour l’autre système il n’y a qu’à changer a en b , on aura de même m* — 3 n = ( a — b )*. Donc les conditions pour les deux systèmes seront simplement .

2m 5 — gmn -f- 27 p > 0 pour le premier ,

2 m 3 — gmn -f- 27 p < o pour le second , .

comme Fontaine l’a trouvé.

5 . Mais les conditions mêmes qui résultent de l’égalité de quelques-unes des quantités a, b,c , etc., ne sont pas toujours particulières aux systèmes dans lesquels ces égalités ont lieu , comme Fontaine le suppose; ce qui détruit un des principaux fondemens de sa théorie.

Par exemple , il trouve dans le troisième degré que , pour l’équation

x 5 ■+• mx* — nx — p = 0,

la condition

2 m s — mn — p = o

est particulière au système

et doit le distinguer de tous les autres. Mais j’ai reconnu que cette condition a lieu aussi pour tout système de la forme (x -f -a) (x — b ) (x -f- c), qui se rapporte à la même formule d’équation , lorsque a 4- c = 2A ; ce qu’on peut aussi prouver à priori.

Ainsi, si l’on a l’équation x 5 -f- 2X* — 5 x * — 6=0, comme elle satisfait à la condition dont il s’agit , puisque en faisant m = 2, n — 5 , p — 6 , on a 2.8 — 2.5 — 6=0, ou pourrait conclure de la table de la page 546 du Recueil des Mémoires de Fontaine , que celte équation a trois facteurs de la forme • y .» *

NOTE VII

et que par conséquent elle a deux racines imaginaires , tandis qu’elle a au contraire les trois facteurs réels

On doit dire la même chose de la condition

+ a 4 i 3 *. 5 . 7 np‘q — V.^p* -{- a'. 5^’ = o,

que Fontaine trouve (page 568) pour le caractère commun des deux systèmes

(x+a) (x — b) ( x <— è -f- c \/ — i) (x — b — c y/ — i), et(x~t" a ) (x— c) ( x — c ~\~b — t) (x — c — b ^ — i),

appartenant à la formule

x * — nx* -f- px — q = o.

Cette condition n’est pas particulière à ces deux systèmes ; elle a lieu aussi dans tout système de la forme

appartenant à la même formule d’équations (page 53a), pourvu que l’on ait b + d = ic ; c’est ce qu’on peut trouver « priori ; mais ce détail nous mènerait trop loin.

6 . On peut conclure de ces observations , qu’il n’est pas toujours possible de trouver les conditions qui distinguent chaque système de facteurs de tous les autres, en ne considérant dans les quantités a, b , c , etc. , qui entrent dans ces facteurs, d’autres rapports que ceux d’égalité ou d’inégalité, suivant la théorie de Fontaine. Mais, quand on le pourrait, le travail pour les trouver dans les degrés au-dessus du quatrième , serait immense, et ne serait pas même utile pour la résolution numérique des équations, comme nous allons le montrer en examinant la seconde partie de la Méthode. •

7 . Dès qu’on aura trouvé , comme l’auteur le suppose , la forme de chaque facteur de l’équation proposée, il n’y aura plus qu’à

NOTE VII

déterminer les valeurs des quantités a, b, c, etc., qui entrent dans ces facteurs , et qu’ou sait être toutes positives et inégales ; et voici comment il s’y prend. Il développe le produit des facteurs , et le comparant à l’équation proposée , il a autant d’équations qu’il y a d’indéterminées a , b , c , etc. , il élimine toutes ces quantités, hors deux, qu’il se propose de déterminer : il a ainsi deux équations entre ces deux quantités ; il fait la plus grande de ces quantités = R*, et la plus petite R /3 j et éliminant R, il a une équation homogène en a et j 3 , dans laquelle il substitue -f- y pour * , et Zip *f" u pour (3.

Il suppose d’abord en x = i.^ = o,z = o,«=i;ila une équation en p , dans laquelle il fait successivement <p = 1, 3, 3 , etc., jusqu’à ce qu’il trouve deux résultats de signes contraires ; alors il fait <p = A, A étaut le plus petit des deux nombres qui ont donné des résultats de signes contraires : donc isA, (4 — 1 .

Il fait ensuite x = A , y == 1 , 2 = 1, u — o ; et dans l’équation résultante en p , il cherche de même deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires : nommant B le plus petit des deux nombres , il fuit p = B ; donc * = AB -f- 1 , 13 = B.

Il continue de la même manière , en faisant x = à la dernière valeur de a ,jr à l’avant-dernière , 3 = à la dernière valeur de [3 , et u à l’avant-dernière.

Substituant ensuite successivement ces valeurs de « et /3 dans l’expression rationnelle de R qui résulte des deux équations, on a celles de a et b , d’autant plus exactement, que les opérations sur a. el (3 ont été poussées plus loin.

Pour en donner un exemple, je vais rapporter celui que l’on trouve daus les Mémoires de l’Académie de 1747» page 67a.

Soit l’équation x* — 3 x -f- 1=0; comme elle se rapporte à la formule x* — mx -f- n , en faisant m = 3 , n = 1 , si 'l’on examine les conditions relatives à cette formule dans la table donnée ci-dessus, on trouve que celle-ci m* — 4 ra — o a lieu; d’où l’on conclut que les deux facteurs sont de la forme (x — a) (x — b). On a donc en développant a-f-é= 3 etaè = i.

Soit a = «R , b 3= / 3 R , on aura R ( a 4- /3 ) =s 3 , R‘a/3 == 1 ;

donc R —

NOTE VII

7 £0 et 9 çt@ = ( a. + 0 )•; savoir,

a* — 7«/3 -f- /S* = o, où l’on fera * = xp -f- y et /3 ses zp -f- u.

Soit , l°. x — 1 , y = o , 2 = o, u = 1 ; donc « = p , 0 = 1 j substituant ces valeurs, on a p* — •jp + 1=0; faisant $ = t a , etc. , jusqu’à f = 6, on a des résultats négatifs; mais p = 7 donne le résultat 1 ; donc p = G , donc a. = 6 , /3 = 1 ,

a“. x = 6 ,^ si,i=i,u = oj donc a = fty -f- 1 , /3 = p, et l’on a l’équation 5 p‘ — 5 p —1=0.

Ici p = 1 donne le résultat — 1 , p = 3 donne g : donc p = 1 ;

et de là a = 7 , j 3 = 1 , R = 5.

3 °. x=7, j' =G , s = 1 ,u= 1 ; donc * = 7<p-t-6,/3=p-f-i; et substituant, on a l’équation p‘ — 5 p — 5 = 0. Faisant p — 1 , a , etc. , jusqu’à $ = 5 , on a des résultats négatifs ; niais p = 6 donne

le résultat 1 ; donc ip = 5 , et de là a = 4 1 , P = 6 , et R = ^, et ainsi de suite.

8 - Telle est la méthode d’approximation que Fontaine a donnée sans démonstration dans son Mémoire de 1747» et qu’il a redonnée de même dans le Recueil de ses Mémoires- Elle suppose, comme l’on voit , que l’on peut toujours , par la substitution des nombres 1 , 3 , 3 , etc. , au lieu de p dans les différentes équations eu p , trouver deux nombres qui donnent des résultats de signes différens ; ce qui , par ce que nous avons démontré dans le chapitre 1 ", ( n° 5 et suivans) n’a lieu qu’au tant que ces équations ont des racines positives dont la moindre différence est plus grande que l’unité. D’après cette considération, il est facile de trouver des exemples où la méthode de Fontaine sera en défaut.

Soit, par exemple, l’équation

qui se rapporte à la formule x 3 — mx* — nx 4- p, en faisant m— 2, n =s a 3 , p = 60. La table de la page 547 du Recueil des Mémoires de Fontaine , donne ces trois conditions

NOTE VII

4 (/n* + 3n*) (n* *+* 3»» tp) — ( — mn -f- gp)* > o, mn — p <Z o , m‘ — n < o ,

pour le système (x -f- a) ( x — b) (x — c) , lesquelles se trouva nt remplies ici , il s’ensuit que ce système est celui de l’équation proposée.

Pour trouver les trois quantités positives et inégales a, b , c, etc. , on comparera le produit des facteurs

x 5 -f- (a — b — c) **+•( — ab — ac «f- bc) x + abc

avec l’équation donnée , on aura ces trois équations

a — b — c = — a , — ab — ac bc — a3 et abc = 6o.

Éliminant c , on aura c = a — è -f- a, et les deux autres équations deviendront

a % — ab -f- b‘ -f- a (a — b) = a3 ,

(a — b ) ab + a ab = 6o ;

et faisant a = aR, b = /3R , on aura

R* («• — a/3 j8* ) -f- aR (<* — /3) = a 5 ,

R’ (* — /3) cej3 -f- aR* «jS = 6o.

Enfin , éliminant R, on aura une équation homogène du sixième degré en « et J0 , réductible à cette forme

[ao(«*-H3‘) — 4 ' (*/3) ( 1 5a*-f/3*) — 34*/3] [ i a(**-4-/3*)4-a5<e^] = o.

Maintenant on fera , suivant Fontaine , os = -f- ,

j3 = z# -f- u, et on supposera dans la première opération x = i , ^ = o,z = o, « = i ; ce qui donne a. — <p, 1 3 = i : l’équation sera donc . •

[ao(?*+>)— 4»<P] 34<p] [ia(<p*+0”t- a5< P] = °j

et il faudra faire successivement p = i, a, 3, etc., jusqu’à ce que l’on trouve deux valeurs de <p qui donnent des résultats de signes contraires, ce qui n’arrivera jamais, les résultats étant toujours posi-

NOTE VII

tifs comme i) est facile de s’en convaincre par la simple inspection de l’équation. Ainsi la méthode sera en défaut dès la première opération.

Il est aisé de voir qu’on ne peut avoir des résultats négatifs qu’en donnant à fp une valeur intermédiaire entre 1 et a. Par exemple en

faisant ç = | , on trouve le résultat — ' j niais cela est contraire à l’esprit de la méthode de Fontaine , qui suppose que a et fi sont toujours des nombres entiers. D’ailleurs , si l’on voulait admettre pour <p des nombres fractionnaires , il serait bien plus simple d’opérer immédiatement sur l’équation proposée , en cherchant deux valeurs de l’inconnue qui donnent des résultats de signes contraires; mais la connaissance de la forme des facteurs, qui est l’objet des Tables de Fontaine, devient inutile pour celle recherche, et la difficulté du problème demeure en son entier.

Nous remarquerons encore que, puisque dans la première opéralioti on fait p = ^ = g, l’équation en <p sera toujours, généralement, parlant , d’un degré plus haut que l’équation proposée ; car si a et b sont deux racines réelles, les racines de l’équation en p seront tous les quotiens qu’on peut former en divisant une racine par l’autre; de sorte que si m est le degré de la proposée , m(m — i ) sera celui de l’équation en p, laquelle sera d’ailleurs nécessairement du genre des réciproques.

Mais si a étant une racine réelle , b était la partie réelle de deux racines imaginaires , alors ^ serait le quotient d’une racine divisée par la demi-somme de deux autres racines , et l’équation en p serait du degré

9. An reste , comme l’équation en « et /S , que l’on trouve par le procédé de Fontaine , est nécessairement une équation homogène ,

elle n’a , k proprement parler , qu’une seule inconnue jj et la substitution de asp -+-J à la place de a , et de sp 4- « à la place de fi , revient à substituer immédiatement - à la place de l’incon-

NOTE VII

nue de cette équation ; or , cette formule est l’ expression générale des fractions convergentes qui résultent d’une fraction continue , dans laquelle <Q représente successivement les dénominateurs de cette

traction , et j, | sont les deux fractions successives qui précèdent

la fraction ** comme il résulte de la théorie connue des fractions

continues. Ainsi , il parait que Fontaine a cherché à exprimer le rapport entre les quantités et et /3 , qui est le même que celui entre les quantités a et b , par les fractions convergentes dépendantes des fractions continues ; mais la difficulté consiste à déterminer

les valeurs de <p lorsque la fraction j n’est donnée que par une équation. Voyez ci-dessus l’article IV ( n° 78 ).

Je me suis un peu étendu sur l’analyse de la Méthode de Fontaine , parce que je ne connais jusqu’à présent que deux auteurs qui en aient parlé, d’Alembert dans l’Encyclopédie, au mot Équation , et Condorcet dans l’Histoire de l’Académie des Sciences pour les années 1771 et 1773, et que l’un et l’autre se sont contentés de jeter des doutes sur cette méthode , sans donner les moyens de l’apprécier.

NOTE VIII

Sur les limites des racines des équations , et sur les caractères de la réalité de toutes leurs racines.

L a recherche des limites des raciaes est le premier problème qui se présente dans la théorie des équations , après celui de leur résolution générale. Comme cette résolution est bornée jusqu’ici au quatrième degré , et comme il est démontré , par la considération des fonctions des racines , que si elle est possible au-delà de ce degré, ce ne peut être qu’en résolvant des équations d’un degré beaucoup plus élevé , ee qui donnerait des expressions intraitables par leur complication : on peut dire que c’est du problème des limites que dépend maintenant tout l’art de résoudre les équations. Eu effet , dès qu’on a trouvé des limites particulières pour chaque racine, on peut les resserrer par des substitutions successives, et approcher ainsi de la valeur de la racine autant que l’on veut.

l. On a senti, avant la fin du dix-septième siècle, la nécessité de s’occuper de ce problème , et dès qu’on eut trouvé que l’équation , formée en multipliant chaque terme d’une équation donnée par l’exposant de son inconnue , renferme les conditions de l’égalité des facines de la proposée , on découvrit bientôt que les racines de cette même équation ainsi formée étaient les limites de celles de l’équation primitive. On sait que Hudde est l’auteur de la première de ces deux importantes découvertes ; et je crois que la seconde est due à Rolle , qui l’a donnée dans son Algèbre , imprimée en 1690, et qui en a fait la base de sa méthode des Cascades. Suivant cette méthode , les limites des racines d’une équation dépendent d’une équation d’un degré inférieur d’une unité , et les limites des racines de celle-ci dépendent de même d’une autre équation d’un degré moindre d’une unité , et ainsi de suite ; de

sorte que , pour parvenir aux limites des racines de l’équation proposée , il faut résoudre des équations différentes et successives , qui vont toujours en baissant d’un degré. Voyez V Analyse démontrée de BeyneaUj où cette méthode est exposée avec beaucoup de détail. Mais la longueur du calcul qu’elle ilémandc , et l’incertitude qui naît des racines imaginaires , l’ont fait abandonner depuis longtemps; et l’on aurait peut-être été obligé de renoncer à avoir une méthode générale pour résoudre les équations , si Pbn n’avait pas trouvé, pour déterminer les limites des racines, nn moyen indépendant de la résolution de toute équation, comme on l’a vu dans le Chapitre 1 " et dans la Note IV*.

La considération des maxima et minima des lignes paraboliques a conduit Stirling à une méthode pour déterminer le nombre et les limites des racines réelles du troisième et du quatrième degré , laquelle a été généralisée par Euler , dans son Calcul différentiel. Cette méthode revient à celle de Rolle dans le fond ; mais elle embrasse également les racines réelles et les racines imaginaires , et pourrait fournir des formules générales pour distinguer ces racines dans les équations du cinquième degré, au moyen des racines du quatrième.

La même considération a fait trouver à De Gua une méthode pour déterminer les caractères de la réalité de toutes les racines d’une équation quelconque. ( Mémoires de F Académie des Sciences , année 1741.-)

Nous avons vu que ce problème peut se résoudre aussi par le moyen de l’équation dont les racines sont les carrés des différences entre les racines de l’équation donuée ; mais cette solution est fondée sur la forme même des racines imaginaires, au lieu que la théorie de De Gua est indépendante de cette forme; et sa méthode a, déplus, l’avantage de n’exiger que le calcul d'équations de degrés inférieurs à celui de l’équation proposée.

Comme ces différentes méthodes sont intéressantes par elles-mêmes, -et encore plus par l’usage dont elles peuvent être dans plusieurs occasions , j’ai cru qu’on serait bien aise de les trouver ici réunies, et

NOTE VIII

déduites d’une même théorie, formée uniquement sur les premiers principes de l’analyse des équations.

a. Soit en général Fx une fonction rationnelle et sans diviseur , telle que

x" -f- Ax" - ' H- Bx*" - * -H G*” -5 + etc. ■+• V;

si l’on nomme et, /3^ y , etc. les racines réelles de l’équation I’x=o, c’est-à-dire les valeurs de x qui peuvent satisfaire à cette équation , on aura l’éqtiation identique

Fx = (x— <x) (x — 0) (x — y) xfx ,

fx étant une pareille fonction de x, mais d’un degré moindre que m , et qui ne pourra jamais devenir nulle ni négative, quelque valeur qu’on donne à x ( INotc II ).

Celte équation devant avoir lieu , quelle que soit la valeur de x , elle aura lieu aussi en mettant x -f- i à la place de x , quelle que soit la valeur de i; donc, développant les fonctions suivant les puissances de f, il faudra que tous les termes affectés d’une même puissance de i sc détruisent mutuellement ; ce qui donnera encore autant d’équations identiques qu’on pourra trouver ainsi par le développement actuel. Mais comme ces nouvelles équations ne sont autre chose que celles que nous avons appelées dérivées , dans la Théorie des fonctions , nous emploierons ici , pour plus de simplicité , la notation et l’algorithme de cette théorie ; et l’application que nous allons en faire aux équations fournira un nouvel exemple de son usage dans l’Algcbre, dont elle n’est proprement qu’une branche.