Désignons, pour abréger, par <px la fonction
(x — ce) (x — 0)(x — y) (x— J') ,
on aura l’équation identique Fxac^x X fx-, d’où l’on tirera sur-lechamp l’équation dérivée
F'x = i p'x X.fx + tpx'X.fx-,
et l’on trouvera
-f- etc.
Supposons que les racines et, /3, y, etc. soient rangées par ordre de grandeurs , en commençant par les plus grandes positives , et finissant par les plus grandes négatives. 11 est facile de voir, par la nature de la fonction <p'x , qu’en faisant x = a, on aura ç'x> o, qu’en faisant x = /S , on aura <p'x < o , qu’en iàisant x—y , oh aura <p'x > o, et ainsi de suite. D’un autre côté, en faisant x — a, P, y j etc., on a toujours $x=o et /x> o, par la nature de ces fonctions. Donc
x — a donnera F'x > o ,
et ainsi de suite.
Or, en prenant la fonction dérivée du polynôme F*, on a
F x—mx"~' + (m — i) Ax"~* (m — a) Bx“~ 3 etc. ■+■ T ;
donc l’équation F'x= o , qui est du degré m — i , aura nécessairement des racines réelles qui tomberont entre les valeurs des racines a et P, P et y, y et J'y etc. (Note I" 1 ).
4- Désignons par P,, y,, etc. les racines réelles de l’équation F'x = o , et l’on démontrera de la même manière que
x — a, donnera F'x > o,
et ainsi de suite.
D’où il suit que l’équation F'x = o , dans laquelle
F"x == m(m — j)x— + (m— i) (to— -a)Ax^=* -f-(m — a) (m — 3)BxT"i+ etc. + a S,
NOTE VIII
aura aussi des racines réelles qui tomberont entre les valeurs des racines a, et /S,, |S, et y,, etc., et ainsi de suite.
* 11 résulte de ces formules , différentes conséquences que nous allons
développer.
Si l’équation primitive Fx. = o a deux racines égales, l’équation dérivée F'x — o aura une racine qui , devant tomber entre ces deux, leur sera encore égale; par conséquent, le facteur qui contiendra œtte racine, sera un diviseur commun des deux polynômes Fx et F'x ; ce qui est d’ailleurs évident , parce que le polynôme Fx contenant le facteur carré (x — a)*, le polynôme F'x contiendra encore le facteur simple x— a. Ainsi l’équation F'x = o renferme la condition pour qu’une des racines de l’équation Fx= o soit, double.
On prouvera , de la même manière , que si l’équation Fx = o a trois racines égales, le facteur qui contiendra cette raciue sera un diviseur commun des trois polynômes Fx, F'x et F"x,ct que les deux équations F'x=o, F"x = o contiennent les conditions pour que l’équation Fx = 0 ait trois racines égales , et ainsi de suite; ce qui donne les théorèmes connus sur les racines égales.
5. Cousidérons d’abord les racines réelles de l’équation Fx=o, en tant qu’elles peuvent être positives et négatives, et supposons qu’elle eu ait un nombre p de positives, et un nombre q de négatives. Donc l’équation F'x = o aura nécessairement ^ — 1 racines réelles positives , q — 1 racines réelles négatives , et de plus une racine réelle qui pourra être positive ou négative; car puisque, entre deux racines consécutives de l’équation Fx o , il en tombe nécessairement une de l’équation F'x ss o , il en tombera p — 1 positives entre les p positives , q — - 1 négatives entre les q négatives, et une entre la plus petite positive et la première négative, qui pourra être positive ou négative.
Donc , si l’équation Fx = o a ptus de racines |>ositives que l’équation F'x = o, elle ne peut en avoir qu’une de plus, et si elle a plus de racines négatives que celle-ci, elle n’en peut avoir qu’une de plus-
Or , comme touttf équation a toujours un nombre pair ou impair de racines positives, suivant que sou dernier terme est positif ou
NOTE VIII
négatif (Note II), il s’ensuit que si les derniers termes sans x des équations Fx = o , F'x = o, sont de même signe, l’équation Fx ne pourra pas avoir une racine positive de plus que l’équation . . . F'x = o ; donc, dans ce cas, elle ne pourra avoir qu’une racine négative de plus que cette dernière équation , et par conséquent aussi elle ne pourra avoir une racine positive de plus que celle-ci, que dans le cas où les derniers termes des memes équations seront de signes différons.
Donc , en général , l’équation Fx = o ne pourra avoir qu’une racine positive ou négative de plus que l’équation F'x = o , suivant que leurs derniers termes sont de signes différons ou de même signe. Par la même raison , l’équation F'x = o ne pourra avoir qu’une racine positive ou négative de plus que l’équation F"x = o, suivant que leurs derniers termes seront de signes différons ou de même signe, et ainsi de suite.
Or on voit , par les formules ci - dessus ; que le dernier terme de l’équation Fx = o est V, que le dernier terme de l’équation F'x = o est T , que le dernier terme de l’équation F'x s= o est aS j et ainsi de suite ; de sorte qu’en prenant ces équations à rebours ,
la ( m — i)*”' aura pour dernier terme a. 3 ( m — i)A,
la ( m — a)*” aura pour dernier terme a. 3 ( m — a ) B ,
la ( m — 3 )**" aura a . 3 ( m — 3 ) C pour dernier terme ,
et ainsi de suite. Mais la ( m — i )*”" équation ou Ft= 0 x = o , devient
a.3.4> • • • mx ■+■ i .a.3.» . . (m — i)A = o,
qui a , comme l’on voit , la racine positive ou négative — ^ ,
suivant que A est négatif ou positif. Donc la ( m — a )'“* équation ne poùrra avoir une racine positive ou négative de plus que celle - ci , qu’uutant que B sera de différent ou de même signe que A. De même , la ( m — 3 )*"" équation ne pourra avoir une racine positive ou négative de plus que la (m— <a)*"*, qu’autant que C sera de différent ou de même signe que &, et ainsi de suite.
D’ou l’on peut conclure que l’équation Fx = o ou
xr -f- Ax^~' -+• Bx” - * -f- Cx”~î + etc. + Y = o,
• ao. .
NOTE VIII
ne peut avoir plus de racines positives ou négatives qu’il y a dans cette équation de termes consécutifs de différent ou de même sigue , c’est-à-dire que de variations ou de permanences de signes; par conséquent , si l’équation a toutes ses racines réelles , elle -aura précisément autant de racines positives que de variations, et autant de négatives que de permanences.
C’est là le fameux théorème de Descartes , que les Anglais attribuent à Harriot, et dont on a différentes démonstrations données par De Gua , dans les Mémoires de Paris; par Segner et Epinus , dans ceux de Berlin ; par Kestner, dans le Commentaire sur l’Arithmétique de Newton, etc. J’ai rapporté la précédente, parce qu’elle découle naturellement de notre analyse; cependant la plus simple de ces démonstrations est celle que Segner a donnée dans les Mémoires de Berlin de l’année 1756. Elle consiste simplement à faire voir qu’en multipliant une équation quelconque par x — a, on augmente d’une unité le nombre des variations de signe , et qu'en la multipliant par x-f-a, on augmente aussi d’une unité le nombre des permanences, quelle que soit la valeur des coefliciens de l’équation.
6. Nous allons considérer maintenant les racines de l’équation Fx=o, comme réelles ou imaginaires.
Soient, comme ci-dessus, et, fi , y , etc. les racines réelles de l’équation Fx = o , et a, , /3, , y,, etc. les racines réelles de l’équation Pat = o, ces racines étant rangées par ordre de grandeur. Je dis que des racines a, fi, y, etc. il ne peut y en avoir qu’une qui soit plus grande que a,, qu’une qui tombe entre a, et fi,, qu’une qui tombe entre fi, et y, , et ainsi de suite ; et enfin une seule plus petite que la plus petite des quantités et,, fi,, y t , etc. Car si a et fi, par exemple, étaient à la fois plus grandes que a , , comme entre les deux racines et et fi il doit tomber nécessairement une racine de l’équation F'x=ro, cette racine serait alors plus grande que et, ; donc et, ne serait plus la plus grande des racines de F'x o , comme on le suppose. De même, si deux racines fi et y tombaient à la fois entre les deux a, et fi , , comme entre fi et y, il doit nécessairement tomber une racine de l’équation Fx = o, cette racine tomberait aussi entre a, et fi,, contre l’hy-
NOTE VIII. j5 7
pothèse, puisque celles-ci sçmt supposées se suivre relativement à leur grandeur, et ainsi de suite. Enfin, si plusieurs des racines a, 0 , y , etc. se trouvaient plus petites que la plus petite des racines «, , 0,, y„ etc. , comme il tomberait nécessairement entre elles des racines de l’équation F 'oc = o , ces racines seraient donc encore plus petites que la plus petite des mêmes racines a,, 0,, j-./etc. , ce qui ne se peut.
Or, puisqu’on a en général
il est clair qu’en substituant a, au lieu de x, si aucune des racines “ > y, etc. n’est plus grande que a, , la valeur de Fx sera positive ; et si la seule racine a est plus grande que a, , la valeur de Fx deviendra négative, puisque, dans le premier cas, tous les facteurs simples seront positifs, et que, dans le second, il n’y en aura qu’un de négatif, le polynôme fx conservant toujours une valeur positive.
. Supposons ensuite qu’on substitue 0, au lieu dex, et si aucune des racines a, y , etc# ne tombe entre a, et /3, , cette substitution donnera une valeur de Fx de même signe que la substitutionde a, ; mais elle donnera une valeur de signe contraire, si uue des racines tombe entre a, et 0,. Car il est visible que tout produit, comme (a, — a) (0, — a) est toujours nécessairement positif, tant que la quantité a est à la fois plus grande ou plus petite que chacune des quantités a, , 0, ; qu’au contraire, il est nécessairement négatif si la quantité a se trouve entre les deux quantités a, et 0„ c’est-à-dire plus grande que l’une d’entre elles et plus petite que l’autre. Or, la substitution de a. , au lieu de x dans Fx , donne
et la substitution de /S, au beu de x dans la même fonction , donne
(0i ®) (0, —0) (0, — y) x/ftï
donc le produit de ces deux quantités, savoir, la valeur de Fa, x F/3, , sera de la forme
NOTE VIII
Donc ce produit sera positif si aucune des quantité» «, jS, y, etc. ne tombe entre les quantités «, , /3, ; et il sera négatif si une seule des quantités a , /3 , y , etc. tombe entre les quantités a, , fi, , puisque les quantités fa, et fl 3, sont toujours essentiellement positives; par conséquent, les valeurs de Fa, et de F/0, seront de même signe dans le premier cas, et de signe différent dans le second.
On démontrera de la même manière , que la substitution de y, au lieu de x dans Fx , donnera un résultat de même signe ou de signe contraire à celui de la substitution de /S, , suivant qu’aucune des racines *, fi, y, etc- ne tombera entre /3, et y,, ou qu’il en tombera une, et ainsi de suite.
Enfin , si l’on désigne par u, la dernière en grandeur des racines a , , /3, , y,, etc., on trouvera, par l'es pression de Fx en facteurs, que le résultat de la substitution de «, au lieu de x dans Fx, sera positif ou négatif, suivant qu’aucune des racines a, fi, y, etc. ne sera plus petite que u, , ou qu’il y eu aura une plus petite que u, , le nombre de ces racines étant pair; et que, lorsque ce. nombre sera impair, le même résultat sera, au contraire, positif ou négatif, suivant qu’une des mêmes racines sera plus petite que u , , ou qu’aucune d’elles ne sera moindre que u,. Or comme le nombre des racines imaginaires est toujours pair , le nombre des racines réelles a , /3 , y , etc. de l’équation Fx =* o , sera nécessairement pair ou impair, suivant que le nombre total des racines, c’est-à-dire le degré m de l’équation, sera lui-même pair ou impair.
•j. On pourra donc toujours juger de la nature des racines d’une équation quelconque de degré m, Fx = o par celles de l’équation dérivée F'x = o , qui est toujours d’un degré moindre d’une unité. Car ayant les racines réelles a,, j0,, y , , etc. o,- de celles-ci, qu’on suppose rangées par ordre de grandeur , il n’y aura qu’à les substituer successivement, auJieu de x, dans l’équation proposée; on en conclura, i°. qu’elle aura ou n’aura pas une racine plus grande que a,, selon que Fa, sera ■< ou > o.
2 ®. Qu’elle aura ou n’aura pas une racine comprise entre a, et fi , , selon que F/3, sera de signe différent ou de même signe que F«,.
S O TE VIII
3°. Qu’elle aura ou n’aura pas une racine comprise entre /3, et y,, selon que Fy, sera de signe différent ou de même signe que F/B,, et ainsi de suite.
Et qu’enfin elle aura ou n’aura pas une racine plus petite que u,, selon que Fu, sera positif ou négatif dans le cas de m impair, et négatif ou positif dans le cas de m pair.
Ainsi l’on connaîtra par ces règles, non-seulement le nombre des racines réelles de la proposée, mais encore leurs limites; et si l’on veut compléter ces limites à l’égard des racines plus grandes que a, , ou plus petites que u,, il n’y aurait qu’à chercher encore, par les méthodes du chap. IV (n° ta), les limites des racines positives et des racines négatives de l’équation proposée.
Nous remarquerons ici, à l’occasion des règles données dans cet endroit, d’après Newton et Maclaurin , pour trouver ces limites, que Rolle les connaissait déjà, comme on le voit par les chapitres V et VI du second livre de son Algèbre.
8. Nous avons suppose jusqu’ici que I’cquation proposée pouvait avoir des racines imaginaires mêlées avec les réelles ; examinons présentement ce qui doit résulter de la supposition que toutes ses racines soient réelles.
Il est d’abord évident que l’équation Fx=0 du degré m, aura m racines réelles, et que l’équatiou dérivée F'x —o du degré m — i aura aussi nécessairement m — i racines réelles , puisque, entre deux racines réelles consécutives de l’équation Fx = o , il tombe toujours une racine réelle de l’équation F'xs=o. Par la même raison , la seconde équation dérivée F"x=o aura aussi nécessairement toutes ses racines réelles, et ainsi de suite.
Ainsi la première condition pour qu’une équation ait toutes ses racines réelles , est que ses équations dérivées aient aussi toutes leurs racines réelles; mais celles-ci pourraient avoir toutes leurs racines réelles, sans que l’équation primitive en eût aucune.
Supposons donc qut» les m — i racines a,, /3,, y, etc. de l’équation F'x s o soient toutes réelles;, et voyons quelle» sont les conditions nécessaires pour que les m racines a, /3, y r eto. de l’équation Fx=o soient aussi nécessairement réelles. Puisque
ROTE VIII
iBo
nous avons démontré , en général , que les racines réelles de l’équation Far =s o ne peuvent tomber plus d’une à la fois dans charpie intervalle entre deux racines consécutives de l’équation Far = o , et qu’il ne peut y en avoir aussi qu’une plus grande et une plus petite que la plus grande et la plus petite de cette équation ; il est encore évident que , lorsque scs racines sont toutes réelles , et au nombre de m, elles doivent nécessairement être telles que a soit plus grande que «, , que p tombe entre et, et /3,, que y tombe entre fi, et y, , et ainsi de suite. Au contraire, si elles n’étaient pas toutes réelles, comme le nombre des réelles ne pourrait alors surpasser m — a, et serait, par conséquent, moindre que celui des racines a,, /3,, y,, etc. , il est visible que la même disposition ne pourrait plus avoir lieu , et qu’il y aurait nécessairement quelque intervalle entre ces dernières racines, dans lequel il ne tomberait aucune de celles de l’équation Far = o, ou au moins qu’aucune de celles-ci ne serait plus grande ou plus petite que la plus grande ou la plus petite des racines a,, /3 ,, y,, etc.
Donc , par ce qui a été démontré ci-dessus , si l’on substitue successivement , au lieu de ar, dans Far, toutes les racines a,, j3 ,,y,, etc., on aura nécessairement, dans le premier cas,
F«, <o, F/3,>o, Fy, < o, etc.,
et, dans le second cas, il y aura une ou plusieurs de ces conditions qui n’auront pas lieu.
D’un autre côté , en substituant successivement les mêmes racines a,, /3, f y,, etc. dans la seconde fonction dérivée F'ar , on aura toujours , comme on l’a vu plus haut ,
F'*, > o, F'jS, < o , T'y, > o , etc.
Donc , en combinant ces conditions avec les précédentes , on en conclura que lorsque les racines de l’équation donnée Far = o sont toutes réelles , les quantités F*, x F"*, , F/3, X F'/ 3, , Fj^, x T'y , , etc. seront toutes négatives , et qu’au contraire il y en aura nécessairement de positives si l’équation donnée a des racines imaginaires.
NOT,E VIII
On aurait le même résultat si l’on considérait les quotiens — ,
etc., et en général des fonctions de la forme M(Fot,)T ( F'a, )",
M(F/S,)^(F"/3,)' etc., M étant un coefficient positif ou une fonction quelconque essentiellement positive, et f*, y des nombres entiers impairs positifs ou négatifs.
Or, si l’on fait Fx X F''x=y, ou en général M(Fx/* x (F*'x)' —y, et qu’on élimine ensuite x au moyen de l’équation F'x=o, dont les racines sont /3,, y,, etc., on aura une équation en y du même degré que cette équation , et dont les racines seront les valeurs dey, qui résulteraient de la substitution successive des racines et, , /3 t , y, , etc. à la place de x. Donc , si ces valeurs sont toutes négatives , l’équation en y n’aura que des racines négatives , et par conséquent tous ses termes auront le signe plus. Et réciproquement , si tous les termes de cette équation ont le signe plus , elle n’aura que des racines négatives , et les valeurs de y seront toutes négatives.
ç). On peut conclure de là que les caractères de la réalité des racines de l’équation Fx = o, sont que l’équation dérivée F'x = o ait toutes ses racines réelles, et que l’équation en y résultante de l’élimination de x, au moyen de cette dernière équation et de
l’équation Fx x F'x =y , ou M (Fx)^ (F'x)’ —y, aij tous ses termes positifs.
En appliquant les mêmes raisonnemens à l’équation dérivée Fx=o, on en conclura aussi que les caractères de la réalité de ses racines, sont que la seconde équation dérivée F"x = o ait toutes ses racines réelles , et que l’équation en y résultante de l’élimination de x , par le moyen de celle-ci et de l’équation F'x X F"'x =y , ait tous ses termes positifs, et ainsi de suite.
Donc enfin , pour avoir tous les caractères de la réalité des racines de l’équation Fx = o, on fera , i°. y = Fx x F'x , et l’on éliminera x, au moyen de l’équation Fx = o ; on aura la première équation eu y.
a®. On fera y=Fx xF n 'x, et on éliminera x, au moyen de l’équation F'x = o; on aura la seconde équation en y.
NOTE VIII
3 °. Ou fera y = F"* X F ,T x , et on éliminera x , au moyeu de l’équation F"'x = o ; on aura la troisième équation en y et ainsi de suite.
Ces équations en y seront au nombre de m — i , si l’équation primitive Fx = o est du degré m, parce que la m"*' fonction dé- « rivée de Fx sera constante, et ne contiendra plus x.
10. Cela posé, les caractères de la réalité des racines de l’équaliou Fx = o, se réduiront à ce que tous les termes de ces différentes équations en y soient positifs , c’est-à-dire du même signe que le premier dans chaque équation.
Or il est aisé de voir que l’équation Fx =o étant du degré m, les fonctions dérivées F'x, F'x, etc. seront successivement des degrés m— i, m — a, etc., et que les équations en y seront aussi de ces mêmes degrés; elles fourniront, par conséquent, chacune autant de conditions ; de sorte que le nombre total des conditions sera
m — i+m — i-\-m — 3 -f-etc. , ou i-f-2-t-3-f-elc.-(-m — i = — .
Nous avons déjà vu, chap. V (n° 28), qu’on peut déduire les caractères de la réalité de toutes les racines d’une équation de son équation des différences , laquelle doit avoir pour cela tous ses termes alternativement positifs et négatifs ; ce qui donne autant de conditions qu’il y a '‘d’unités dans le degré de cette équation ; de sorte
que mêlant le degré de l’équation proposée, ^ — — sera le nom-
bre des conditions nécessaires pour la réalité de toutes les racines. Ainsi les deux méthodes donnent le même nombre de conditions ; ce qui est d’autant plus remarquable, que, dans les équations du troisième efesdu quatrième degré, les conditions de la réalité des racines sont réductibles à un moindre nombre, comme on l’a vu dans le chapitre cité (art. 1 1 1).
Mais la méthode précédente a cet avantage, que les conditions trouvées pour la réalité des racines des équations d’un degré quelconque , peuvent servir pour tous les degrés plus élevés; ce qui n’a pas lieu à l’égard de celles qui résultent des équations des différences. Ainsi ou pourrait facilement construire des tables qui contiendraient
NOTE VIII
successivement les caractères de la réalité de toules les racines , en commençant par l’équation du second degré , et remontant successivement aux équations plus élevées.
1 1 . Pour donner un essai de ces tables , nous commencerons par la fonction la plus simple de x, qui est x° ou i , que nous désignerons par X, et nous remonterons successivement aux fonctions primitives, que nous désignerons par x„ X (J , x«, etc., en sorte que X sera la fonction dérivée de X,, X, la fonction dérivée de X (l , et ainsi de suite. Nous aurons ainsi , en multipliant ces fonctions par les nombres 3 , 3, 4» etc., pour éviter les fractions, et ajoutant successivement les constantes A , B , C , etc. ,
2 X„ s= x* -f- aAx 4 * B , a . 3X, U = x 5 4- 3 Ax* 4- 3Bx 4 - C , a.3.4X„ = x* -f- 4Ax> 4- 6 Bx* + 4Cx + D, etc.
Maintenant , pour l’équation du second degré , x* 4 - aAx 4 " B = o ,
an fera y — aXX () = x* 4 - aAx B , et l’on éliminera x , au moyen de l’équation X' ss o , ou x4- A = o , on aura l’équation en y
Donc A* — B > o sera la condition de la réalité des racines de L’équation proposée.
Pour l’équation du troisième degré,
3 ? 4* 3Ax* 4” 3Bx 4* C = o ,
on aura d’abord la condition précédente ; ensuite on fera
y = a.3X,X,„; savoir,
r = (x+A) (x s 4 - 3Ax* 4- 3Bx 4- C )
= x* 4* 4Ax* 4" 3(A* 4“ B)x* 4" (3AB 4* C)x 4” AC ,
ai..
NOTE VIII
et l’on éliminera X , au moyen de l’équation X„ = o , ou
x* aAx + B = o ; on trouvera cette équation du second degré ,
y* -f- a(Aa — b) y -4- a*B — aabA -f- b‘ = o ,
en faisant pour abréger ,
a = a A 5 — 3 AB -f- C , b = A‘B — aB* + AC;
ainsi on aura, de plus, ces deux conditions,
, A a — b > o , a’B — aabA -f- b‘ > o.
Pour l’équation du quatrième degré ,
x 4 -f- !\Ax* -f- 6 Bx* -J- 4C* -f- D = o ,
on aura d’abord les trois conditions précédentes ; ensuite on fera
y = (x* + aAx - 4 - B) (x 4 •+• 4Ax* -f- 6 Bx* -f- 4Cx -f- D) ,
et éliminant x, au moyen de l’équation X UI — 0 , ou
x* -|- 3Ax* *4- 3Bx -f- C = o , on aura une équation en y du troisième degré, qui, étant représentée par y 3 -f- My* + Ny -}- P — o, donnera, de plus, les trois conditions
et ainsi de suite.
la. Au reste, nous ne devons pas oublier une très belle conséquence que De Gua a tirée de sa théorie ; voici en quoi elle consiste.
Si, dans l’équation Fx = o, l’on substitue a -f- z à la place de x, on a, par la formule du développement des fonctions, la transformée
Fa
.Ta .
etc. -f- 2 * sss 0 ,
dont on peut faire disparaître un terme quelconque, contenant, par exemple , la puissance z*, en déterminant a de manière que
NOTE VIII
i’on ait F"a ss o. Or , nous venons de voir que si toutes les racines de l’équation Far = o , sont toutes réelles , les valeurs de F* - 'x et F^'x sont nécessairement de signes contraires pour toutes les valeurs de x qui résultent de l’équation F\r = o ; donc aussi les valeurs de F’ - 'a et de F" + ‘a seront de signes contraires pour toutes les valeurs de a résultantes de l’équation F*a = o. D’où il suit que si l’on fait évanouir un terme quelconque de la transformée en z , les deux termes voisins auront nécessairement des signes dilTérens , si -la proposée a toutes ses racines réelles ; par conséquent , elle aura des racines imaginaires , si les termes voisins de celui qui disparaît ont le même signe , et de là on peut conclure aussi que toute équation à laquelle il manque des termes , a nécessairement des racines imaginaires , si les termes voisins de ceux qui manquent, sont de même signe.
13. Lorsque tontes les racines de l’équation sont réelles, on peut trouver leurs limites sans le secours d’aucune autre équation , par le moyen de la seule règle de Descartes , dont nous avons parlé plus haut (n* 5). Car si l’on diminue, par exemple, toutes les racines d’une équation en x de la quantité a, en y substituant z-J- a à la place de x, la transformée en z on en x — a aura autant de variations de signes de moins qu’il y aura de racines positives de l’équation en x qui seront devenues négatives dans l’équation en x — a; et par conséquent, parmi les racines positives de l’équation en x, il y en aura autant qui seront moindres que a. Donc, si l’on forme successivement les transformées en x — i , x— a, x — 3 ,' etc. , chaque variation de signe qui disparaîtra d’une transformée à l’autre, par exemple, de la transformée en x — n à la transformée en x— n— i, indiquera une racine positive moindre que n-f-i, mais non moindre que n, et par conséquent contenue entre les limites n et n-f-i. On pourr.1 trouver ainsi successivement les premières limites des racines positives', et l’on aura de même celles des racines négatives, par la considération des permanences dans les
p transformées en n-f- î, n-f-a, etc.
14 . J’ignore si cette remarque avait été faite avant le Mémoire que M. Budan présenta à l’institut en >8o3 , et qu’il vient de publier avec des augmentations , sous le titre de Nouvelle Méthode
NOTE VIII
pour la Résolution des Équations numériques. L’auteur y donne un moyen simple et élégant de former les coefliciens des transformées en x — 1 , x — a , etc. ; et appliquant la règle de Descartes à ces transformé»» , ainsi qu’à d’autres déduites de celleslà , il trouve les limites de toutes les racines et leurs valeurs aussi approchées qu’on veut. On peut dire que cet Ouvrage ne laisse rien à désirer sur la résolution des équations numériques dont toutes les racines sont réelles, et il pourrait, à cet égard, servir de supplément au présent Traité.
Au reste, si l’équation avait des racines imaginaires, il pourrait disparaître des variations de signe d’une transformée à l’autre, sans qu’aucune des racines réelles positives devînt négative, comme on peut
s’en convaincre aisément par des exemples ; ainsi l’équation
jc 5 — 2x* 6x — ii=o a pour transformée en x — 1 ,
(x— • 1)’ -f- [x — i)*-J- 5 (x — 1) — 6 = 0, où l’on voit que deux variations de signe ont disparu ; cependant elle n’a pas de racines entre o et 1.
Mais si le nombre des variations de signes qui disparaissent d’une transformée à la suivante, était impair, on en pourrait toujours conclure l’existence d’une racine réelle positive; car cela ne peut arriver, à moins que le dernier terme ne change de signe. Or, il est visible que les derniers termes des transformées enx — », x — n — 1 , ne sont autre chose que les résultats des substitutions de » et de » -f- 1 à la place de x dans la proposée, parce que ces transformées se réduisent à leur dernier terme , en y faisant x = n — n -j- 1 ; ainsi il doit nécessairement y avoir une racine réelle entre n ef « — f- x , (chap. I", n" 1). La transformée en x — a de l’équation ci-dessus est (x — -f-4 (x — a)*-f- 1 o'(jc — a)-f-i=o, qui a une variation de moins que la précédente; aussi y a-t-il une racine de la proposée entre 1 et a.
MttVIVtMVVl
NOTE IX
Sur la forme des racines imaginaires.
i. Lorsqu'on eut trouvé les formules générales des racines des équations du troisième et du quatrième degré , on remarqua que les racines imaginaires de ces équations se réduisent , comme celles des équations du second degré, à la forme /» •+- <7 1/ — 1, p et q étant des quantités réelles; et l’on fut porté à conclure que les racines imaginaires de toutes les équations étaient toujours réductibles à la même forme. Cependant on ne pouvait pas adopter cette proposition générale sans démonstration ; et ce n’est qu’après plusieurs tentatives qu’on est parvenu à s’eu convaincre par des preuves rigoureuses. Comme ce point de la théorie des équations est un de ceux dont les géomètres se sont le plus occupés dans ce siècle, j’ai cru qu’on ne serait pas fâché de trouver ici un exposé succinct des diflerentes recherches qu’il a occasionnées.
a. D'Alemùert est le premier qui ait envisagé celte question d’une manière générale, dans sa Pièce sur les Vents, et dans les Mémoires de l’Académie de Berlin , pour l’année 1746.
11 démontre d’abord qu’une quantité algébrique quelconque, composée de tant d’imaginaires qu’on voudra, de la forme a-\-b \/ — j , peut toujours se réduire à lu même forme. Cela se voit facilement pour les quantités formées par multiplicatiou , division, et élévation aux puissances entières : on pourrait le démontrer en général pour les quantités de la forme (« -f- b\/— 1 ', pm- développement
ordinaire du binôme ; mais pour avoir des expressions finies , d'Alembert emploie d’une manière ingénieuse, la différentiation et l’intégration, en faisant varier les quantités a, l, p et q dans l’équation
Cq>endant il faut avouer que l'emploi du calcul diilérentiel est
NOTE IX
peu naturel dans une question comme celle-ci , où la considération des infiniment petits ou des fluxions, est tout-à-fait étrangère, puisqu’il ne s’agit que d’une simple transformation algébrique. Mais les fonctions dérivées se présentent , au contraire , très naturellement , et offrent même ici un des exemples les plus propres à montrer l’usage de leur algorithme dans l’Algèbre.
