En effet , si l’on ' considère l’équation identique
(x 4 -jrV — = p + çy'—t ,
en regardant/ - comme une fonction donnée de x, et p, q comme des fonctions inconnues de x qu’il s’agit de déterminer , les fonctions dérivées des deux membres formeront encore une équation identique ; on aura ainsi
(mH-nj/— i) (*-(-/ -hr'v/-!) =/+ ÿV-i i
divisant cette équation par l’équation primitive , on aura
(m + wt/— .) (. 4 -jV— O p + g V— ■
*+yV— < p+jv'— 1 1 ’
équation qui sera, par conséquent, encore identique.
Qu’on multiplie le haut et le bas de la fraction du premier membre, par x —j \/—i , et le haut et le bas de la fraction du second membre, par p — q\/ — i pour faire disparaître le radica.
t du dénominateur , et qu’ensuite on compare la partie réelle du premier membre avec la partie réelle du second , et l’imaginaire avec l’imaginaire , on aura ces deux équations
"H» -H y/) — »(*/ —y) pp 4- qq
«*- hr* />*+?* ’
' d*-kr/) + mfcy'— y) P'/ —ip
Qu’on prenne maintenant les fonctions primitives , on aura , en désignant par l les logarithmes hyperboliques, et par Atang l’angle de la taDgenie ,
NOTE IX
in l. i/(x* +y‘) — nA tang ^ = /. \/( p‘ -f* <7*) ■+■ R ,
n l, i/(x* +7 J )+mÀt8ng- = Atang • * P
K et H étant deux constantes arbitraires qu’il s’agit de déterminer conformément à l’équation primitive donnée. Or, en faisant dans celte équation y — o et x = 1 , on a y = o et /> = 1 j et cci suppositions étant introduites dans les équations précédentes , donnent K = o et H = o.
Si donc on fait, pour plus de simplicité, x =«coss , y = usinz, ce qui donne
et ensuite
on aura
u = v/(x* +y‘) , tang s ~ y - , p s= r cos s , q = r sin s , ^
Ir e mlu — ns, s = n/u -f- ms,
et repassant des logarithmes aux nombres
e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité»
Ainsi r et s, et par conséquent p et q , seront des fonctions réelles, en supposant x,y, m, n des quantités réelles.
4. On peut , par ces formules , réduire à une forme réelle l’expression des racines des équations du troisième degré, dans le cas irréductible. Car l’expression générale de x dans l’équation
x 5 — 3 Mx — aN = o , étant , comme l’on sait ,
1/.[N+ y^(N* — M 1 )] + & [H - ✓(«’ - M’Xf,
NOTE IX
laquelle , dans le cas irréductible où M 5 > N*, devient
t/[N+t/(M 5 -N*)|/-i] + fa»— ^(U'-NV— i],
si l’on fait dans les formules précédentes
on aura «= j/M 1 , tan g s = ^ , et de là r=s«’=: y/M,
s = J ; donc on aura
✓ [N =fc v/(M J — N*). »/— 1 ] = t/M (cos| =fc sin l »/— «)’
et la somme des deux radicaux sera ay/M.cos^.
Or, comme à la même tangente répondent les angles
s, z -f -aA, z -f* 4 Cl, A étant l’angle droit, l’expression a cos aura ces trois valeurs différentes,
av/M.cosj, ay/M.cos 0 -f-y), a/M.cos 0 + ^ ,
qui seront les trois racines de l’équation proposée, et qu’on trouvera ainsi facilement par les tables trigonométriques.
. 5. Au reste, il est bon de remarquer que, lorsqu’il ne s’agit que de radicaux pairs, on peut faire la réduction dont il s’agit par les simples opérations de l’Algèbre ordinaire. En effet , soit la quantité | /{a-\- — i) à réduire; je considère la quantité
j’aurai , en élevant au carré ,
aa -f- 3|/(a* + b') = u*,
quantité toujours nécessairement positive en prenant le radical positivement ; donc « sera une quantité réelle.
Je considère ensuite la quantité
✓(« + h V— ')— ✓(« — ty— »)==<}
wi n
NOTE IX
je trouve de même , en carrant ,
an — s/fa* +• *') = **>
quantité essentiellement négative ; ainsi on aura <* s= — T*, et t = V / — i , V étant une quantité réelle : de là , on aura
/(a =fc A/ — i) = j(«±V / — i).
Considérons de même la quantité
t/(a 4- */— •) -1- /(« — by/— i) = s ; on aura, en carrant,
/(a -f- b\/— i) 4- 34 /( 0 * + b‘) 4- /(« — Al/— 1 )
quantité essentiellement positive , en prenant le radical positivement ; donc s sera une quantité réelle.
Considérons ensuite la quantité
on aura de la même manière
quantité essentiellement négative; car u* s= aa 4- a /( o* -f- A* )
< 4 /( 0 * 4" **)> et P® r conséquent u < 3 /(a* 4“ **)• D° nc > faisant r* = — S*, on aura rs=z S/-—! , S étant une quantité réelle; donc
V'i 0 dfc A/ — 1) = %(s rfc S/— i), et ainsi de suite.
6. Ces réductions supposées, cT A lembert considère une courbe quelconque , dont l’ordonnée y soit nulle ou infinie , lorsque
NOTE IX
l’abscisse x est nulle ; et il observe que , quelle que puisse être l’équation de la courbe , on peut toujours , lorsque x est très petite , avoir la valeur de y en x, au moyen du parallélogramme de Newton , exprimée par une série très convergente de la forme «
y = ax‘ -{- éx* -f- ex* -f- etc. , dans laquelle les exposans de x sont imaginés aller en augmentant , et dont on peut toujours supposer que tous les termes sont réels , en faisant x positive ; car on peut faire répondre les x positives à la branche où les y sont réelles. »
En faisant x négative, les termes où x se trouve élevée à des puissances fractionnaires dont le dénominateur est un nombre pair, deviennent imaginaires; et par le théorème précédent, ils seront toujours réductibles à la forme p-\-qÿ — i, p et q étant des quan- 1 1 tés réelles. Donc toute la série, et par conséquent la valeur de y, lorsqu’elle devient imaginaire , sera aussi de la même forme tant que x sera très petite.
Maintenant , quelle que soit la valeur de y pour une de x quelconque, on peut toujours supposer y =/? -f- qÿ ' — i , p et q étant des quantités indéterminées ; et comme cette valeur est réellement double, à raison du radical \/ — i , les quantités p et q seront exprimées par deux équations qu’on aura en substituant p-\-q \/ — i, au lieu de y , dans l’équation de la courbe, et égalant séparément à zéro la partie toute réelle de la transformée , et la partie multipliée par \/ — i ; ces équations contiendront les quantités p et q mêlées ensemble ; mais on pourra , par les méthodes connues, les changer en deux autres, dont l’une ne renferme que p et x, et l’autre q et x.
Or, si y n’est pas toujours de la même forme p ~i~q V — i, p et q étant des quantités réelles pour toutes les valeurs de x, soit a la plus grande valeur de x , pour laquelle y , sera de cette forme , et soit p=b , q = c lorsque x — a. Supposons x=<»-f-i, et" p = b -Ç-r, q = c -f- s : en substituant ces valeurs dans les deux équations en ^ cl y, on aura deux équations , l’une en r et i , et l’autre en s et i, dans laquelle t = o donnera r — o et s = o, et qui, par la démonstration précédente, donneront r et s de la forme p + q\/— i , lorsque i sera très petite, si rets deviennent O
imaginaires. On aura donc alors r—tt-j- fi\/ — i, — i ,
a, fi, y, «f étant des quantités réelles; donc p—b~\-a.-\~fi\/ — i, 9 =of->-t-jy— i , et par conséquent, y~=b^pa . — V — * » c’est-à-dire de la même forme p-j~q\/— i. Donc a n’est pas, comme on l’a supposé , la plus grande valeur de x qui donne y de cette forme ; donc la valeur de y , lorsqu’elle est imaginaire , sera toujours de cette meme forme , quelle que soit la valeur de x.
Cette conclusion générale s’applique naturellement aux équations d’un degré quelconque , à une seule inconnue ; car nommant^ l’inconnue de l’équation , et supposant le dernier terme égal à x, on aura une équation entre x et y , dans laquelle x = o donnera y=o, et qui sera susceptible de la démonstration précédente. Donc, quelle que soit la valeur du dernier terme x , celle de y, si elle devient imaginairo, sera de la forme p- \r ‘{V — >•
L’équation ayant ainsi une raciue imaginaire de cette forme, en aura nécessairement une autre de la forme p — q\/ — i, puisque le calcul est le meme pour les deux racines , à cause de l’ambiguité du radical i; elle aura donc les deux fadeurs y — p — q )/ — i ; et y — p-*r<}V — 1 > qui forme le facteur double réel y' — a py +P‘+r, et sera, par conséquent , divisible par ce facteur ; ce qui l’abaissera à un degré moindre de deux unités , et l’on pourra appliquer à cette nouvelle équation les mêmes raisonnemens et les même; conclusions , et ainsi de suite.
7. Celte démonstration est incomplète; car quoique dausuue équation à deux indéterminées on puisse toujours exprimer l’une des indéterminées par une série de puissances ascendantes de l’autre indéterminée, il |>eut arriver que les coeflkiens des termes de la série dépendent eux-mêmes d’équations qui n’aient point de racines réelles, ce qui introduirait dans la série d’autres imaginaires que celles qui viennent des puissances de l’indéterminée. Mais on peut, sur les mêmes principes, fonder une démonstration plus rigoureuse, et en même temps plus générale et plus simple, de la manière suivante.
Soit l’équation
x" -f- Ax"~‘ -f- Bx" - ‘ -f- etc. -f- V = o, que nous représenterons, pour plus de simplicité, par/x-f- \ = o,
NOTE IX
fx étant une fonction rationnelle et entière de x , qui contient x dans tous ses termes. Nous supposerons que cette équation n’ait point de racines réelles, parce que si elle en a, on peut les éliminer, en divisant l’équation par les facteurs simples réels qui résultent de ces racines.
Il est clair que si l’équation proposée n’a pas de racines réelles dans l’état où elle est, c’est-à-dire tant que ses coefliciens ont les valeurs données, elle peut en recevoir en changeant seulement la valeur du dernier terme V ; car en prenant une quantité quelconque K , et faisant V = — f K , l’équation fx — fK = o aura la racine réelle K. Considérons donc une des racines imaginaires de l’équation fx -f- V =o, laquelle devienne réelle en faisant varier la valeur de Y, et supposons qu’elle ne demeure imaginaire que tant que la valeur de V sera entre les limites a et b , a étant < b , de manière que x ait une valeur réelle a dans l’équation fx -f-a = o, et une valeur réelle /3 dans l’équation fx 4- b = o , et que cette racine soit imaginaire dans l’équation fx -f- a -f- » = o , et dans l’équation fx + b — 1=0, i étant une quantité quelconque positive, aussi petite qu’on voudra. Soit « -f- u la valeur imaginaire de x dans l’équation fx -f- a -f- 1 = o , la fonction fx deviendra , par la substitution de et-f-tt à la place de x, fa. -f- uf'a. -f- -f- etc.,
par la formule connue du développement des fonctions; mais puisque a. est la racine de l’équation /x -f- a = o, on a fa. -f- fl = o ; donc, o = — fk ; ainsi l’équation fx Hra + 1= o deviendra
ufct 4* ~ fx 4* etc. 4- * =o.
Or, si le coefficient fa. n’est pas nul, il est évident qu’en supposant i une quantité très petite , à volonté , on pourra toujours avoir u par une série très convergente et toute réelle ; car on aura
d’abord ttzsa — jr , ensuite, en substituant cette première valeur.*
de u, on aura u = — ^ — une quantité réelle, contre l’hypothèse.
Il faudra donc, pour que u devienne imaginaire, que l’on ait
et ainsi de suite. Donc u sera
NOTE IX
J '* — o ; alors l'équation deviendra
■£/"•+£ 3/'"* + etc. o,
et la première valeur approchée de u sera y/ — , laquelle sera
réelle ou imaginaire, suivant que y 11 * sera une quantité négative ou positive, puisque i est supposée positive.
Si le premier terme de u est réel , il est aisé de voir que tous les autres le seront aussi ; par conséquent , toute la valeur de u sera réelle. Si le coefficient J "a est positif, le premier terme de u sera
imaginaire de la forme \f * V — 1 ? et les termes soivans seront
réels ou imaginaires de la même forme, de sorte que toute la valeur de u sera de la forme p , p et q étant réelles.
Mais si l’on avait en même temps fa. — 0 , alors l’équation devenant
+ dfl f "* + etc. + « = o ,
il est aisé de voir que la valeur de u serait de nouveau réelle , à moins que le- terme qui contient u* ne disparaisse, et qne f"a ne
soit positif; car dans ce cas 011 aurait u = l/i— 1 ; mais
parle théorème démoutré plus haut (n° 5 ), V — 1 est réductible à la forme m + nj/ — i, m et n étant des quantités réelles; donc, la première valeur, approchée de i/,sera de la forme p-f- q \/ — j f e t les termes swivans seront aussi de la même (orme, en sorte que toute la valeur de u sera encore de cette forme, et ainsi de suite.
8 . 11 résulte de là cette conclusion, que lorsqu’une racine a de l’équation fx-\r <1 = 0, est dans le passage du réel à l’imaginaire, on a, non-seulement fa. 4 -<*=*o, mais eucoae /'<* 3=0 et fa. > o , et que si fasso, on aura, de plus ,/'"* = o et f’a, > o , et ainsi de suite. Or , en faisant fx -f- a — Fx , on a f’x = F'x , fx =■ F"x, etc. ; donc, par ce qu’on a vu dans la Note précédente (n* 4 ), fa. — o sera la condition pour qüe la racine « de l’équation
176 , NOTE IX
fx -f* u = o soit double , fa. = o sera la condition pour que cette racine soit triple, etc.
D'où il suit qu’une racine ne peut passer du réel à l’imaginaire, sans devenir double ou quadruple, et en général multiple d’un ordre pair.
On prouvera, de la même manière , en faisant x = /3 u dans l’équation fx -4- è — 1=0, que Ta valeur de u ne pourra devenir imaginaire, à moins que l’on n’ait f fi =0 et f[ï <0, et &[ffi=zo, il faudra, de plus, que l’on ait /"'/3 = o et f ”!2 < o, et ainsi de suite. D’où l’on conclura que dans le passage de l’imaginaire au réel , la racine devient aussi double, ou quadruple, ou, etc.
Cette proposition n’avait été démontrée jusqu’ici que par la théorie des courbes, ou comme une suite du théorème sur' la forme des racines imaginaires.
g. Maintenant, puisque quand la valeur de V est très près des limites a et b , une des racines imaginaires de l’équation fx -f- V = o, • est nécessairement de la forme p- f- 7 1/ — 1, si cette racine n’est pas toujours de la même forme pour toutes les valeurs de V comprises entre ces limites , soit c la plus grande valeur de V, pour laquelle x sera de cette forme ; de manière que , dans l’équation fx -f- c — o , on aitar = /n + nj/ — 1, m et n étant des quantités réelles, et soit m •+• n y/ — i-f-ula valeur de x, lorsque Y sera c -f- », t étant une quantité positive et très petite à volonté. On aura donc f(m-\-ny/ — i)-J-c=o, et f(m-\-n\/ — i-f-K)-f-c-j-» = o; dévelop pant la valeur de u dans la seconde équation , et retranchan t la première , on aura
uf'(m+ ny/— 1) + ^ f'(m -f- n\/— 1) -f- etc. •+■ i = o.
Mais les fonctions dérivées
. /> + «/-!), f'(m-j-ny/— 1), etc.,
ne contenant que des puissances de m+ny ' — 1, sont toutes réductibles à la forme p -\-qV~ 1 ‘ ainsi, en prenant des quantités réelles M, N, P, Q, etc., l’équation précédente deviendra
u(M — 1) + ^ (P-f-Qv' — ') -l-elc. + i = o.
Donc , la première valeur approchée de u sera
i(M — N \/ — i ) M*-fN* 1
et par conséquent de la forme p-\- </[/— t ; cl l’on trouvera que tous les termes suivans de la série, qu’on peut rendre aussi convergente que l’on veut, en prenant i très petite à volonté, seront aussi de la même forme; de sorte que la série entière le sera aussi. On aura donc, pour une. valeur de t* aussi petite qu’on voudra, u = r -f- s y/ — i ; donc la valeur de x sera m -f- r -H (n + s) \/ — i . et par conséquent encore de la même forme p -J- qy / — i , contre l’hypothèse. Donc il n’y a aucune valeur de V intermédiaire entre les limites a et b, pour laquelle la racine x ne soit pas de cette même forme.
Si la fonction .f (m -+■» y/ — i) devenait nulle, alors l’équation en u serait
~ f"(m-\-ny/— i) -f- f"'(m + n,\/— i)-f- etc. -f- i = o ,
et l’on prouverait de même que la valeur de u serait toujours de la forme p-\-q\, / — i , et ainsi de suite. %
Celte démonstration a l’avantage de pouvoir s’appliquer également aux équations qui renfermeraient des fonctions logarithmiques ou circulaires, et en général à toute équation de la forme Fx = o, dans laquelle la fonction dérivée F’x sera réductible à la, forme p q — i , en faisant x = m -f- n \/ — i ; car alors toutes les autres fonctions dérivées F"x , F"'x , etc. seront aussi réductibles à la même forme ; mais ce detail nous écarterait trop de notre sujet.
10. Nous venons de démontrer que dans les équations qui n’ont que des racines imaginaires, il y en a, au moins, deux de la forme pdzqy/— i; on pourra donc- trouver les valeurs de>/7 et q par la méthode du chapitre II ( n° 17 ) , et l’équation sera divisible par x* — spx -f- p‘ -}- q‘ =: o ;• après la divisioiS, elle ne contiendra plus que les autres racines imaginaires; et en y appliquant les mêmes raisonneniens , on prouvera de même que deux
i 7 8 NOTE IX.
de ces racines seront nécessairement de la forme p dxq[/ — i, et ainsi de suite.
Quoique la démonstration précédente soit suffisante pour prouver la vérité de la proposition dont il s’agit , on fie peut disconvenir qu’elle ne soit indirecte , et qu’elle ne laisse encore à désirer une démonstration tirée uniquement des principes de la chose. En effet, nous avons déjà observé que toute racine imaginaire de la forme p-\- qV — 1 suppose le facteur réel du second degré x* — 7px+p'~\-q‘ , ainsi la question se réduit à prouver que toute équation est toujours divisible par des facteurs réels du premier et du second degré; et comme les équations d’un degré impair out toujours une racine réelle , et sont, par conséquent, divisibles par un facteur réel du premier degré, ce qui les rabaisse à un degré moindre d’une unité , il s’ensuit qu’il suffit de considérer les équations des degrés pairs.
1 1 . Descartes a trouvé que l’équation du quatrième degré x 4 + px* ■+• qx ■+• r == o, a deux facteurs du second degré ,
x' tizyx + y --+-'-p^i±'=i o, la quantité jr étant donnée par l’équation
Donc , comme cette équation a son dernier terme négatif, elle a toujours nécessairement une racine réelle (cliap. 1", n* 3); par conséquent, les deux facteurs seront réels en employant cette racine.
Hudde a considéré ensuite l’équation générale, du (uième degré , dans son Traité De Reduclione Æquationum , imprimé à la suite du Commentaire de Scholen sur la Géométrie de Descartes , et il a trouvé que cette équation eit divisible par une équation du second degré, comme x* — yx-f-u=o, dans laquelle le coefficient y est donné par une équation du quinzième degré, et le coefficient u est une fonction rationnelle de y. Or, l’équation du quinzième degré ayant nécessairement une racine réelle, il s’ensuit que le diviseur du second degré pourra toujours être réel en employant celte racine;
NOTE IX
de sorte que l’équation se trouvant ensuite abaissée au quatrième degré, on aura encore deux autres diviseurs réels.
Hudde n’a pas été plus loin; et comme il n’avait trouvé l’équation en y du quinzième degré qu’en lapant le calcul tout au long, il a dû sentir qu’il tomberait dans des calculs impraticables par leur longueur, s’il voulait traiter de même les équations des degrés plus élevés.
i a. On trouve à la fin de l’Algèbre de Saunderson , imprimée en 1740» après sa mort, celte remarque importante, que dans le diviseur x* — yx -f- u = o de l’équation du quatrième degré , le coefficient y est donné par une équation du sixième degré, parce que ce coefficient devant être la somme de deux racines de l’équation du quatrième degré , l’équation en y doit avoir pour racines toutes les différentes sommes qu’on peut faire des quatre racines de la proposée ", prises deux à deux ; et comme ces combinaisons sont au nombre de six, l’équation eu y doit être du sixième degré, comme Descartes l’a trouvé ; mais l’auteur n’appüque cette remarque qu’à un exemple particulier, et n’eu tire d’ailleurs aucune autre conséquence.
Le Seur, l’un des commentateurs des Principes de Newton, a généralisé ce résultat, dans un petit ouvrage sur le calcul intégral , imprime à Rome en 1748. Il prouve , par la théorie des combinaisons , que quand on cherche à diviser une équation du degré m par une équation d’un degré moindre n, les coelficieiis de celle-ci sont donnés nécessairement par des équations du degré
— s — a • g - ! — - , parce que le diviseur devant avoir,
ce qui est évident, n racines communes avec l’cquation proposée, on peut former alitant de diviseurs différons qu’il y a de manières de prendre n- choses sur m choses; et de là il conclut que toute équation du degré !\m -f- a est toujours divisible par un facteur réel du second degré , parce que ce facteur dépend d’une équation qui se trouve d’un degré impair, et qui aura par conséquent une racine réelle; mais on n’en peut rien conclure pour la réalité des diviseurs du second degré des équations dont le degré est un nombre qui n’est pas de la forme ,\n 4- a , parce que ces diviseurs dépendent alors d’équations de degrés pairs.
NOTE IX
i 3 . Euler a approfondi cette théorie dans uii Mémoire imprimé eu 1751, dans le Recueil de ceux de l’Académie de Berlin pour l’année > 749 » et il s’est attaché principalement à prouver que toute équation d’un degré exprimé par une puissance de a , est décotnposable en deux équations réelles d’un degré moindre de la moitié; pour cela, il suppose que l’équation proposée est privée de son second terme; ce qui fait que le coclïïcicnt du second terme est le même avec des signes contraires dans les deux équations dont elle est le produit; et il trouve, par la théorie des combinaisons, que ce coefficient est donné par une équation d’un degré iinpairement pair, qui manque de toutes les puissances impaires, et dont le dernier terme est le carré d’une fonction des racines de la proposée , précédé du signe moins.
Euler suppose que cette function des racines peut toujours être déterminée sans irrationnalité par les cocfficiens de l’équation proposée , et il en conclut que son carré est nécessairement une quantité positive, et que, par conséquent, l’équation qui détermine le coefficient dont il s’agit a deux racines réelles; il arrive, en effet, que cela a lieu lorsque l’équation proposée u’est que du quatrième degré, comme on le voit par les formules de Descartes , rapportées ci-dessus; mais pour les équatious des degrés plus élevés, il faut une démonstration à priori, qu 'Euler n’a point donnée, et qui est même d’autant plus nécessaire , que celte fonction ne contenant pas toutes les racines de la même manière ne parait pas déterminable par une fonction rationnelle des cnefficicns , qui sont euxmêmes, comme l’on sait, des fonctions où toutes les racines entrent également.
Euler considère, de plus, les équations dont les degrés spnt exprimés par les nombres ai, 4 *> 8 * , etc., i étant un nombre impair quelconque, et il trouve qu’elles admettent des diviseurs réels des degrés a, { , 8 > etc., parce que les équations dont ces diviseurs dépendent, sont toutes de degrés impairs; de sorte que, par ce moyeu , toute équation peut se décomposer en équations réelles de degrés exprimés par des puissances de a ; mais la difficulté de décomposer ensuite celles-ci, lorsqu’elles passent le quatrième degré, reste en son entier dans la théorie d'Euler.
i/j. On "peut, éviter cette difficulté , comme Fonceriez: l’a tait dans le premier volume des Miscellanea de Turin , imprimé eu 1 709 , en ne considérant <|ue les diviseurs du second degré. Car soit
le degré de l’équation proposée, r étant un nombre’ impair , si l’on cherche à la diviser par line 'équation du second degré jr*— ax + V = o, on trouve, par la théorie des combinaisons, que le coefficient u est déterminé par une équation du degré
î'Sfl'S 1 ) U 1 , U . fl I ... I!
— - — 2 r(2 » — 1) s= 2 et, K étant, comme Ion
voit, un nombre impair.
Donc, si /*= 1, celte équation sera d’un degré impair et aura nécessairement une racine réelle; de sorte que, comme 4 e dernier terme V est exprimé généralement par une fonction rationnelle de u, l’équation proposée atrra un diviseur rationnel du second degré, et s’abaissera par là à un degré moindre de deux unités.
.Si est plus grand que l’unité, on cherchera à diviser pareillement l’équation en u, par une équation du second degré, comme u* — tu -f~ T = o , et le coefficient t sera donné par une équation du degré
f étant , comme l’on voit , un nombre impair; et le terme T sera exprimé généralement par une fonction rationnelle de t.
Donc, si ^1=2, cette équation sera d’un degré impair, et aura une racine réelle; donc t et T auront des valeurs réelles, et l’équation u‘ — ut -+• T = o donnera pour u une valeur réelle ou imaginaire de la forme p -4- — 1. Dans le f^emier cas, u et V seroul
des quantités réelles; dans le second, ces quantités seront imagirfaires de la mémo forme, puisque V est une fonction rationnelle de «, Mais l’équation x* — ux-j~ Y=o donne x= ^rfc . d 0DCj
par la réduction des radicaux imaginaires, cette valeur deviendra aussi de la forme p <j\/—
Si p. est un nombre plus grand que a, on continuera le même calcul, et l’on divisera l’équation en t du degré 2
NOTE IX
par une équation du second degré , comme t* — st ■+• S = o ; on aura , pour la détermination de s , une équation- du degré
a =sT p(a p — r) = a ff, <r étant, comme
l’on voit, un nombre impair, et la quantité S sera généralement une fonction rationnelle de s.
Donc , si p. — 3 , cette équation étant d’un degré impair , aura une racine réelle ; donc s et S auront tics valeurs réelles ; donc l’équation <* — st -f- S = o donnera pour t une valeur réelle ou imaginaire de la forme p -f- q \/ — 1 . Donc, dans l’équation u* — - tu, T = o , les coefficiens t et T auront des valeurs réelles ou imaginaires de la même forme ; et de là résultera aussi pour u une valeur réelle ou imaginaires de la même forme P -f* 9 V — I) comme nous l’avons vu ; ci-dessus , parce que
u = db — T^j donc enfin l’équation x* — iAr-f-V=o, don-
nera aussi pour x une valeur réelle ou imaginaire de la même forme.
Si p est plus grand que 3 , on continuera le calcul de la même manière, et l’on parviendra nécessairement à un diviseur du second degré, dont les coefficiens seront réels; et dè là, en remontant successivement aux diviseurs précédens cfii second degré, ou trouvera que leurs coefficiens seront réels ou imaginaires de la forme jusqu’au diviseur x ' — ux -f- V = o de l’équation proposée, lequel donnera aussi pour x une valeur réelle ou imaginaire de la même forme.
Telle est la démonstration donnée par Foncenex; on voit qu’elle est très rigoureuse , en admettant le principe , que les coefficiens de l’équation du second degré , qui est un diviseur d’une équation du degré n, ne dépendent *tjue d’une seule racine d’une équation du
degré '*^ n ~ — . Ce principe est vrai généralement ; mais j’ai remarqué , depuis , qu’il était sujet à des exceptions qui pouvaient mettre la démonstration précédente en défaut. En clfet, lorsqu’on cherche à rendre un polynôme d’un degré quelconque m, divisible par un autre polynôme d’un degré moindre n , soit qu’on fasse lu « division à la manière ordinaire, et qu’on égale ensuite à zéro chaque lerSae du reste, soit qu’ou multiplie ce polynôme par un autre du
NOTE IX
degré m — n, et qu’on compare le produit terme à terme avec le polynôme proposé ; on parvient toujours , par l’élimination successive, en prenant un des coefficiens du polynôme diviseur pour l’inconnue principale, à déterminer les autres coefficiens du même polynôme par des fonctions rationnelles de celui-ci , et ensuite on trouve, par les substitutions, une équation où il n’y a plus que celui-ci d’inconnue, et où l’inconnue monte au degré
— ci s— = = — . comme on 1 a dit plus haut.
i5. Mais s’il arrive que cette équation ait deux ou plusieurs racines égales, alors, à moins que les valeurs des autres coefliciens qui répondent à ces racines égales , ne soient aussi égales , ce qui n’a lieu que lorsque le diviseur est lui-méme un diviseur double ou triple , etc. , il est visible que ces valeurs ne peuvent plus être exprimées en fonctions rationnelles de ces mêmes racines , mais qu’elles doivent dépendre elles-mêmes d’équations du second, du troisième degré, etc., suivant le degré d’cgalité des racines. Dans ce cas, en substituant dans les fonctions rationnelles trouvées , une des racines égales, les fonctions deviendront indéterminées, par l’évanouissement simultané du numérateur et du dénominateur ; et en revenant sur les éliminations, on sc trouvera arrêté à une équation du second ou du troisième, etc. degré, parce que l’équation à laquelle il faudrait la comparer, pour l’abaisser à un degré moindre, sera identique avec elle. C’est de quoi on peut se convaincre par le calcul; et nous en donnerons, dans la Note suivante , une démonstration général^. Comme la même difficulté peut sc présenter dans toutes les éliminations , je suis bien aise d’appeler l’attention du lecteur sur ce point, pour qu’il ne se trouve point embarrassé dans l’occasion.
On voit que cette circonstance peut mettre en défaut la théorie que nous venons d’exposer sur’ les diviseurs du second degré; car lorsque l’équation d’où dépend un des coefliciens a des racines égales, l’autre coefficient, en employant ces racines, dépendra d’une équation d’un degré égal au nombre des racines égales , et qui , par conséquent , si elle n’est pas d’un degré impair, demandera de nouvelles combinaisons pour pouvoir s’assurer qu’elle a une
NOTE IX
racine réelle de la forme p -f- q l ; et si l’on ne voulait pas employer ces racines égales, alors, en les éliminant par la division, on aurait une équation d’un degré moindre, a la vérité, mais qui ne serait plus exprimée par Un nombre de la même forme ,
ou a" - ‘p , etc. y
Si l’on considère , par exemple, la formule trouvée par Descartes, pour la résolution des équations du quatrième degré , que nous avons rapportée ci - dessus , et d’après laquelle nous avons conclu tout de suite que l’équation est toujours décomposable en deux facteurs réels du second degré , on Voit qu’il y a néanmoins un cas qui échappe à cette conclusion; c’est .qcelui où l’on aurait y = o; car alors la réduite en y a. deux racines égales y — o ,
et en employant ces racines , le terme ~ du facteur du second degré détient f.
Ou pourrait employer d’autres racines ; mais l’équation en y étant divisée, par y', devient y* -f* ipy' -f- p' — 4 r — 0 > laquelle étant de nouveau du quatrième degré, et son dernier terme n’étant pas essentiellement négatif, la difficulté est ramenée an même point. Ce n’est pas que dans ce cas particulier on ne puisse prouver* par ces formules mêmes, la réalité des deux facteurs; car si p' < 4 ,- > I e dernier terme de l’équation en sera négatif; et par conséquent il y aura deux racines réelles. Si p‘ > 4 r > alors l’équation proposée devenant, à cause de 7 = 0, x* 4 “ p’X‘ -+- /\r s= o , aura les deux facteurs réels , x* -f- ^ sh \/(jr — f).
16. Ces difficultés ont occasionné les recherches que j’ai données sur cette matière à l’Académie de Berlin, en 177a, et dans lesquelles je me suis particulièrement attaché à compléter la théorie commencée par Euler.
J’ai démontré d’une manière rigoureuse, que si l’on veut décomposer un polynôme du degré a" en deux polynômes du degré a" tels que. ( n étant = a" -1 ),
x" H- M x*~‘ -f- N x'~‘ -f- P x*~ 3 + etc. , x* 4 - 4 - * H- P,x— 3 4- etc. ,
NOTE I X
pt qu'on fasse
“=«{M— rM,) 4- b(!S — N.) -f- e(P — P,y*4* clc ->
a, b, c, etc. étant des quantités (lucluonques , ou pourra déterininrr généralement les coelBciens M, N, P, etc., M, , N,, P,, etc. des deux polynômes, par des fonctions rationnelles de u, et que l’on trouvera pour u une équation d’un degré impairement pair, n’ayant que des puissances paires de «, dout le dernier terme sera essentiellement négatif; et à cause des arbitraires a, b, c , etc., on pourra toujours faire en sorte que le dernier terme de celte équation ne soit pus nul , ce qui lui donnerait les deux racines égaies u = o , ni qu’elle ait d’autres racines égales. De sorte qu’on sera toujours assuré d’avoir par là des valeurs réelles pour les coefficiens dont il s agit , et par conséquent île pouvoir décomposer l’équation du degré a" en deux du degré a" - *, et ensuite chacune de celles-ci en deux, du degré a" - *, et ainsi de suite, jusqu’aux équations du second degré.
A l’égard des équations du degré a“i, i étant un nombre impair, Euler avait trouvé qu’en employant un diviseur du degré a”, on tombe dans une équatiou d’un degré impair, pour la détermination d’un quelconque de ses coelliciens ; et j’ai remarqué que si elle a des racines égales, les racines doubles, quadruples, etc. pourront être éliminées, parce que l’équation restante sera encore d’un degré impair , et que les racines triples, quintuples, etc. pourront être employées dans la détermination des autres coelBciens , parce qu’elle dépendra alors d’équations du troisième, du cinquième, etc. degré, qui auront, par copséqueut, toujours des racines réelles,
17 . De cette mauière, la décomposition des équations en diviseurs réels du premier et du second degré était rigoureusement démontrée ; mais Laplace a donné, depuis, dans les Leçons de l’École Normale, un moyen plus simple d’établir cette vérité,, en partant de l’analyse employée par Foncenex. Au lieu de considérer simplement l’équation qui détermine le coefficient u du diviseur quadratique x‘ — ux -f- V = o , il considère l’équation qui détermine la quantité u-f-aV, que je désignerai par u,, a étant un coefficient quelconque. Cette équation sera, par la théorie des combinaisons, du
NOTE IX
même degié que l’équation eu u. Donc, si l’équatioD proposée est du degré ar, » étant impair, l’équation en u, sera d’un degré impair, et aura toujours une racine réelle ; et comme on peut donner à a une infinité de valeurs, on aura une infinité d’équations qui auront toutes une racine réelle. Parmi ces racines, il y en aura nécessairement plusieurs qui se rapporteront au même diviseur; soient a., fi deux de ces racines, et a, b les deux valeurs du coefficient a; on aura u-j-aV = at, u-j-bV = (3, d’où l’on tirera les valeurs de u et V, qui seront par conséquent réelles.
Si l’équation proposée est du degré '4 v , r étant un nombre impair quelconque, l’équation en Ju, sera du degré a ir , 7r étant aussi un nombre impair. Cette équation aura donc, par ce qu’on vient de démontrer, un diviseur quadratique de la forme u,* — tu, -f-T = 0, qui donnera pour u, une valeur de la forme * + A /— tj et en donnant à a une infinité de valeurs, on aura une infinité d’équations en u, , dout chacune aura une racine de la forme «-j-Aj/ — i ; parmi ces racines, il y en aura nécessairement deux qui se rapporteront au même diviseur; en les désignant par « + A^— î et ^3 -f. Bt/ — i , et par a, A les deux valeurs de a qui y répondent, on aura u •+■ aY = « -f- A y'— i , u -f- b V = /3 -{- B ^ — i ; donc u et V seront l’une et l’autre de 1a forme p-\~q — i, et la valeur de x, tirée de l’équation x* — ux + V = o , sera encore de la môme fOrtnc. Donc, toute équation du degré 4' aura deux racines de la forme pdcqÿ — î , et par conséquent un diviseur réel du second degré, et ainsi de suite.
Celte démonstration ne laisse rien à désirer comme simple démonstration; mais si l’on voulait résoudre effectivement une équation donnée en scs facteurs réels de deux dimensions, il serait comme impossible de suivre le procédé indiqué par l’analvse que nous venons d’exposer. Cependant cette résolution est nécessaire pour trouver les fonctions primitives, ou les intégrales des fonctions rationnelles fractionnaires d’une seule variable, et on la suppose dans tous lesTraité» de Calcul intégral. Cette raison m’engage à rn’arrêter encore sur cet objet important, et à en faire le sujet de la Note suivante.
NOTE X
Sur la décomposition des polynômes dun degré quelcontpte en facteurs réels.
i. Je me propose de montrer, dans cette Note, comment tout polynôme d’un degré quelconque peut toujours sê résoudre en polynômes réels du premier ou du second degrc. En regardant un polynôme comme composé d’autant de facteurs simples qu’il y a d’unités dans l’exposant de la plus haute puissance de l’indéterminée, on voit clairement qu’il ne peut avoir pour diviseurs que des polynômes composés de quelques-uns de ses facteurs; d’où il suit d’abord que si m est le degré du polynôme donné, il pourra avoir autant de diviseurs différent du degré n, qu’il y a de manières de prendre n choses sur m choses , c’est-à-dire par la théorie des combinaisons , qu’il y a d’unités dans le nombre
que nous désignerons par /ut dans la suite.
Cette seule considération nous met en état de déterminer à priori les coefficiens du polynôme diviseur, sans passer par les opérations longues et pénibles de la méthode ordinaire, fondée sur la division ou sur la comparaison du produit de deux polynômes indéterminés, avec le polynôme diviseur, et sur l’élimination successive des inconnues.
a. Soit en effet le polynôme du degré m ,
x* — axT-' 4- fcx— *' * — cx*~* + etc. =fc h,
que nous supposerons composé de* m facteurs simples x—a, x—fi, x—y , .
En développant le produit de ces facteurs, et le comparant terme
SOTE X
à urine avec le polynôme donné, un aura, comme l’on sait,
a = a fi -|- y +</'+ etc. ,
b = afi -f- tty -4“ -f" "}“ etc. ,
c = afiy -j- «x^cT -f- fiyJ' + etc ,
etc. ,
h = afi y S . . .
Si l’on représente de même par
x ■ — px—' -f- — /vr* -3 , etc. zfc u
un diviseur du uicnie polynôme, ce polynôme diviseur ne pourra être composé que d’un nombre n des mêmes facteurs simples; ainsi on aura , en ne prenant que n quantités parmi les m quantités, a, fi, y, etc.
p = * -H /3 + y -h etc.,
q = a. fi tty -f- fiy •+• etc. , ,
r = a fiy -+- etc. ,
etc. ,
u = *fiy - .....
Comme les coefllciens donnés a, b, c, etc. h sont des fonctions des quantités a, fi, y, etc. dans lesquelle^ ces quantités entrent tontes également, et qui demeurent ainsi invariables, en faisant entre ces mêmes quantités tels échanges que l’on vomira, il s’ensuit que toute expression rationnelle de ces coefficiJÉjfjSuia lu même propriété; et comme les coefliciens p, q, r. ère. g du diviseur, sont de semblables fonctions, mais seulement d’un nombre, n dçs quantités a , , fi , y , etc. , il est évident que ces coefliciens ne peuvent pas êtr* exprimés par des fonctions rationnelles des coefficiens a, b, c, etc.; mais ort pourra les faire dépendre chacun d’une équation dont tous les coefliciens seront des fonctions rationnelles de a, b, c, etc., en composant cette équation de manière qu’elle ait pour racines toutes les différentes valeurs de p, ou de q , ou de r, etc. , dont le nombre est égal au nombre u donné ci-dessus.
NOTE X
3. Considérons le dernier coefficient », qui est formé du produit de n des quantités a, fi, y, etc., on aura «j By..., /3ytf... , ayj'... , etc. pour les differentes valeurs de u Donc, si l’on forme un polynôme du produit de ces facteurs simples,
u — a/3y.. . . , u — j ByJ'. . u — ayS . . . , etc. ,
ce polynôme aura la propriété d’étre une fonction invariable de a, (Z, y, etc., indépendamment de l’indéterminée u ; par conséquent, étant développé, tons ses coefficiens auront encore la même propriété.
Car soit ce polynôme
,<T — A n ** -1 ■+■ Br/ - * — Cu *” -3 -+- etc. rib Y, on aura
A = af&y... -f- fiyj'... -f ■ et; J 1 ... -f- etc.,
B == a@y - . . x /3y<f. . . + «y J. . . x ay<f * ■
+ IZyJ'. .. x *><T. .. 4 - etc., ' »
V = a(3 y ... X 1 Sy J 1 . . . X <*>cf . . . ,
où l’on voit que les coefficiens A, B , C , etc. sont en effet des fonctions invariables de a/3 y, etc. Or, on sait que ces sortes de fonctions peuvent toujours être déterminées par îles fonctions rationnelles des coefficiens a, b, c, etc. h. r
4 . Eu effet, on peut d’abord déterminer par ces fonctions la somme des puissances d’uu même degré des quantités a, j3, y , etc., comme nous l’avons vu dans la Note Y 1 (n* 1 ). Ensuite, si l’on multiplie
2 a*, somme des puissances a*, par 2 a^*, somme des puissances a“, le produit 2a* X 2»^ sera égal à 2« A ^ V * -j- 2 a* &“ ; ainsi on aura
la somme des termes au moyen de celle de» puissances. Ou
trouvera pareillement .
NOTE X
ainsi on aura aussi cette dernière somme en fonctions des sommes des puissances , et ainsi de suite.
Maintenant, il est facile de voir que toute fonction rationnelle et invariable des quantités a, 0 , y, etc. ne peut être formée que d’une ou plusieurs sommes des formes précédentes; elle pourra donc toujours être déterminée en fonctions des coefiiciens a, 6 , c, etc.
C’est là un des principes les plus féconds de la théorie des équalions. Newton, et long-temps avant lui Albert Girard, avaient donné la manière de déterminer la somme des puissances des racines d’une équation par des fonctions de ces coefficiens. Voyez dans l’ouvrage d 'Albert Girard, intitulé Invention nouvelle en Algèbre , et imprimé à Amsterdam en 1629, l’exemple second du théorème second. Euler, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1748, et Cramer, à la fin de son Introduction à l’Analyse des lignes courhes, ont fait voir que l’on pouvait toujours déterminer, par les coefliciens d’une équation , les sommes des produits de ses racines , prises deux à deux , trois à trois , etc. , et élevées à différentes puissances ; et Waring a donné ensuite des formules générales pour trouver ces sortes de fonctions des racines ; mais dans les cas particuliers, il est peut-être plus simple d’employer la méthode indiquée ci-dessus.
5. A l’égard des coelficiens A , B , C , etc. du polynôme, on pourra les calculer de la manière suivante.
On commencera par déterminer les sommes des puissances par ces formules
la = a,
2** ss aZa — 2 b ,
2a 5 = o2a* — èZa-f- 3c, etc.
Ensuite on cherchera les termes n“ m " des séries
s sa, 2aj3 = i, 'Xet 0 y=ac, etc.
X* 3 X£« 5 — x*‘ Xï^’xia 3 — £<t’X£«'+
etc.,
NOTE X
Ces tenues seront les valeurs des sommes Xafiy . , . , X‘$'y‘...,' . . , etc.
Enfin on aura
A — Xct/3^. • • • • |
g As»/»> .... — Xx’B'y' —
ç Brafly....— Ax , g , Æy....4-s« 3 ty... .
etc.
Au reste, il est visible qu’on aura d’abord sans calcul les valeurs du premier coefficient A et du dernier V ; car le coefficient A est évidemment égal au coefficient de la puissance x*“* dans le polynôme donné x" — ax” - ' +etc. Quant au coefficient T, il est visible qu’il doit être de la forme . . , es h ’ ; et pour déter-
miner l’exposant v , il suffira de considérer que ce coefficient doit être le produit de /a quantités , dont chacune est le produit de n quantités prises parmi les m quantités * , /3, y , etc. , de sorte que ce coefficient sera de la dimension n/i-, donc il faudra quejm» = nju, r t par
conséquent r
Donc, puisque /a = — ^ ^ — ! - — ■ , ou aura
et la valeur de Y sera h’.
Ayant ainsi la valeur du dernier coefficient Y du polyuome en u, on pourra se contenter de calculer directement la première moitié des coefficiens A, B, G, etc. de ce polyuome. Car soient T, S, R, etc. les termes qui précèdent le dernier V, il est facile de voir qu’on aura
Y “ 5Ç77*. ëŸFTT. ZÏJ7T. " + " elc "
Or, si l’on désigne par (n) le coefficient de la puissance x* dans
NOTE X
le polynôme donné, on aura aussi
A ~ agy... ' «y/-...
T fa) . ... (n)V.
Donc et |>ar conséquent i = — .
Ensuite si l’on désigne par g , J, e , etc. les coefliciens du polynôme donné, qui précèdent le dernier h ; . lorsqu’on aura trouvé l’expression de B en a, b, c, etc., il n’y aura qu’à y changer a
eu | , b en j , c en ~ , etc. , pour avoir la valeur de ^ , et faisant
les mêmes changemens dans l’expression de C , on aura la valeur
, Il -,
«le ÿ , et ainsi de suite.
Ayant ainsi formé le polynôme en u, si ou le fait égal à zéio, on aura une équation dont les racines seront a/3y . . . , fiy J 1 . . . , et} J'. . . , etc. , et qui servira , par conséquent, à déterminer la valeur de u. Il ne restera doue plus qu’à trouver les valeurs de tous les autres coefliciens p, q, r, etc. du polynôme diviseur.
6. 1 -a manière la plus simple de trouver ces coefliciens, est de faire la divisiou actuelle du polynôme x m — aa r“~‘ -f- etc. par le polynôme x“ — px"~' -f- etc. rb u, jusqu’à ce qu’on soit parvenu à un reste dans lequel la plus haute puissance de x soit moindre que x * ; alors en égalant à zéro chacun des termes de ce reste, pour qu’il devienne nul indépendamment de l’inconnue x, ou aura n équations entre les n coefliciens p, q , etc. u; et l’on pourra , généralement parlant , par ces équations , déterminer les valeurs de p, q , etc. en fonctions rationnelles de u. On aurait ensuite l’équaliou même en u, par la substitution de ces valeurs dans l’équation restante; mais comme on ne voit pas, de celte manière, de quel degré devrait être cette équation finale en u, qu’on pourrait même parvenir à une équation en u d’un degré plus haut qu’elle ne devrait être, ce qui est l'inconvénient ordinaire îles méthodes d’élimination , nous avons cru devoir montrer comment on peut trouver cette équation à priori , et s’assurer du degré précis auquel elle doit monter.
Par la meme raison , nous croyons qu’il est nécessaire d’avoir une
NOTE X
méthode directe pour trouver les expressions des coefficiens p , q , etc. en u, et pour être assuré que ces expressions peuvent toujours être rationnelles, excepté les cas particuliers où elles doivent dépendre d’équations du second ou du troisième degré, comme nous l’avons déjà observé dans la Note précédente. Voici donc comment , en supposant l’équation en a, on peut avoir la valeur des coefKciens p, ç, etc. en fonctions de u.
7. Je considère que la quantité x étant indéterminée, on peut mettre x— i à la place de x, tant dans le polynôme donné x" — ax*~' + ctc., que dans le polynôme diviseur x*-f -/ jx* - 1 -f- etc. Par cette substitution , le premier de ces polynômes deviendra
X" — a,x“~‘ -f- é,x” - * — etc. de h, , ,
où l’on aura
a, = a + mi,
b, z= b + (m— i)ai-f. ” ( ” «*,
c, = c + (m - ->)bi + a p + ,s >
etc.
h, = h H- gi dbfi? -f-c* 1 ■+- etc.
Et le second polynôme deviendra pareillement
.r" — p,x"~ k ■+• q,x*~ % — etc. ± u, ,
en faisant
?• = ?+ (»— i)pi-h " -- ~ - ' > t‘,
. r \ • 1 n ( n — 0( n — a) •» . n(n— iH 1 »— a) ,
etc.,
a, = a + ti -f- si? ■+■ ri? etc.
D’où l’on peut conclure que si, dans l’équation en u,
it — Ait 1 + B it - 3 — etc. ±V = o,
aS
NOTE X
dans laquelle les coefliciens A, B, C, etc. sont des fonctions de a, b, c, etc. h, on substitue respectivement a,, b,, c„ etc. h, au lien de ces quantités , la valeur de u deviendra celle de u,, quelle que soit la valeur de » ; de sorte qu’en développant les ternies suivant les puissances de 1, il fendra que la somme de tous les termes multipliés par une même puissance soit nulle; ce qui donnera plusieurs équations , dont chacune servira à déterminer un des coefliciens t , s, r, etc. par les précédens.
8. Un pourra même trouver directement ces équations par l’algorithme des fonctions dérivées. En effet , si l’on naet partout ^ à la
place de t, il s’ensuivra des formules précédentes, que a devenant a + t , b Reviendra
• . , ' fl» * ÏTO* ’
c deviendra
. m ~ 3 fa 4 - ( m ~ O ("» — ») ai . . — 0 ("»— 3) ,
mi om* 1 . W ?
etc. ,
et enfin u deviendra
« -t- — * 4- l * + —, i * .+ etc.
Donc, si l’on regarde, ce qui est permis, les coefliciens b, c , etc., h et u, comme des fonctions de a, et qu’on se rnppelle que a devenant a 4" i> toute fonction de a, comme u, devient
u 4- iu' 4 - *- vP 4 - j-3 •+* etc. ,
ou pourra supposer
NOTE X
d = — ic, d" = (m ~ 2 )fm -'3) A ,
rf* = o; etc.
* «=^» , etc.,
et il n’y aura plus qu’à prendre les fonctions dérivées successives de l’équation en u, et y faire les substitutions précédentes.
