S OTE X

et ainsi de suite, dans lesquelles les fonctions dérivées partielles (?) ’ (s 7 ) ’ e * c ‘ ’ > etC- scron t tic® fonctions connues de

a, b , e, etc. u.

La première équation donnera donc la valeur de <; la seconde donnera celle de s, etc. en fonctions rationnelles de a, b , c, etc. u;

à moins que la fonction partielle ne devienne nulle, auquel

cas la première équation ne contiendra plus t, ni la seconde s , etc. Dans ce cas donc il faudra tirer la valeur de t de la secoude équation, dans laquelle t monte au second degré; et les équations suivantes donneront alors les valeurs de s, r, etc. par des fonc-

tious rationnelles. Si la fonction dérivée f ^ J était aussi nulle ,

l’équation en t ne serait plus que du premier degré, et si la somme des fonctions qui multiplient t était nulle en même temps , la quantité t disparaîtrait de la seconde équation , et ne pourrait être donnée que par la troisième, où elle monterait au troisième degré, et ainsi de suite.

Or la fonction partielle est égale à

pi/— 1 — (/*— i)A n J ““ a + (f* — — et*,

et l’on voit que l’équation ^^=o renferme les conditions de l’égalité des racines de l’équation Z = o. D’où il suit que si cette équation a des racines égales , et qu’on emploie pour la valeur de u une

des racines égales , en sorte que la fonction devieune nulle en

même temps que Z, le coefficient t dépendra alors d’une équation particulière du second degré; et par conséquent tous les autres coefficiens du polynôme diviseur, dépendront à la fois de la résolution des deux équations en u et en t. Nous en avons donné ci-dessus ( Note précédente, n* i3) la raison métaphysique tirée de l’égalité des racines; mais on en a ici une démonstration analytique rigoureuse.

u. Une conséquence essentielle qui résulte des formules précé-

NOTE X

dente», c’est que tant que la fonction ne sera pas nulle, tous les

coefliciens t, s, r, etc. seront données en fonctions rationnelles du coefficient u ; et que par conséquent cela aura lieu nécessairement lorsque l’équation en u n’aura point de racines égales, ou du moins lorsqu’on n’emploiera pour la valeur de u que des racines inégales.

Or j’observe qu’on peut toujours faire en sorte que l’équation en u n’ait point de racines égales, à moins que le polynôme douué n’ait lui-mème des facteurs égaux; mais comme on peut éliminer ces facteurs d’avance , on pourra toujours supposer que tous les facteurs de ces polynômes soient inégaux. Cela supposé, si ou substitue dans ce polynôme x — A à la place de x, ce qui changera les coefliciens a, b, c, en

b + (m- t)a A + m<, "~ — ) A», etc. ,

les facteurs du nouveau polynôme seront x — * — A, x — (2 — A, x — y — A, etc. c'est-à-dire que les quantités [a, /3, y, etc. deviendront a-JrA, 0-f-A, etc.

Donc les racines de lcquatiou en u, seront tous les produits possibles de n quantités, prises parmi les m quantités a-f-A, /3-f-A, y- 1- A, etc. ; et il est clair que deux de ces racines ne sauraient devenir égales à moins qu’il n’y ait deux produits égaux de deux ou de plusieurs dimensions, formés de ces différentes quantités. Or il est visible que tant que les quantités a, /3, y, etc. seront inégales, on pourra toujours prendre A de manière qu’aucune de ces égalités n’ait lieu ; car en considérant, par exemple, les deux produits (* + A) (j3-f- A) et (y + A) («T -(-A) qui sc réduisent à A* + (as-f- /3)A + a/3 et A*-t-( 7 -f-«f)A+j'tf, on voit qu’il n’y a qu’une valeur de A qui puisse les rendre égaux; et que, par conséquent, il y en aura une infinité qui les rendront inégaux, à moins que l’on ait a+^3=}<-f-'cf et xfi — yi?, ce qui emporterait l’égalité de a et )3 avec y et <f.

il en sera de même des produits d’un plus grand nombre de facteurs; d’où l’on conclura en général, qu’on peut toujours transformer

NOTE X

ainsi le polynôme primitif, en augmentant l'indéterminée x d’une quantité quelconque, de manière que l’équation résultante en u n’ait [xiint de racines égales.

i a. Nous venons de donner , non-seulement la manière, mais les formules mêmes par lesquelles on pourra toujours trouver un diviseur d’un degré n d’un polynôme quelconque du degré m ; et nous venons de démontrer par ces formules, que ce diviseur ne dépendra que «le la racine d’une seule équation du degré ft, savoir :

Il suffira donc que cette équation ait une racine réelle pour que tout le diviseur soit réel ; mais comme il n’y a , en général , que les équations «l’un degré impair, ou celles des degrés pairs dont le dernier terme est négatif, où l’on soit assuré de l’existence d’une racine réelle, il reste à voir quelles sont les valeurs de n pour lesquelles ces conditions auront nécessairement lieu.

Quel que soit le nombre m, il est toujours réductible à la forme a' i, i étant un nombre impair. Supposons n = a', on aura

tfifa'i— Ofa'i — a}....

ou Lien , ce qui est la même chose,

et divisant le haut et le bas de cette fraction par a', ensuite par a, par 4, etc. on aura

Gomme le numérateur et le dénominateur ne contiennent plus que des facteurs impairs, et que le nombre fi est, par sa nature, un nombre entier, il s’ensuit qu’il sera nécessairement impair.

NOTE X

U suit de là que tout polynôme du degrc a r < peut toujours avoir un diviseur réel du degré ?! ; le polynôme restant après la division

sera donc aussi réel, et du degré ?! i— ? f , savoir, ?! (i — i); or, i étant un nombre impair, i — i sera un nombre pair, qu’on pourra

représenter par a r k, k étant un nombre impair; le jwlynome restant

sera alors du degré et aura un diviseur réel du degré ? f ~^~',

et ainsi de suite. Comme de cette manière tout nombre entier peut être décomposé en un certain nombre de puissances croissantes de a, comme ?* -j-a^'-f-elc. , il s’ensuit que tout polynôme d’un degré quelconque, pourra être décomposé immédiatement en un pareil nombre de polynômes, dont les degrés seront ces mêmes puissances de deux.

i3. 11 reste doue à considérer les polynômes dont le degré est une simple puissance de a. Faisons dans la formule générale de /s,

a , et n = — = a , on aura

?f (if » ) ( 2) (2> 2> ~ 7 + 1 )

divisant le haut et le bas de cette fraction par ?! 1 , et ensuite par a,

par 4> etc., on aura

Comme tous les facteurs du numérateur, à l’exception du premier a , ainsi que tous les facteurs du dénominateur, sont impairs, il s’ensuit que le nombre /*, qui est d’ailleurs entier par sa nature, sera nécessairement de la forme ai, i étant un nombre impair.

Considérons dans ce cas l’équation en u; puisque le degré du diviseur est la moitié de celui du polynôme, les racines de celte équation seront tous les produits qu’on pourra faire en prenant la moitié des quantités a, /3, y, etc. dont le nombre est supposé pair. Donc,

NOTE X

puisque le produit de toutes ces quantités est A, il s’ensuit que si u est un de ces produits partiels, ~ en sera un autre; par conséquent si u est une racine de l’cquation dont il s’agit , * en sera une aussi. Cette

équation devra donc demeurer la même, en y substituant ~ pour u. Far cette substitution, l’équation

Aif-' — Cu “~ 3 •+• etc. — Ru J + Su-— T«+ V=o

deviendra, après avoir été multipliée par u'* et divisée par V,

f* AT r—i . A*S *-a A 3 R ^3 , . hP ~ »C ,

« — XT“ -h-xrU r — vr- “ ~h etc. ÿ— u 1

hp-'k

et comme ces deux équations doivent être identiques, on aura

• . AT „ A*S ^ ATI

A — -ÿ - , ü — y i b y , etc. ;

mais on a trouvé ci-dessus X — h" , r étant = — = - (à cause de an, dans le cas présent ), et par conséquent impair; on aura donc