JE

Par le moyen de ces substitutions , l’équation en u du degré a», sera transformée en une équation en y du degré r, laquelle sera de la forme •

/-(A)/“ I + (B)/^*-(Ci /- 3 + «tc.Bi 0 ,

en supposant

(B) = B — vh,

(D) = D-Cr-a)AB + ii^A‘,

etc.

Ensuite on aura u en y par l’équation «* — uy -f< h = o, laquelle donne *=

i5. Maintenant on voit qu’il suffit de calculer directement la moitié des coefficiens A, B, C, etc. de l’équation en «; ce qui réduit le calcul à la moitié. On voit de plus que, comme l’exposant ft est , dans le cas

présent, un nombre de la forme 2t, fêtant impair, le nombre y sera impair, et par conséquent l’équation en y aura nécessairement une racine réelle.

Mais pour que u ait une valeur réelle, il ne suffit pas que la Valeur d ey soit réelle, il faut encore que J* — soit une quantité positive. Cela aura lieu nécessairement lorsque h a une valeur négative; ainsi,

dans ce cas, le polynôme du degré i r est résoluble par deux polynômes

réels du degré ~ . Mais si A a une valeur positive, il faut voir de plus si l’on peut toujours trouver une valeur réelle de y, telle que

16. Soit donc y* — = a; qu’ou substitue dans l’équation précé-

dente en y, \Z(z-\-^h) au lieu dey, on aura, après avoir feit disparaître le radical par l’élévation ou carré, et ordonné les termes suivant les puissances de s, une équation en z du même degré r , laquelle aura nécessairement une racine réelle positive, si son damier terme est négatif. Or, puisque y est un nombre impair, le dernier terme sera le produit de toutes les racines, pris négativemènt ; ainsi la question est réduite à voir si le produit de toutes les valeurs de 2 est essentiellement une quantité positive, en supposant que la valeur de h soit positive.

Puisque z — J* — 4 h , et y — u -+■ - , on aura a -“• + £“ *** (■-;)*•

Or u a pour valeurs tous les produits qu’on peut faire en multipliant ensemble une moitié des quantités a, / 3 , y, etc., et nous avons

déjà vu que les valeurs de ^ sont les produits qu’on peut faire en multipliant ensemble l’autre moitié des mêmes quantités; donc les valeurs de u — ^ seront deux à deux égales et de signes contraires; par

conséquent, on aura toutes les valeurs différentes de 2, en ne donnant à u que la moitié de ses différentes valeurs; il est évident que le produit de tontes les valeurs de 2 sera positif, si le produit des valeurs

NOTE X

u — * peut être exprimé par une fonction rationnelle des coeflicicns

a, b, c, etc., car alors son carre sera nécessairement une quantité positive.

S’il n’y a, par exemple, que quatre quantités a, / 3, y, J ' , toutes les valeurs de u seront a/3, a.y , a-f , fiy, jS«T, y S ; et les valeurs différentes de u — ^ seront, en ne prenant pour u que les trois premiers produits,

a/3 — yJ 1 , tty — /3 /, a.j' — /S y-

le produit de ces trois quantités étant développé, donne

a?(iyj' a.B s y£ -f- a/3y’cf -f- a@y<P s — a*/3*>* — a‘/3*cf * — a'y'S" — - /3*>*J*,

où l’on voit que la partie positive et. la partie négative sont chacune une fonction invariable et symétrique des quantités a, (2, y, <f, et peuvent par conséquent être déterminées en a, b, c, d, par les formules données plus haut.

17. Généralisons maintenant ce résultat, et désignons, pour plus de simplicité , par P, Q, R, etc. les dilTérens produits qu’on peut faire avec la moitié des quantités a, & , y, etc., en y conservant une meme quantité œ, et par p , q , r, etc. les produits formés par l’autre moitié des mêmes quantités, et que j’appellerai réciproques. Je vais d’abord prouver que les quantités P,. Q, R, etc. et leurs réciproques p , q, r, etc. renferment toutes les valeurs de «. On a vu que ces valeurs sont au nombre de fi; et à cause de m = an, on a

a» (an— O (Kl— a) (n + 1 )

D’un autre côté, comme on a supposé que les quantités P, Q, R, etc. contiennent toutes une même quantité a, il est clair que le nombre de ces quantités sera celui de tous les produits qu’on peut faire en ne prenant que n — 1 quantités sur an — 1 quantités; donc ce nombre sera *

(an — 1 ) (an — a) t u-j- O /•

Donc, puisque les quantités P, Q, R, etc. forment la moitié de toutes les valeurs de u, il suffira de prendre ces quantités pour les différentes

valeurs de u, et p, q, r, etc. seront les valeurs correspondantes de -, Ainsi il s’agira de voir si le produit

est nécessairement une fonction invariable des quantités u., /Q, y, etc. auquel cas ou sera assuré qu’il peut être déterminé rationnellement par les coefficiens a , b, c," etc; D’abord il est évident que toutes les permutations qu’on peut faire des quantités fi, y, etc. entre elles, ne peuvent que faire échanger les produits P, Q, R, etc. entre eux, et leurs réciproques en môme temps entre- eux; de sorte qu’il ne peut résulter de ces permutations aucun changeaient dans le produit

Considérons ensuite les échanges de a. contre chacuiie des autres quantités fi, y, J", etc.’; il est clair qu'en échangeant a. en fi, celles des quantités P, Q, R, etc. qui contiennent à la lois a. et fi , ne souffriront aucun changement; il n’y aura donc à considérer que celles qui ne contiennent point fi. Or si P, par exemple, ne soutient point fi, comme les deux produits P et p contiennent toutes les quantités a, fi, y, etc., il s’ensuit que fi sera contenu dans p, et ainsi des autres; donc, par l’échange de a en fi, toute quantité P ou Q, etc. qui ne contiendra point fi , ne pourra que devenir une des réciproques p, q, r, etc. qui sont supposées né point contenir œ; ainsi P deviendra par exemple q, etalorsQ deviendra nécessairement/?; donc P — p deviendra q — Q, et en môme temps Q — q deviendra p — P, D’où l’on peut conclure en général que, par les échanges de « en fi, y, etc., les différens facteurs P — p, Q — q, R — /•, etc. ne pourront que rester les mêmes, ou s’échangcr entre eux, en changeant en même temps de signe.

j 8. Maintenant, si on cherche le nombre des produits P, Q, R , etc. qui ne changeront pas par l’échange de a en fi, ce nombre sera celui de ces produits où et et fi se trouveront ensemble; donc le nombre total des quantités a., fi, y, etc. étant an, et le nombre de ces quantités dans chaque produit étant n, le noitibre des produits qui contien-

ao6

NOTE X

«iront à la fois a et /S , sera celui des combinaisons qu’on peut faire en prenant » — a choses sur a n — a choses; par conséquent, il sera exprimé par

(an — 2 ) (an — 3) 0 .

comparant ce nombre au nombre s donné ci-dessus, il pourra s’ex-

» (n — i ) primer par 2 „, •

Or le nombre total des quantités P, Q, R, etc. étant », si l’on

en retranche le nombre — — - , on aura — — — pour le uonibre 2n — i ’ m — i 1

des produits P, Q, R, etc. qui, par l’échange de a en / 3 , se changeront dans les réciproques p , q , r, etc.; par conséquent, c« nombre sera aussi celui des facteurs P— p, Q — q , R — r, etc., . qui changeront de signe par ce même échange; donc, tant que n sera un nombre pair, et par conséquent tant que l’exposant tn= an sera une paissance de a , plus grande que a , le nombre dont il s'agit sera nécessairement pair; d’où il suit que le produit total

ne changera pas par l’échange de a en /S; il en sera de même des autres échanges de a en J , j', etc.

Doue enün , ce produit sera une fonction invariable des quantités a , 0, y, etc., et pourra par conséquent se détermiuer par des fonctions rationnelles des coeŒciens a , b, c, etc. du polynôme donné. Doue l’équation en s du degré impair » aura sou dernier terme négatif; par conséquent, elle aura nécessairement une racine réelle positive (n* 3 ).

En prenant cette valeur positive pour 3, on aura (u — = a, ’

et de là u — ^ = t/2. Donc , n* — u ^2 — h = o, et de là

up= i t/2dt » quantité nécessairement réelle, puisque

nous avons supposé la quantité h positive (n° 16).

Donc tout polynôme du degré a r , tant que p sera plus grand que l’unité , soit que sou dernier terme h soit positif ou négatif,

NOTE X

pourra se décomposer par les formules que nous venons de donner,

en deux polynômes réels du degré a' 1 , et l’on aura ces deux polynômes à la fois, en employant la double valeur de u. Donc, en combinant cette conclusion avec celle qu’on a trouvée plus haut

pour tout polynôme du degré a f », on en conclura généralement qu’on peut toujours résoudre un polynôme quelconque en facteurs réels du premier ou du second degré.

19. En appliquant aux équations la théorie que nous venons de donner sur la décomposition des polynômes, on voit qu’on peut toujours résoudre une équation quelconque en deux autres équations dont les coelficiens seront réels et ne dépendront que de la racine réelle d’une équation de degré impair. Or nous avons vu dans le chapitre l* r , qu’on peut tout de suite avoir les limites de cette racine par la simple substitution des nombres naturels 1 , a , 3 , etc. ; et qu’ayant les premières limites, il est facile de les resserrer à volonté par des substitutions successives.

Ainsi , lorsque l’équation donnée est numérique, on pourra la résoudre en deux autres équations numériques dont les coefficicns seront aussi exacts qu’on voudra ; et résolvant de* même chacune de celles-ci en deux autres, on parviendra enfin à des équations du premier ou du second degré , lesquelles donneront par conséquent immédiatement toutes les racines réelles et les racines imaginaires. De là nait une méthode de résoudre les équations numériques, qui est indépendante de la recherche des limites entre racines, et qui, à cet égard, paraît avoir quelque avantage sur la méthode des dëux premiers chapitres. Mai* d’un autre côté, il faut avouer qu’à l’exception «le quelques cas particuliers où la décomposition de l’équation est facile, cette méthode sera impraticable par la multiplicité et la longueur des opérations qu’elle peut demander. Aussi l’objet principal de cette Note est de prouver à priori la possibilité de la décomposition des polynômes et des équatiops en facteur* réels du premier ou du second degré, objet qui n’avait pas encore été rempli d’une manière direct» et complète.

NOTE XI

Sur les formules d approximation pour les racines des équations.

Non s avons vu, dans la INote V, que la méthode de Newton consiste à substituer successivement dans une même fonction les résultats des substitutions précédentes; ainsi l’on peut réduire en formule le résultat général de ces substitutions.

i. Soit Far = o l’équation proposée, et a la première valeur approchée d’une des racines de cette équation. Suivant la méthode dont il s’agit , on substitue a -f - p à la place de a;, et l’on rejette dans le développement tous les termes où p monte au-dessus de la première dimension.

Par le développement connu des fonctions , l’équation F.r = o devient

Fa -f- pY'a + ~ F"a -f- etc. = o,

et sc réduit d’abord à Fa -f- pV a = o , d’où l’on tire p — —

Ainsi a étant une première approximation , si Ton fait b = — ,

on aura a -{-b pour seconde approximation, et celle-ci donnera de la

meme maniéré , en taisant c = — , la troisième approxima-

tion a-f- b + c, et ainsi de suite; de sorte que la valeur de x sera exprimée par la série a -f- b -f- c -f- d -+- etc.

Or, je remarque que si b est une quantité très petite, la. valeur de F(a -f b) sera très petite de l’ordre de i*; car le développement

de F (a H- b) donne Fa -+■ bF'a -F — F'a -f- etc. ; mais b = — — ;

NOTE X I

aoq

donc F (a -f- b) sss ^ F"a -f- etc. ; ^onc , puisque c = — ,

la valeur de c sera aussi du même ordre b'. De même, la valeur de F (a + b + c) sera de l’ordre de c*, et par conséquent de l’ordre

. de b* ; car F(a~f-b-f-c) = F(a-4- A)+cF'(«^f-/') + — F"(aH- b) -f- etc. ; % » * mais c = — ? ; donc F(a -f- b 4- c) = — F "( a + b) -f- etc. ;

do^, puisque d = — p,|'' ^ ^ > l fl valeur de d sera aussi de

l’ordre de é 4 , et ainsi de suite. D’où il suit que si Fa est une quantité très petite, l’erreur des approximations a b, a -f- é-f-c, a b -f- c -f- d , etc. sera respectivement de l’ordre des puissances a, 4,8, etc. de Fa.

Ce procédé est assez commode pour le calcul arithmétique ; mais si l’on voulait avoir une formule ordonnée suivant les puissances de Fa, il faudrait développer successivement toutes les fonations , et l’on trouverait la série , :

Fa (Fa)*F'a . (Fa) 5 F'« (Fa) 3 (F'a)‘ .

° Fa + ïl^T 4 elC -

■ a. On pourrait parvenir plus simplement à cette formule , en tirant la valeur de p de l’équation

Fa + pF'a 4- Ç F"a 4- f 4- etc: = o ;

on aurait d’abord

et l’on substituerait successivement les premières valeurs de p dans les termes qui contiennent p ‘ , p*, etc. ; ou bien on supposerait tout de suite

p = AFa 4- B(Fa)* 4- C(Fa) 1 + etc. ,

et égalant à zéro les termes affectés des mêmes puissances de Fa ; ce qui donnera les équations nécessaires pour la détermination des

mo NOTE XL * «

coeflicieus indéterminés A, B, C, etc., on aurait AF'a H- i = o ,

• BF'a -f- - F'a = o ,

SI 4 . m

CF'a 4- ABF'a + ^ V'a = o , +

etc. , »

d’où l’on tire

aCFa) 3 ’

(F-ap

“ WÏ)'

et la rerie

* 4- AFc 4- B( Fc)* 4- C(Fc)» + etc. ,

rera'la même que celle qu’on a trouvée ci-dessus ; ce qui prouve la correspondance des deux méthodes.

3. Mais on peut arriver à ce même résultat par une autre méthode plus directe et plus analytique.

La question consiste à tirer de l’équation F(a4-p) = o, la valeur de p en série. Je puis regarder la quantité a comme une fonction d’une autre quantité a, et supposer que a devienne a-\-p lorsque <t deviendra a. 4- 1. Ainsi , comme « devient en général

a -f- id 4 - - a" 4- ^-3 a '" 4 ” etc. > lorsque a devient a 4- ‘ , ou aura

p — id 4- 4“ a "‘ + etc. ;

comme la quantité a est indéterminée , je puis la supposer telle , que l’on ait alors F (a 4* p) deviendra *+t, et l’équa-

tion F (a 4- p) sa o sera * 4 - 15 : o, laquelle donne sur-le-champ

i sss — et * — - Fa ; de sorte qu’on aura

P =' ~ SP* + ï (F-)* - ~3 (Fay + e«c.,

et il n’y aura plus qu’à trouver les valeurs de a', a", a" 1 , etc.

Ces valeurs sont les fonctions dérivées de a , considérées comme fonction de a; or on, a pour la détermination de a, on a, l’équation l a = ce ; donc , si l’on prend les fonctions dérivées relativement à a , en regardant a comme la fonction de a, et qu’on désigne , ’ comme on l’a £ut plus haut, pur F 'a, F "a, F '"a, etc. les fonctions dérivées de Fa , par rapport à a , les fonctions dérivées de Fa , F'a, etc., relativement à a, seront a'F'a, a'F"a, etc., et l’équation F a — a donnera d’abord a'F'a = r , d’où l’on tire

et de là, en prenant toujours les fonctions dérivées, et substituant ce;tte valeur de a',

a ~ (F'a)* = (Fa?’

— (F'a)* (FSF *

(Fa)* (Fa)» »

etc.

On peut trouver ainsi successivement les valeurs vie a', à ", a'", etc., par lesquelles on pourra continuer aussi loin qu’on voudra la série * m

a — a'Fa -f- ^ (Fa)* — ^ (F * 1 ) 5 ■+• etc. ,

qui exprime la valeur de x dans l’équation Fx= o, et l’on aura la même série qu’on a trouvée ci*dessus.

Cette formule revient à celle qu ’ Euler a donnée dans la seconde partie du Calcul différentiel (chapitre IX, art. a 34 )- On voit par un Mémoire de Caurtivron , imprimé dans le volume de l’Académie des Sciences, pour l’année 1744 j qu’EWer l’avait déjà trouvée à

ai»

^OTE XI

cette époque, et l’on peut la compter au nombre des découvertes dont il a enrichi l’Analyse. Par la manière dont nous venons de la présenter, elle est une suite naturelle de la théorifc du développement des fonctions.

4. Nous allons maintenant rapprocher les résultats préccdens de ceux qu’on peut tirer des séries récurrentes. Suivant la méthode exposée dans la Note VI, pour avoir la valeftr de la racine p de *

. l’équation ^

Fa -4- pY a F "a + F"'o -f- etc. b= o ,

il faudrait développer la fraction

Fa pYa + j F*a + etc.

F a -j- jjT* tt -f- — F'» 4- etc.

suivant les puissances de p ; et si T 'pT et sont deux termes

consécutifs, on aura ÿ pour la valeur de p, d’autant plus exacte que céfe termes seront plus éloignés du commencement de la série.

Dans la méthode ordinaire, les termes d’une série récurrente se forment les uns d’après les autres; mais cette manière, qui est très commode pour le calcul arithmétique, n’est pas propre à donner le terme général en fonction des coafiiciens de l’équation , et il faut , pour cela , employer d’autres moyens.

5. Pour donner à celle recherche tpute la généralité dont elle est susceptible , je vais considérer la fonction fractionnaire

dans laquelle je suppose que fx et <px sont des fonctions de x telles, que

fx = A -f- Ilx -f- Cx* -f- Dx 5 - 4 - etc. , fx = F + Qx -f- Rx* + Sx 5 -f- etc.

Je représente par

(°) + (>)* + (a)** + (3)*» + etc.,

la série résultante du développement de cette fonction , suivant les puissances de x, et je me propose de trouver l’expression du cocf- • licient (/i) de la puissance x*.

Je commence par développer la fonction suivant les puissances de Jx\ j’ai la série

+ elc - »

je considère chacune de ces fractions en particulier , et je cherche les termes multipliés par x* qui peuvent résulter de leur développement.

La fraction — - — donne la série connue

Z + ,7 + ? + .7 + etc ’

laquelle étant multipliée par la série représentée par <px. donnera les termes suivans, affectés de x*.

où il faut remarquer que , comme les puissances de u dans les dénominateurs vont en diminuant, il faudra s’arrêter au terme divisé par u.

, " 6. Or, si l’on considère la fonction çx , qu’on la divise par x" +1 , qu’ensuite on y change X en u, et qu’on ne retienne que les termes divisés par u ou par des puissances de u, il est aisé de voir qu’on aura de cette manière la série qui multiplie x 1 . Donc, la partie multipliée par x", provenant de la fonction ^ , pourra être représentée par x*, en ayant soin de ne retenir que les termes de — ^ qui auront u au dénominateur.

De la même manière, si l’on cherchait la partie multipliée par y*,

NOTE XI

âi4

provenant du développement de la fraction t suivant les

puissances de x, on trouverait x", en ne retenant dans

que les termes qui auraient une puissance de u au dénominateur. La quantité est donc identique avec le coefficient de x* dans le développement de ^ ; donc l’identité

subsistera encore entre les fonctions dérivées relativement à «; d’où il suit que la fonction dérivée de , que nous dénoterons par

( »£* ) , sera égale au coefficient de x* dans le développement

de la fonction dérivée de relativement à u.

Or, comme u ne se trouve ici que dans le dénominateur, et que la

fonction dérivée de — - — est — , — '—r,, on en conclura tout de suite u — x (»— i)

que ■ r " sera la p art * e du développement de — qui

sera multipliée par x*, en ayant toujours soin de ne retenir dans la fonction , et par conséquent aussi dans sa fonction dérivée

(«££)' , <]ue les termes qui auront u au dénominateur.

On trouvera pareillement que la partie multipliée par x* dans le

développement de suivant les puissances de x, sera exprimée

par ^-7^7-—, en ne retenant que les termes divisés par des puissances

de «; donc l’identité subsistera encore à l’égard des fonctions dérivées relativement à u ; par conséquent , la seconde fonction dérivée de

— relativement à u, que nous dénoterons par ( ) , sera

encore égale à la partie affectée de x* dans le développement de la seconde

fonction dérivée de * x f ’ x . Mais la première fonction dérivée «le — —

étant — secont le sera donc, divisant par a, on

NOTE XI

ai5

en conclura que •*" 861-3 l a partie du développement de ^~~ÿ

qui sera multipliée par x", en ayant soin de ne retenir dans la valeur de que le» termes divisés par des puissances de u.

On prouvera par une analyse semblable , qu’en dénotant par (âTu^O tr0 “*® me f° nc ü° n dérivée, relativement à u, de lafonc-

tion , et supposant qu’on ne retienne dans cette fonction que

les termes divisés par des puissances de «, la partie multipliée par x" dans le développement de — > suivant les puissances de x, sera

exprimée par P") et a ' n8 ‘ de suite.

Donc, en rassemblant toutes ces parties, on aura l’expression complète du terme (n) x* du développement de la quantité - 9 y yj x ’ suivant les puissances positives de x, et l’on trouvera

en ayant soin de ne retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de u.

n, ISous remarquerons ici qu’en prenant encore successivement les fonctions dérivées suivant u , on pourra avoir les expressions des termes

multipliés par x*dans les dévcloppemens de ^ 'x+fxÿ ’ jZ’ —x’+fxÿ ' de (u TjTftf ' etc - Aiusi cn désignant par («)', (n)", (n) m , etc. les

fonctions dérivées, première, seconde, etc. de la fonction de u désignée par (n), on aura

(«)'x-, {*>" !’, p, etc.

pour les expressions des termes dont il s’agit. Et pour avoir les valeurs

a, 6 NOTE XI.

de (n)', (n )" , etc. il n’y aura qu’à ajouter un trait, deux traits, etc. aux fonctions > etc - de l’expression de («).

8. Supposons qu’on demande le terme général (n) x° de la série provenant du développement de la fraction rationnelle

avec cette formule

Donc on aura

1 IX cos

numérotée

ir et le dénominateur , et l’on aura par la

' u — x+fx

a co»*’ P

(a cos*)* 7

m. etc.

, (2 COS *y '

Donc

Çu

Pu-"' 1

acos»

çu X fu

Pu-*-*"

Qu-**

(2 cos»)*

çu X/*u

Pu-** 1

. Qu — h

1 (acos«)*‘

En prenant les fonctions dérivées par rapport à u, on aura donc

/ç u X /u\ ' ( » — i)Pa~* (n— a)Q»—*"

\ u**‘ / (a cos •)• (a cos •)* ’

/ çu.Xf'u V'