V. au* +l

(/» — 3) (n— a) Vif *' a (a cos») 3

■ (» — 4) (n — 3)Qu— +*

etc.

NOTE xr.

et par conséquent

(„) = p + (h ~!V;- 3 ?s u — - etc.)

v ' \2cos* (200s*) a (2 cos*) 3 /

‘ ^Vicos» (acos*)’ ~ a(acos»)' )

où il n’y a plus qu’à substituer au lieu de u sa valeur On aura ainsi

(n) — P Qacoso»)* — (n — 1) (a cos — — (a cos en )’ -4

( 3 cos a y-4 + etc . J

- 1 - Q £(acosûi)*~' — (n — ajfacosa»)" - 1 ’ + — — — — (acosai )* -5 - ("- 6 )(»- 5 )(»- 4 ) (a cos + elc . ^

où il suilira de 11e point admettre de puissances négatives de cos a*.

Cette expression peut se réduire à une forme plus simple , en employant les formules connues des sinus des angles multiples; on aura par ce moyen

fa) = P* in( " +0 * + Qgg^,

comme Euler l’a trouvé dans l’Introduction à l’Analyse ; mais la formule précédente a l’avantage de pouvoir s’appliquer facilement aux fractions dont le dénominateur est une puissance quelconque.

En effet, pour la fraction

__JP±Q* .

(1 — Xï cos « + **)* ’

on aura le terme général — (n)'x*; et en prenant la fonction dérivée de l’expression de (n) en u, on aura

(„)' = p / (»+«) «-*-; fc- «) «T-»

NOTE XI

et substituant pour u sa valeur — - — , il viendra 1 acos«

— (n)' =: P £(« *+- 1 ) (a cos «)•■*■ 1 — (n — i ) n ( a cos «)*~*

-+■ — — ^ " ~ ^ — — — (a cos ai)* - 3 — etc. ,

-f-Q|^n(acosûi)* — (n — a) (n — i) (a cos /d)‘~‘

-f- — - — — - (a cos u) 4 — etc. I ,

où il suflira aussi de pousser les séries jflS^u’aux puissances négatives de cos a exclusivement, et ainsi de suite.

9. Reprenons maintenant l’expression générale en u, du coefficient (n) de la puissance x* dans le développement de la fraction ^ ^x+fx ’’ et

supposons que le numérateur <px soit 1 — fx, ou plus généralement, de la forme (1 — fx), c’est-à-dire qu’il soit le produit de la fonc-

tion dérivée du dénominateur prise négativement, par une fonction qu’on suppose entière et rationnelle. Faisant la substitution de 4 “(i — fu) au lieu de $u, on aura

Or

4« 4“ xf“ , /’4»x/«V /4“X/u/'u\'

et par conséquent

Donc faisant ces réductions, et supposant pour abréger

NOTE XI

on aura

(n) = '{■'« + 'ir'u x/a +

Cetle formule servira à trouver l’expression du terme général (n) x* dans le développement de la fraction

suivant les puissances de x, pourvu qu’on ait soin de ne retenir que les termes qui contiennent des puissances négatives de u.

10. Supposons 4 -x = 1 , et par conséquent -\u=z i , ~Ÿu = u * , on aura le terme général ( n) x m du développement de la fraction

Or, ai et, ( 2 , y, etc. sont les racines de l’équation u — x~\-fx=. o, ce terme sera exprimé par

jjîr. -f-ÿSï ■+• etc.)x*,

par ce qu’on a démontré dans la Note VI (n* 6). On aura donc, en mettant n à la place de n -f- 1 ,

.Jr-^ + ^ + etc.

— u~‘ 4- (u—y fu •+■

etc.,

en ne conservant que les puissances négatives de u.

1 1 . Soit proposée , par exemple , l’équation a — bx + cx‘ — o, dont les racines soient et et fi.

On la divisera par b pour la réduire à la forme u — x-\-fx, on aura fx^~, et la valeur de a sera g. Donc changeant x en u dans

NOTE xr.

fx, on aura fu sa et de là

nc 5 u-" +5

(«“■y X = — — p — , etc. Donc - -4- - = ^ U—*" O- üli

- n ( B -5)(,-4)c^ - +a + etc>

n(n— 3)c‘ ai*

où il n’y aura plus qu’à faire u = On aura ainsi

î y*y nc/iy , «(»— 3)o* yty

0* — w — à w ■* ÏÏ 1 W

en continuant cette série tant qu’il y aura de puissances positives de

Si l’on voulait avoir la somme des puissances positives <t*+/3“, il n’y aurait qu’à considérer l’équation a, r* — àx -j- c = o , qui résulte de

l’équation précédente, en changeant x en et dont les racines sont

par conséquent ^et ce qui ne demande que de changer a en c et c en a. On aura donc ainsi

.. + s-=©-?cT'+”- t ^cr

la. En général, a., /3, y, etc. étant les racines de l’équation

u — x -f- fx — o ,

u—x+jx — k{x — <t) (x — &) (x — y)

k étant le coefficient de la plus haute puissance de x; et prenant les

NOTE XI

fondions dérivées de part et d’autre,

donc divisant et changeant les signes ,

u — x — fx « — x fi — x y — *

et multipliant par 4 ar «

•etc..

> H — — — f- etc.

Or 4- r étant supposé une fonction entière de x, on pourra la diviser par a— x , jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste sans x; et, pour trouver tout de suite ce reste, il n’y a qu’à considérer que 4 « — 4 •Z' est divisible par * — x , le quotient étant une fonction entière de x et a, que nous désignerons par F (x, a); et si 4^ est une fonction du degré m, il est clair que F(x, a) sera du degré m — i. Donc, puisque 4* “ 4^ = F(x, *) X (* — x), on aura

4x = 4a — F(x, a) X (« — x); donc ^4^ = — F (x, a) 4 —

On trouvera de mémo == — F (x, 0) -}- j~~~ x > et ainsi des autres. Donc, en faisant ces substitutions, on aura

= — F (x, a) — F(x, 0) — F (x, y) — etc.

-f- etc.

En résolvant ces fractions en séries, on aura après les m — 1 premiers termes, dans lesquels se fondent les parties entières — F(x, a), — F(x, 0), etc. une suite régulière dont le terme général sera

+ ÿsn + «te- ) *■;

de sorte qu’on aura, n étant > m,

(") — “4* îï£r *4- 4yr +

NOTE XI

C’est le terme général de la suite récurrente qui résulte de la fraction x , exprime par les racines *, fi, y, etc. de lequation U — x -f- Jx = O.

En comparant cette expression avec l’expression générale de (n) en u trouvée ci-dessus, et mettant pour plus de simplicité n à la place Jen+ l, on aura

= Vu- f- Vu X Ju + (- “ */-)

etc. ,

où Vu = , et où l’on ne doit retenir que les termes qui con-

tiendront des puissances négatives de u.

i3. Supposons maintenant que l’exposant n soit infiniment grand, en sorte que le terme (n)x m ~‘, auquel il répond dans la série récurrente, soit pris à une très grande distance de l’origine, on pourra

alors regarder la fonction Vu = ^ comme ne contenant que des

puissances négatives de u, et même toutes les fonctions Vu X Ju, Vu x f‘u , etc. , comme ne contenant aussi que des puissances négatives de u; du moins cette supposition sera d’autant plus exacte, que le nombre n sera plus grand. Dans cette hypothèse, il n’y aura aucun terme à rejeter dans l’expression de (n), et l’on pourra regarder la série

-ft. + Vu X fr + (Î^£î)' „c.

comme allant à l’infini sans aucune interruption.

i3. Or, j’observe que toute série de cette forme, dans laquelle Vu et Ju sont des fonctions quelconques de u, a cette propriété remarquable , que si on la multiplie par une autre série semblable , dans laquelle, à la place de la fonction Vu, il y ait une autre fonc-

NOTE XI

tion quelconque nu, le produit sera encore une série semblable, mais dàu9 laquelle il y aura taxll# à la place de 4 u. En effet, si l’on multiplie ensemble les deux séries

♦* + -Tu x/a + (ï^&)'+ C'^)"+ nu + n'u x ru + elc .,

on a

•Eu x nu