ü j. j ctc

a,«+r ~ t yn+r }

sera exprimée par la série infinie

etc. .

en faisant Ÿu=^ divisé par —p, c’est-à-dire 'î'u = u.

D’un autre côté, n étant un nombre infiniment grand, il est visible que les deux quantités ci-dessus se réduisent à leurs premiers

termes ^ et a. étant la plus petite des racines a, /3, y, etc.

Donc le quotient de la première des quantités , divisée par la seconde, se réduira à a'; d’où il résulte ce théorème très remarquable :

Si a. est la plus petite racine de F équation

u + x fx = o,

on aura

et r = u r -+-

W X > + (!=ï^)'+ (!^)"+ etc-,

r o/anr un nombre quelconque positif ou négatif.

Ainsi l’on a par cette formule , non-seulement la racine a . , niais encore une puissance quelconque de la même racine.

16. Si l’on fait maintenant r— n, n étant un nombre fini quelconque, et qu’on compare cette formule avec celle qu’on a donnée

plus haut pour la valeur de ~ -j* -f- ^ -f- etc., on en tirera la

conclusion suivante, très singulière.

Si, dans la formule

+ (.-r/* + (ÈqjÆ)" +

on ne retient que les termes qui ont des puissances négatives de u, elle donne la valeur de la somme des puissances — n de toutes les racines a., (3, y, etc., et si l’on y conserve tous les termes, elle ne donnera que la même puissance de la plus petite racine a.

17. Ainsi, comme nous avons déjà trouvé plus haut pour les racines a et /3 de l’cquation ex* — ix-f-a=o, la formule