i\* ne /AV* - 1 , n(n — 3)c * /A

a* 4 "** - W TW "f" ai* W

en 11e continuant la série que tant qu’il y a de puissances positives

de - ; si l’on continue cette même série à l’infini sans aucune intera

ruption, on aura alors la valeur du seul terme p, en prenant pour a

la plus petite des deux racines a et /3 ; et même on pourra y faire n positif ou négatif, à volonté.

Les deux racines de l’équation ex* — bx -f- c = o étant <*

BOTE XI

et /3, celles de l’équatiôu ox* — bx c — o, seront ^ et et l’on aura

■ b , v/(i* — 4 a£ ) 1 b __ y'fà* — 4 UC )

a. la ' 2 a ’ fi ~~~ 2a 2a

a étant supposée la plus petite des deux racines. Ainsi la série

O-tO

2 i* Va/

eu ne retenant que les puissances positives de - , c’est-à-dire les puissances négatives de a, sera égale à

(aa)" ’

n étant un nombre entier quelconque; et si l’on continue la série à l’infini , elle deviendra égale à

1 /( 6 * — jac)y

n étant un nombre quelconque positif ou négatif.

La première partie de cette proposition est facile à vérifier par le simple développement des puissances n""", puisque le radical l/(é‘ — 4 ac ) disparaît de lui-même; et d’ailleurs elle est déjà connue par le théorème de Moivre.

Pour vérifier l’autre partie , il faut réduire en série le radical lu imènie. Ainsi en faisant, par exemple, n = i, la série devient

b c a ac* 3.4 a'r’

â~~ Z ~ elc ' »

laquelle peut se mettre sous cette forme

b . b 12 c I . i 8ac* 1 . 1 . 3 32a*!: 1

8ac*

— etc.

Or cette série est évidemment égale à — -f

v/(6* — 4<jf)