Si es r

NOTE XI

a , a'c d'd dt df

, aa’c* 5a W . 3a 5 (t^ + a»)

1? TF

üa'c* ai dcd

etc.

-f- etc.

etc.

J(*'r ai an .

— ÿ- + etc.

\^dc*

etc.,

C’est ia fortnule connue de Newton, pour le retour des suites, qu'on n’avait encore trouvée que par la méthode des indéterminées. L’analyse précédente, en même temps qu’elle donne la loi de cette formule et le moyen de la continuer aussi loin qu’on voudra , fait voir que la valeur de x qu’elle exprime est la plus petite des racines de l'équation proposée.

20. Si l’on veut appliquer la formule précédente à la détermination de la valeur dé jà dans l’équation

Fa + pF'a -f- — F "a F"'a -f- etc. = o,

que nous avons considérée au commencement de cette Note, il n’y

aura plus qu’à substituer Fa, — F'a, ^F"a, — ^jF'"a, etc. , au lieu

de a, A, c, d, etc., et p au lieu de x\ on aura ainsi

Fa (Fa)*F* g , (Fa)^« (Fg) 3 (fa)-

H F'g a(Fa) 1 " r a.3(Faj« a(F''a) s r *

ce qui donne la même série que nous avons trouvée par deux méthodes différentes.

Nous pouvons généraliser encore la formule du théorème donnée plus haut. En effet, puisque a est une des valeurs de x , ce théorème peut se présenter ainsi.

ai. L’équation x=«-|-/x donne en général

*-<+W*A+ (iïïf&y + (S2^Cï)' +

Or, soit Fx une fonction quelconque donnée de xj on peut la

NOTE XI

supposer réduite à la forme Mx' -f- Nx' -f- Px* -f- etc. ; ainsi , pour la valeur de Fx, il n’y aura qu’à ajouter ensemble les valeurs de x', x’, x 1 , etc., multipliées respectivement par RI, N, P, etc.; on aura par ce moyen une formule dans laquelle, à la place de a', il y aura Mu' -f- Na' -f- Pu' -f- etc. , c’est-à-dire Fa, et par conséquent F'u à la place de (u')'.

De là résulte enfiu ce nouveau théorème , remarquable autant par sa généralité que par sa simplicité.

L'équation x — u -f- fx donne

Fx = Fu+F'u x/a-f- j (F'u X f'u)' 4 - (F'u X / 3 u)" -f- etc. ,

où les fonctions désignées par les caractéristiques f et F', peuvent être quelconques.

En effet, ce théorème, présenté de cette manière, est indépendant de la considération des racines, et n’est plus qu’un résultat de la transformation des fonctions, qu’on peut vérifier par l’élimination successive (le x ou de u. J’ai donné, le premier, ce théorème dans les Mémoires de l’Académie de Berlin, pour l’année 1768; j’y étais parvenu par une analyse à peu près semblable à la précédente, mais moins rigoureuse. Plusieurs géomètres se sont occupés, depuis, à le démontrer à posteriori par le développement des fonctions ; mais Laplace en a donné , dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, pour l’année 1777, une démonstration directe et élégante, tirée du calcul différentiel; c’est cette démonstration que j’ai transportée dans la Théorie des Jonctions (n* 99).

Il est bon de remarquer qu’en faisant u = o, l’équation

x = u +fr devient x = /x, laquelle peut représenter une équation quelconque eu x; et l’on aura la valeur d’une fonction quelconque Fx, en faisant « = o dans la série

Fa + Fa x/a -f- (F'a x f'u)' + ^ (F'a X />«)"+ etc. ,

après le développement des fonctions; ce qui est beaucoup plus simple.

aa. Avant de terminer celte Note , je vais faire voir comment la

NOTE Xî.

7ÎO .

méthode du n* i3, pour résoudre par approximation l’équation

F(a + />) = o, peut être appliquée à la résolution sumultanéc de plusieurs équations à plusieurs inconnues.

Supposons que l’on ait deux équations entre les deux inconnues x et J que nous désignerons en général par F(x, y) = o, elf(x,jr) =o. Supposons en même temps qu’on connaisse déjà deux valeurs approchées a et b, de x et y', ensorte qu’en faisant x = a+p , j = b-j-q, les quantités p et q aient des valeurs fort petites. U s’agira de tirer ces valeurs des deux, équations

Suivant l’esprit de la méthode de Neivlon, on développerait les deux fonctions en séries, les deux équations deviendraient ainsi

F (o, b) + M/> -f- Nç-f-elc. = o, f[a, b) mp ■+■ nq - 4 - etc. == o,

d’où l’on tire pour première approximation

P Mn — Nm ’

M fia, b) — mF (a, b)

9 N n» — Mn

Ainsi a et b étant les premières valeurs approchées de x et y, a-\-p, b -\-q seront des valeurs plus approchées qu’on pourra substituer à la place de a et b dans les fonctions/» et 9 ; et désignant par p„q, ces nouvelles valeurs de p et q, on aura a+p+p, et b+q+q' pour les valeurs de a? et y encore plus approchées, et ainsi de suite.

Ce procédé a été donné par Thomas Simpson, dans ses Essais sur plusieurs Sujets mathématiques , et il est assez commode pour le calcul arithmétique ; mais il serait difficile d’en tirer des expressions de x et y en séries ordonnées suivant les puissances des quantités F (a, b) , et /(a, b), qui expriment les erreurs provenantes des premières suppositions, et surtout d’avoir la loi de ces sériés 5 voici comment on peut y parvenir.

On regardera les quantités a et b comme des fonctions quelconques de deux autres quantités « et /3, etc. , de manière que ces quantités de-

NOTE XI

venant a -(- i et /3 + o, les quantités a et b deviennent a-\-p et b + q ; et on supposera que ces fonctions soient telles que F (a, b) = a. et y (a, b) = j 3; ce qui donnera, en mettant a-f-« et |8 + o au lieu de a et /3,

F(a+p, b + q) = oL-{-i, f{a + p, b -f- q) = /3 -f- o;

de sorte que les équations proposées deviendront alors a-j-i = o et /3-\-o=o; d’où l’on lire i= — a.= — F(a, b) et o= — /3= — f(a, b).

Or, en adoptant la notation des fonctions dérivées, indiquée dans lu Note précédente (n* g), les fonctions a et i des quantités a cl fi, lorsque ces quantités deviennent a + i et /3 + o, se développent dans les séries

fl + (7) * + G 7 ) ° + &) à + fe) 10 *+■ (B 7 + elc b + (1) * + (?) 0 + ®)ï + (À 7 ) io + © 7 + etc '

Donc, substituant — F(n, A) pour t et — fi a > b) pour o, on aura + î©B>7ï)V(ÿ) F (a, i) x/(«, i)

+5.(J:)/K*)‘+ etc >

*;©*<**)■ + (£)*<•» x A*> b ) +^(^)/( a > *) + elc ->

où il n’y aura plus qu’à substituer les valeurs des fonctions partielles (a 7 )’ (f 5 )» (~>)> etc. qu’on tirera des équations

F (a, b)— a, et f(a,b) = l 3,

eu prenant successivement les fonctions dérivées relativement à a e l fi, et substituant à mesure les valeurs déjà trouvées dans les suivantes.

Ainsi on aura d’abord

Mais on a en général, relativement à a et b,

. F' (a, b) = (H»> *2) fl < + b . ,

donc , en regardant a et b comme fonctions de * et /3 , on aura relativement à chacune de ces quantités en particulier,

W - W) X © + W) x © = o, (pr*) = x © + (ppt) x © =

d’où l’on tirera les valeurs des quatre fonctions dérivées partielles du premier ordre (J), (j), (K), (J), exprimées par les fonctions puw

tielles (^--), qui sont faciles à

déduire des fonctions données F(a, i), f(a, é), en prenant leurs fonctions dérivées, relativement à a et b en particulier.

Ensuite, en prenant de nouveau les fonctions dérivées des valeurs ^ t (jp), etc. relativement à a et /3, on aura les valeurs de

(Jrjj), etc. et ainsi de suite.

Si l’on fait pour abréger

(PP)—. (Pv ± !)-«•

on aura

NOTE XI

M» — Nn*’ \j) ~~ Ma — N/jj’

Un — Nm* M/J — Nn»’

el les premières valeurs de p et q seront

«F (a, b) fi fia, b)

' . Mn — Nm " t " Mn — Nm’

Ces premières valeurs de p et q coïncident avec celles que nous avons trouvées ci-dessus; mais les formules que nous venons de donner pour les expressions générales de p et q ont l’avantage de présenter des séries toutes développées, et faciles à continuer aussi loin que l’on veut.

NOTE XII

Sur la maniéré de transformer toute équation , en sorte que les termes qui contiennent X inconnue, aient le même signe, et que le terme tout connu ait un signe différent.

J’ai observé dans l’Introduction, que les méthodes de Viete et de Ilarriot, pour la résolution des équations numériques, ne peuvent s’appliquer d’une manière certaine qu’aux équations dont tous les termes qui contiennent l’inconnue, ont le même signe, et le terme tout connu a un signe différeut, et j’ai dit qu’on peut toujours ramener à cette forme toute équation, pourvu qu’on ait deux limites d’une de ces racines, lesquelles soieut assez rapprochées pour que toutes les autres racines réelles, ainsi que les parties réelles des racines imaginaires, s’il y en a, tombent hors de ces limites. Comme j’ignore si cette transformation est connue, je crois devoir l’exposer ici, afin que ceux qui désireraient se servir des ancieunes méthodes puissent toujours les employer avec succès.

i. Soieut a, b les deux limites données, ou connues d’une manière quelconque , a la limite en moins , b la limite en plus.

En supposant que x soit l'inconnue de l’équation proposée, on

fera x = et après les substitutions et les réductions, on

aura une équation transformée en y, du même degré que l’équation en x, qui aura la forme demandée , si la limite a est assez près de la valeur de la racine.

Car soient «, j3, y , etc. les racines de l'équation proposée en x, et a. la racine dont a et J sont les limites. Puisque x — a ~^- , on aura y = ; donc les racines de l’équation en y seront * ~ " ,

\ a y » e t c - Or oïl a par l’hypothèse a. > a < b ; donc ,

NOTE XII

a — a > o, b — a > o; donc la racine sera positive et d’au*

tant plus petite, que la différence entre la limite a et la racine a sera moindre. Ensuite, comme les autres racines fi, y, etc. sont supposées tomber hors des limites a et b , si fi <a, on aura aussi nécessairement fi < b ; donc fi — n <; o , et A — /9 > o; donc la

racine ^ sera nécessairement négative. Si, au contraire, /3 > b , on aura aussi fi > a ; donc /S — a > o, et A — /3<oj Jonc sera encore une quantité négative. Donc la racine ^ ^ sera , dans tous les cas, négative. Il en sera de même de .toute autre racine, comme qui correspond à une racine réelle y de l’équa-

tion en x.

Mais supposons que fi et y soient imaginaires, elles seront nécessairement de la forme p-i-try/— i, p — a\/— i, p et a étant des quantités réelles (Note IX) ; donc faisant fi=sip-\-a^— i , la racine ~~ ^ deviendra ^ ^ ^ j ; multiplions le haut et le bas

par b — — i, on aura — — — ^ ••

Mais on suppose que la partie réelle p tombe aussi hors des limites a et b ; donc si p<a, on aura aussi p<A; par conséquent p — a<o, b — p>o; donc (p — a)(b — p)<o; et si p >A, on aura aussi p > a; donc p— a > o, b — p < o, et par conséquent aussi (p — a)(b — p)<o; donc la quantité (p — u) (A — p) sera, dans tous les cas , négative.

Donc , puisque a‘ et (b — p )* sont essentiellement des quantilés positives, la racine ^ deviendra, dans ce cas, de la forme

— P Q V~ 1 i Pet Q étant des quantités réelles, et P étant essentiellement positive. De même, en faisant y = p — sri/— i,

la racine * deviendra — P — Q t/ — > , et ainsi des autres racines imaginaires.

Donc, en prenant des quantités positives p , q, r, etc., P, Q, R , etc. , les racines réelles de l’équation en x donneront dans la

NOTE XI!

transformée en y les racines réelles p, — q, — r, etc., et les racines imaginaires de la même équation donneront dans la transformée les racines — P+Qv^ — i> — P — Qv/ — *> — R+Sv/ — i, — R — S j/ — i , etc. Donc la transformée en y sera formée des facteurs

ï — Pt J + 9, S + r, etc.; jr + P — Qj/—,,

.r-t-P + Q/— t, 7 +R — Sv/— I, y~\r R+Sv/— I, etc.

Or, les deux facteurs imaginaires y+P — Qv/ — i et .X+P-f-Ql/ — i , donnent le facteur double rcel y*-f- aPj" -4- P* -p Q*, et ainsi des autres. Donc l’cqualion en y sera

( y—p) (s-H) ( y+ r )- •(r‘+aP/+P*+Q‘) ( •+R , +s*)” =»•

a. Considérons le produit de tous ces facteurs, excepté le premier,^ — p\ comme tous les termes de ces facteurs sont positifs, il est visible que leur produit , ordonné par rapport à y , ne pourra contenir que des termes positifs. Le produit sera donc de la forme

y“~‘ -f- Ay— -f- R/* - ’ -f- etc. -f- K ,

où les coefliciens . A , B, C, etc. R seront tous positifs, sans qu’aucun puisse être nul. Multiplions maintenant ce polynôme par le facteur y — p, on aura

y + (A —p)y-‘ + (B -A p)y- + (C-R/OjT - 5

+ etc. — K/) = o,

pour l’équation en y. *

On voit ici que le dernier terme — R/j est essentiellement négatif, et que les termes précédens seront tous positifs , si l’on a A >/>, B> A p, C >B p, etc. Comme en rapprochant la limite a

de la racine a, la valeur de p, qui est y ° , peut devenir aussi

petite qu’on voudra , il est clair qu’ou pourra toujours prendre a

telle que l’on ait P<A, , <g, e * c *> ce *l u * ren <lra tous les termes positifs, excepté le dernier.

NOTE XII

Ou ne doit pas craindre qu’en diminuant ainsi la valeur de p , les valeurs de q, r, etc., P, Q, etc. diminuent en même temps, de manière à devenir nulies avec P. Car en faisant a — a , ce

qui donne p =o, la valeur de q , qui est j-— deviendra — ^ — • et les valeurs de P et Q, qui sont — et

deviendront *~ et , et ainsi desautres.

Donc , on est assuré que la substitution de “y ^ au lieu de x ,

donnera une transformée en y qui aura la condition demandée, pourvu que la limite a eu moins soit assez près de lu racine dont elle est limite; ce qu’on pourra toujours obtenir eu essayant successivement pour a des valeurs grandes.

3 . On a trouvé dans le chap. IV (n* 37), que l’cquation x 3 — 7374-7=0 a trois racines, deux, positives et une négative} et que les deux racines positives sont exprimées par des fractions continues , dont les termes sont 1, 1, a, 4> etc. et 1, a, 1, l\ , etc.; de là on peut former ces fractions convergentes vers les deux racines

ô » 7 » I » 3 » 73 » etc ' »

JL I 5 4 29

O » I » 2 ’ 3 ’ 14 » eu "

On voit d’abord que 1 et a sont deux limites de la première racine ; mois , comme la seconde racine est renfermée entre les nombres 1 et § , elle se trouve aussi nécessairement renfermée entre les mêmes limites ; 011 prendra donc les limites suivantes a et j ,

et l’on fera a = |, b— a , et par conséquent x= ~y =

Mais , puisque les multiples de^ ne changent pas les signes de l’équation city, on pourra faire simplement x=^y-y, en mettant y pour 3 y. On trouvera ainsi la transformée

qui est, comme l’on voit, à l’état demandé.

3 38 NOTE XII

De môme, si l’on prend pour l’autre racine le» limites {et J, en faisant a=i et b = { , on aura la substitution x = Œ - ,

g -X-Zy

ou bien, en mettaut simplement^ au lieu de 3y, xz= et l’on trou-

vera la transformée

J* + fy" -h 4 r — 8 = 0,

qui n aiis^i Ifl forme demandéo.

Les limites que nous avons employées ont conduit directement aux transformées que l’on cherchait , mais si l’on avait pris , par exemple, pour la première racine les limites a et {, qui ont également la propriété qu’aucune autre racine s’y trouve comprise, puisque l’autre racine réelle est moindre que {, on aurait eus={,

b = 3 ; ce qui aurait donné la substitution x = ijtiï = AdrJZ

ou bien, en mettant y pour a y, x = et l’on aurait trouvé

la transformée

qui n’a pas encore la forme demandée, parce que la racine positive se trouve trop grande.

Mais, sans recourir à une nouvelle substitution en augmentant la valeur de a, il suffira de diminuer toutes les racines d’une môme quantité », en faisant y = z 4- i, et chercher ensuite par des essais une .valeur de i qui satisfasse aux conditions qu’on demande. On aura ainsi cette transformée

z 1 -f- (3t -f- i)z* 4- (3i* -f- ai — a)z -f- i* + t* — a» — i = o ,

et il s’agira de prendre i positif, et tel que 3i*-f-ai>a et... t' + i* < ji+i. On voit tout de suite que » = i satisfait, et l’on a la transformée

■ z* -f- /fc* 4* 3z — i = o , qui est la même que la transformée en y trouvée d’abord.

4. Nous avons vu dans l’article 111 du chapitre V ( n° 7a ) ,

NOTE XII

que si 4 et j, sont deux fractions convergentes vers une des racines de l’équation en x , la transformée en ( qui doit servir à trouver la fraction suivante , résulte directement de la substitution

de i au lieu de x dans l’équation proposée. Fuisons t = ,

on aura