CH

Cette substitution est, comme l’on voit, analogue à celle que nous

avons employée ci-dessus, en prenant 4 et A pour les deux limites que nous avons nommées a et b. t

Or, comme deux fractions consécutives sont elles-mêmes des limites alternativement plus grandes et plus petites que la racine cherchée , et qui se resserrent' * continuellement , il s’ensuit que les transformées qui répondent aux fractions plus petites que la racine , approcheront de plus en plus d’avoir les conditions nécessaires pour pouvoir être de la forme proposée; et les transformé» in-

termediaires auront la même propriété , en y substituant ^ au lieu d ejr-, car si > A, l’expression de x devient, par cette substi-

tution ,

La différence entre les deux fractions —, et A étant 4-,

lorsque

cette différence sera devenue moindre que la plus petite différence entre les racines de l’cquation proposée, c’est-à-dire moindre que

la limite -j- (Note IV), on sera assuré qu’il ne pourra tomber entre

ces fractions qu’uDe seule racine ; mais , à l’égard des parties réelles des racines imaginaires, il ne sera pas facile de s’assurer à priori qu’elles tombent hors de ces fractions , à moins de former l’équa-

tion dont les racines seraient a,— — , et de chercher ensuite

une limite plus petite que chacune de ces racines, pour la comparer avec la même différence A-,.

NOTE XII

Au reste , quoique les fractions consécutives fournissent des limites qui se resserrent de plus en plus autour de la même racine, il est possible que les transformées n’acquièrent jamais la forme dont il s’agit , par la raison que les deux limites se resserrant à la fois , la racine positive peut aller en augmentaut au lieu de diminuer. Mais, lorsqu’on sera parvenu à des fractions entre lesquelles il n’y aura qu’une seule racine réelle et aucune des parties réelles des racines imaginaires, il suflira de diminuer toutes les racines de la transformée correspondante , d’une même quantité qu’on pourra trouver par quelques essais, comme on l’a vu plus haut.

Lorsqu’une équation est réduite à la forme dont nous parlons , c’est-à-dire que tous ses termes ont le même signe , à l’exceptiou du dernier terme tout connu, on fera passer ce dernier terme dans le second membre, et l’on pourra en extraire la racine^ peu près comme dans les équations à deux termes où il n’y a qu’une seule puissance de l’inconnue ; seulement on aura besoin de plus d’essais et d’épreuves , à raison des différentes puissances de l’inconnue qu’elle contiendra.

Ainsi, par exemple, si l’on a l’équation du troisième degré 7* + Ay* + Br — N = o,

dans laquelle A, B, N sont supposés des nombres positifs, en la mettant sous la forme

f 4. Ay* + By = N,

on voit qu'au lieu d’extraire simplement du nombre N la racine de la puissance j' 5 , il s’agit d’en extraire celle de la somme des puissances y ' 1 -H Ay* + By ; et si a est la partie de cette racine déjà trouvée, et p le reste, on aura

( 3 a* +■ aAa •+- B)/> -4- ( 3 a + A)/>* +P* = N — o s — Au* — Ba ; et par conséquent,

,N-a(«* + Aa + B)

P ^ 3a*-faAa+B »

NOTE XII

formule qui répond à celle-ci p < , sur laquelle est fondé le

procédé de l’extraction de la racine cubique.

Prenons l’équation trouvée plus haut

la formule sera ici

11 est d’abord facile de voir que le premier chiffre de la valeur de a ne peut être que o,a; faisant donc a = o,a , on trouvera...-

p < “ ' ^ > o,o 5 . En prenant p = o,o 4 , la nouvelle valeur de a sera o,a4> et l’on trouvera p < 5**^^' ' ' ' <0,008, etc.

NOTE XIII

Sur la résolution des équations algébriques.

La résolution des équations du second degré se trouve dans Diophante , et peut aussi se déduire de quelques propositions des Data d’ Euclidc ; mais il paraît que les premiers algébristes italiens l’avaient apprise des Arabes. Ils ont résolu ensuite les équations du troisième et du quatrième degré; mais toutes les tentatives qu’on a faites depuis pour pousser plus loin la résolution des équations, n’ont abouti qu’à Faire trouver de nouvelles méthodes pour le troisième et le quatrième degré , sans qu’on ait pu entamer les degrés supérieurs, si ce n’est pour des classes particulières d’équations, telles que les équations réciproques qui peuvent toujours s’abaisser à un degré moindre de la moitié, celles dont les racines sont semblables aux racines des équations du troisième degré, et que Moivrc a données le premier, et quelques autres du même genre.

i. Dans les Mémoires de l’Académie de Berlin (années 1770 et 1771 ), j’ai examiné et comparé les principales méthodes connues pour la résolution des équations algébriques , et j’ai trouvé que ces méthodes se réduisent toutes , en dernière analyse , à employer une équation secondaire qu’on appelle résolvante , dont la racine est de la forme

x 1 + eue" -f- a,‘x"' -f- *\r" -f- etc. ,

en désignant par x\ x", x 1 ", etc. les racines de l’équation proposée, et par a une des racines de l’unité, du meme degré que celui de l’équation.

Je suis ensuite parti de celte forme générale des racines , et j’ai cherché « priori , le degré de l’équation résolvante et les diviseurs qu’elle peut avoir, et j’ai rendu raison pourquoi cette équation, qui est toujours d’un degré plus haut que l’équation donnée,